2010年高考试题——数学文（全国卷I）（含解析）.docx

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1、2010年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(必修+选修) 解析版本试卷分第I卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分。第I卷1至2页。第卷3 至4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第I卷注意事项：1答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。2每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。 3第I卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。参考公式：如果事件互斥，

2、那么 球的表面积公式 如果事件相互独立，那么 其中R表示球的半径 球的体积公式如果事件A在一次试验中发生的概率是，那么 次独立重复试验中事件恰好发生次的概率 其中R表示球的半径一、选择题(1)(A) (B)- (C) (D) 1.C【命题意图】本小题主要考查诱导公式、特殊三角函数值等三角函数知识【解析】(2)设全集，集合，则A. B. C. D. 2.C【命题意图】本小题主要考查集合的概念、集合运算等集合有关知识【解析】，则=(3)若变量满足约束条件则的最大值为(A)4 (B)3 (C)2 (D)13.B 【命题意图】本小题主要考查线性规划知识、作图、识图能力及计算能力.【解析】画出可行域（如

3、右图），由图可知,当直线经过点A(1,-1)时，z最大，且最大值为.xAL0A（4）已知各项均为正数的等比数列，=5，=10，则=(A) (B) 7 (C) 6 (D) 4.A【命题意图】本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识，着重考查了转化与化归的数学思想. 【解析】由等比数列的性质知，10,所以,所以(5)的展开式的系数是(A)-6 (B)-3 (C)0 (D)35.A. 【命题意图】本小题主要考查了考生对二项式定理的掌握情况，尤其是展开式的通项公式的灵活应用，以及能否区分展开式中项的系数与其二项式系数，同时也考查了考生的一些基本运算能力.【解析】的系数是 -

4、12+6=-6(6)直三棱柱中，若，则异面直线与所成的角等于(A)30 (B)45(C)60 (D)906.C【命题意图】本小题主要考查直三棱柱的性质、异面直线所成的角、异面直线所成的角的求法. 【解析】延长CA到D，使得，则为平行四边形，就是异面直线与所成的角，又三角形为等边三角形，(7)已知函数.若且，则的取值范围是(A) (B)(C) (D) 7.C【命题意图】本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域，考生在做本小题时极易忽视a的取值范围，而利用均值不等式求得a+b=,从而错选D,这也是命题者的用苦良心之处.【解析1】因为 f(a)=f(b),所以|lga|=|lgb|,所

5、以a=b(舍去)，或，所以a+b=又0ab,所以0a1f(1)=1+1=2,即a+b的取值范围是(2,+).【解析2】由0ab,且f(a)=f(b)得：，利用线性规划得：，化为求的取值范围问题，过点时z最小为2,(C) （8）已知、为双曲线C:的左、右焦点，点P在C上，=，则(A)2 (B)4 (C) 6 (D) 88.B【命题意图】本小题主要考查双曲线定义、几何性质、余弦定理，考查转化的数学思想，通过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力.【解析1】.由余弦定理得cosP=4【解析2】由焦点三角形面积公式得：4（9）正方体-中，与平面所成角的余弦值为（A） （B） （C） （D）AB

6、CDA1B1C1D1O9.D 【命题意图】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的求法，利用等体积转化求出D到平面AC的距离是解决本题的关键所在,这也是转化思想的具体体现.【解析1】因为BB1/DD1,所以B与平面AC所成角和DD1与平面AC所成角相等,设DO平面AC，由等体积法得,即.设DD1=a,则,.所以,记DD1与平面AC所成角为,则,所以.【解析2】设上下底面的中心分别为；与平面AC所成角就是B与平面AC所成角，（10）设则（A）（B） (C) (D) 10.C 【命题意图】本小题以指数、对数为载体，主要考查指数函数与对数函数的性质、实数大小的比较、换底公式、

7、不等式中的倒数法则的应用.【解析1】 a=2=, b=In2=,而,所以ab,c=,而,所以ca,综上cab.【解析2】a=2=,b=ln2=, ，； c=，cab（11）已知圆的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么的最小值为(A) (B) (C) (D)11.D【命题意图】本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理，着重考查最值的求法判别式法,同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力.PABO【解析1】如图所示：设PA=PB=,APO=,则APB=，PO=，=，令，则，即，由是实数，所以，解得或.故.此时.【解析2】设，换元：，【解析3】建系：园的方程为

8、，设，（12）已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD的体积的最大值为(A) (B) (C) (D) 12.B【命题意图】本小题主要考查几何体的体积的计算、球的性质、异面直线的距离,通过球这个载体考查考生的空间想象能力及推理运算能力.【解析】过CD作平面PCD，使AB平面PCD,交AB与P,设点P到CD的距离为,则有,当直径通过AB与CD的中点时,故.第卷注意事项： 1答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考 证号填写清楚，然后贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。 2第卷共2页，请用直径0.5毫米黑色墨水签

9、字笔在答题卡上各题的答题区域 内作答，在试题卷上作答无效。 3.第卷共10小题，共90分。二填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上 (注意：在试题卷上作答无效) (13)不等式的解集是 .13. 【命题意图】本小题主要考查不等式及其解法【解析】: ，数轴标根得：(14)已知为第二象限的角，,则 .14.【命题意图】本小题主要考查三角函数值符号的判断、同角三角函数关系、和角的正切公式,同时考查了基本运算能力及等价变换的解题技能.【解析】因为为第二象限的角,又, 所以，,所(15)某学校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门

10、，则不同的选法共有 种.(用数字作答)15. A【命题意图】本小题主要考查分类计数原理、组合知识,以及分类讨论的数学思想.【解析1】:可分以下2种情况:(1)A类选修课选1门,B类选修课选2门,有种不同的选法;(2)A类选修课选2门,B类选修课选1门,有种不同的选法.所以不同的选法共有+种.【解析2】: (16)已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交于点， 且，则的离心率为 .16. 【命题意图】本小题主要考查椭圆的方程与几何性质、第二定义、平面向量知识，考查了数形结合思想、方程思想,本题凸显解析几何的特点：“数研究形，形助数”，利用几何性质可寻求到简化问题的捷径.【解析1】如

11、图，,作轴于点D1,则由，得,所以,即,由椭圆的第二定义得又由,得【解析2】设椭圆方程为第一标准