高中《正弦和余弦定理》数学教案.docx

《高中《正弦和余弦定理》数学教案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中《正弦和余弦定理》数学教案.docx（19页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、高中正弦和余弦定理数学教案 教案是讲课的前提，是讲好课的基础，教案则备课的详细表现形式。它可以反映老师在整个教学中的总体设计和思路尤其是教学看法仔细与否的重要尺度。以下是我为大家整理的中学正弦和余弦定理数学教案，感谢您的观赏。 中学正弦和余弦定理数学教案1 教学目标 进一步熟识正、余弦定理内容，能娴熟运用余弦定理、正弦定理解答有关问题，如推断三角形的形态，证明三角形中的三角恒等式. 教学重难点 教学重点：娴熟运用定理. 教学难点：应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化. 教学过程 一、复习打算： 1.写出正弦定理、余弦定理及推论等公式. 2.探讨各公式所求解的三角形类型. 二、讲授新课： 1.

2、教学三角形的解的探讨： 出示例1：在ABC中，已知下列条件，解三角形. 分两组练习探讨：解的个数状况为何会发生改变? 用如下图示分析解的状况.(A为锐角时) 练习：在ABC中，已知下列条件，推断三角形的解的状况. 2.教学正弦定理与余弦定理的活用： 出示例2：在ABC中，已知sinAsinBsinC=654，求角的余弦. 分析：已知条件可以如何转化?引入参数k，设三边后利用余弦定理求角. 出示例3：在ABC中，已知a=7，b=10，c=6，推断三角形的类型. 分析：由三角形的什么学问可以判别?求角余弦，由符号进行推断 出示例4：已知ABC中，试推断ABC的形态. 分析：如何将边角关系中的边化为

3、角?再思索：又如何将角化为边? 3.小结：三角形解的状况的探讨;推断三角形类型;边角关系如何互化. 三、巩固练习： 3.作业：教材P11B组1、2题. 中学正弦和余弦定理数学教案2 一)教材分析 (1)地位和重要性：正、余弦定理是学生学习了平面对量之后要驾驭的两个重要定理，运用这两个定理可以初步解决几何及工业测量等实际问题，是解决有关三角形问题的有力工具。 (2)重点、难点。 重点：正余弦定理的证明和应用 难点：利用向量学问证明定理 (二)教学目标 (1)学问目标： 要学生驾驭正余弦定理的推导过程和内容; 能够运用正余弦定理解三角形; 了解向量学问的应用。 (2)实力目标：提高学生分析问题、解

4、决问题的实力。 (3)情感目标：使学生领悟到数学来源于实践而又作用于实践，培育学生的学习数学的爱好。 (三)教学过程 老师的主要作用是调控课堂，适时引导，引导学生自主发觉，自主探究。使学生的综合实力得到提高。 教学过程分如下几个环节： 教学过程课堂引入 1、定理推导 2、证明定理 3、总结定理 4、归纳小结 5、反馈练习 6、课堂总结、布置作业 详细教学过程如下： (1)课堂引入： 正余弦定理广泛应用于生产生活的各个领域，如航海，测量天体运行，那正余弦定理解决实际问题的一般步骤是什么呢? (2)定理的推导。 首先提出问题：RtABC中可建立哪些边角关系? 目的：首先从学生熟识的直角三角形中引导

5、学生自己发觉定理内容，猜想，再完成一般性的证明，详细环节如下： 引导学生从SinA、SinB的表达式中发觉联系。 接着引导学生视察特点，有A边A角，B边B角; 接着引导：能用C边C角表示吗? 而后激励猜想：在直角三角形中成立了，对随意三角形成立吗? 发觉问题比解决问题更重要，我便是让学生体验了发觉的过程，从学生熟识的学问内容入手，视察发觉，然后产生猜想，进而完成一般性证明。 这个过程采纳了不断创设问题，启发诱导的教学方法，引导学生自主发觉和探究。 其次步证明定理： 用向量方法证明定理：学生不易想到，设计如下： 问题：如何出现三角函数做数量积欲转化到正弦利用诱导公式做直角难点突破 实践：师生共同

6、完成锐角三角形中定理证明 独立：学生独立完成在钝角三角形中的证明 总结定理：师生共同对定理进行总结，再相识。 在定理的推导过程中，我注意“重过程、重体验”培育了学生的创新意识和实践实力，教化学生独立严谨科学的求学看法，使情感目标、实力目标得以实现。 在定理总结之后，老师布置思索题：定理还有没有其他证法? 通过这样的思索题，发散了学生思维，使学生的思维不仅仅禁锢在老师的启发诱导之下，符合素养教化的要求。 (3)例题设置。 例1ABC中，已知c=10，A=45，C=30，求b. (学生口答、老师板书) 设计意图：加深对定理的相识;提高解决实际问题的实力 例2ABC中，a=20，b=28，A=40，

7、求B和C. 例3ABC中，a=60，b=50，A=38，求B和C.其中两组解，一组解 例3同时给出两道题，首先留给学生肯定的思索时间，同时让两学生板演，以便两题形成比照、比较。 可能出现的状况：两个学生都做对，则接着为学生供应展示的空间，让学生来分析看似一样的条件，为何二解一解状况，假如其次同学也做出两组解，则让其他学生主动参加评判，发觉问题，找出对策。 设计意图： 增加学生对定理敏捷运用的实力 提高分析问题解决问题的实力 激发学生的参加意识，培育学生合作沟通、竞争的意识，使学生在相互影响中共同进步。 (4)归纳小结。 借助多媒体动态演示：图表 使学生对于已知两边和其中一边对角，三角形解的状况

8、有一个清楚直观的相识。之后让学生对题型进行归纳小结。 这样的归纳总结是通过学生实践，在新旧学问比照之后形成的，避开了学生的被动学习，抽象记忆，让学生形成对自我的认同和对社会的责任感。实现本节课的情感目标。 (5)反馈练习： 练习ABC中，已知a=60，b=48，A=36 ABC中，已知a=19，b=29，A=4 ABC中，已知a=60，b=48，A=92 推断解的状况。 通过学生形成性的练习，巩固了对定理的相识和应用，也便于老师驾驭学情，以为教学的进行作出合理支配。 (6)课堂总结，布置作业。 中学正弦和余弦定理数学教案3 教学目标： 1.了解利用向量学问推导正弦定理; 2.驾驭正弦定理并能运

9、用正弦定理解斜三角形，并会利用计算器解决解斜三角形中困难的计算问题; 3.会判定已知两边和其中一边的对角解斜三角形的解时一解、两解或无解; 4.通过利用向量证明正弦定理，了解向量的工具性和学问间的相互联系，体会事物之间是相互联系的辩证思想; 教学重点：正弦定理及其推导过程，正弦定理在三角形中的应用; 教学难点：正弦定理的向量法证明以及运用正弦定理解三角形时解的个数的判定. 教学方法：情景问题、启发引导 教学设计过程 (一)设置情境。 思索：现实生活中如何测得某湖对岸A、B两点之间距离。学生会很自然地构造直角三角形来解决。但是许多状况，受地理条件的限制，我们很难构造直角三角形，也就是在一般的三角

10、形里我们如何求出AB的距离?我们能不能发觉在三角形中还蕴涵着什么样边与角关系呢? #FormatTableID_5# 组织学生分组探讨，老师参加学生的探讨。(2-3钟)让学生汇报：通过对直角三角形的探讨发觉了什么结论。 直角三角形中存在等式： 小结：利用直角三角形中的这些边角关系对任给直角三角形的两边或一边一角可以求出这个三角形的其他边与其他角.这个式子在随意三角形中也是成立的，这就是我们今日要学的正弦定理. (二)推导定理过程 1.学生思索： 1)在随意 中，3个向量 ， ， 间 满 足什么关系? 2)在 + + = 两边同乘以向量 ,有( + + ) .,这里的量 可否随意?又如何选择向量

11、 3)由 + + = ,如何能形成数量积运算? 2.证明过程：如图，在锐角中 ，过 作单位向量 垂直于 ，则 与 的夹角为 与 的夹角为 。由向量的加法可得: 对上面对量等式两边同取与向量 的数量积运算，得到 同理，过点 作与 垂直的单位向量 ，可得 3.深化思索：1) 当 为钝角三角形时如何证得 2)正弦定理还有没有其它的方法证明? 3)视察正弦定理，利用正弦定理可以解什么类型的三角形问题? 4.小结：正弦定理可以解决两类三角形问题： 1)已知两角和随意一边，可以求出其他两边和一角; 2)已知两边和其中一边的对角，可以求出三角形的其他的边和角。 (三)例题分析 例1 在 中，已知 ，求 (保

12、留两个有效数字) 解： 且 例2 在 中，已知 ，求 。 解：由 得 中 为锐角 例3 在 中， ，求 的面积 。 解：首先可证明： 这组结论可作公式运用。 其次求 , 由正弦定理 (四).练习巩固，加深理解。 (1)在 中，肯定成立的等式是( ) . . . . (2)在 中，若 ，则 是( ) .等腰三角形 .等腰直角三角形 .直角三角形 .等边三有形 (3)在任一 中， 求证 : 证明：由于正弦定理：令 代入左边得： (五)总结提炼 (1)三角形常用公式： ; (2)正弦定理表示形式： ( 外接圆直径) ; 。 (3)正弦定理应用范围：已知两角和任一边，求其他两边及一角。 已知两边和其中

13、一边对角，求另一边的对角。 几何作图时，存在多种状况。如已知 、 及 ， 求作三角形时，要分类探讨，确定解的个数。 (六)巩固作业： 1 中， ，则 为( ) A 直角三角形 B 等腰直角三角形C 等边三角形 D 等腰三角形 2 在 中， 是 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 3在 中，已知 求 和 . (七)板书设计： 中学正弦和余弦定理数学教案4 三维目标 1.通过对随意三角形边长和角度关系的探究，驾驭正弦定理的内容及其证明方法，会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题. 2.通过正弦定理的探究学习，培育学生探究数学规律的思

14、维实力，培育学生用数学的方法去解决实际问题的实力.通过学生的主动参加和亲身实践，并胜利解决实际问题，激发学生对数学学习的热忱，培育学生独立思索和勇于探究的创新精神. 重点难点 教学重点：正弦定理的证明及其基本运用. 教学难点：正弦定理的探究和证明;已知两边和其中一边的对角解三角形时，推断解的个数. 课时支配 1课时 教学过程 导入新课 思路1.(特例引入)老师可先通过直角三角形的特别性质引导学生推出正弦定理形式，如RtABC中的边角关系，若C为直角，则有a=csinA，b=csinB，这两个等式间存在关系吗?学生可以得到asinA=bsinB，进一步提问，等式能否与边c和C建立联系?从而绽开正

15、弦定理的探究. 思路2.(情境导入)如图，某农场为了刚好发觉火情，在林场中设立了两个观测点A和B，某日两个观测点的林场人员分别测到C处有火情发生.在A处测到火情在北偏西40方向，而在B处测到火情在北偏西60方向，已知B在A的正东方向10千米处.现在要确定火场C距A、B多远?将此问题转化为数学问题，即“在ABC中，已知CAB=130，CBA=30，AB=10千米，求AC与BC的长.”这就是一个解三角形的问题.为此我们须要学习一些解三角形的必要学问，今日要探究的是解三角形的第一个重要定理正弦定理，由此绽开新课的探究学习. 推动新课 新知探究 提出问题 1阅读本章引言，明确本章将学习哪些内容及本章将

16、要解决哪些问题? 2联想学习过的三角函数中的边角关系，能否得到直角三 角形中角与它所对的边之间在数量上有什么关系? 3由2得到的数量关系式，对一般三角形是否仍旧成立? 4正弦定理的内容是什么，你能用文字语言叙述它吗?你能用哪些方法证明它? 5什么叫做解三角形? 6利用正弦定理可以解决一些怎样的三角形问题呢? 活动：老师引导学生阅读本章引言，点出本章数学学问的某些重要的实际背景及其实际须要，使学生初步相识到学习解三角形学问的必要性.如老师可提出以下问题：怎样在航行途中测出海上两个岛屿之间的距离?怎样测出海上航行的轮船的航速和航向?怎样测量底部不行到达的建筑物的.高度?怎样在水平飞行的飞机上测量飞

17、机下方山顶的海拔高度?这些实际问题的解决须要我们进一步学习随意三角形中边与角关系的有关学问.让学生明确本章将要学习正弦定理和余弦定理，并学习应用这两个定理解三角形及解决测量中的一些问题. 关于随意三角形中大边对大角、小 边对小角的边角关系，老师引导学生探究其数量关系.先视察特别的直角三角形.如下图，在RtABC中，设BC=a，AC=b，AB=c，依据锐角三角函数中正弦函数的定义，有ac=sinA，bc=sinB，又sinC=1=cc，则asinA=bsinB=csinC=c.从而在RtABC中，asinA=bsinB=csinC. 那么对于随意的三角形，以上关系式是否仍旧成立呢?老师引导学生画

18、图探讨分析. 如下图，当ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，依据随意角的三角函数的定义，有CD=asinB=bsinA，则asinA=bsinB.同理，可得csinC=bsinB.从而asinA=bsinB=csinC. (当ABC是钝角三角形时，解法类似锐角三角形的状况，由学生自己完成) 通过上面的探讨和探究，我们知道在随意三角形中，上述等式都成立.老师点出这就是今日要学习的三角形中的重要定理正弦定理. 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 asinA=bsinB=csinC 上述的探究过程就是正弦定理的证明方法，即分直角三角形、锐角三角形、钝角三角形三种状况进

19、行证明.老师提示学生要驾驭这种由特别到一般的分类证明思想，同时点拨学生视察正弦定理的特征.它指出了随意三角形中，各边与其对应角的正弦之间的一个关系式.正弦定理的重要性在于它特别好地描述了随意三角形中边与角的一种数量关系;描述了随意三角形中大边对大角的一种精确的数量关系.因为假如A<B，由三角形性质，得asin(-A)=sinA，所以仍有sinA 正弦定理的证明方法许多，除了上述的证明方法以外，老师激励学生课下进一步探究正弦定理的其他证明方法. 探讨结果： (1)(4)略. (5)已知三角形的几个元素(把三角形的三个角A、B、C和它们的对边a、b、c叫做三角形的元素)求其他元素的过程叫做解

20、三角形. (6)应用正弦定理可解决两类解三角形问题：已知三角形的随意两个角与一边，由三角形内角和定理，可以计算出三角形的另一角，并由正弦定理计算出三角形的另两边，即“两角一边问题”.这类问题的解是唯一的.已知三 角形的随意两边与其中一边的对角，可以计算出另一边的对角的正弦值，进而确定这个角和三角形其他的边和 角，即“两边一对角问题”.这类问题的答案有时不是唯一的，需依据实际状况分类探讨. 应用示例 例1在ABC中，已知A=32.0，B=81.8，a=42.9 cm，解此三角形. 活动：解三角形就是已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程，在本例中就是求解C，b，c. 此题属于已知两角和其中

21、一角所对边的问题，干脆应用正弦定理可求出边b，若求边c，则先求C，再利用正弦定理即可. 解：依据三角形内角和定理，得 C=180-(A+B)=180-(32.0+81.8)=66.2. 依据正弦定理，得 b=asinBsinA=42.9sin81.8sin32.080.1(cm); c=asinCsinA=42.9sin66.2sin32.074.1(cm). 中学正弦和余弦定理数学教案本文来源：网络收集与整理，如有侵权，请联系作者删除，谢谢！第19页 共19页第 19 页 共 19 页第 19 页 共 19 页第 19 页 共 19 页第 19 页 共 19 页第 19 页 共 19 页第 19 页 共 19 页第 19 页 共 19 页第 19 页 共 19 页第 19 页 共 19 页第 19 页 共 19 页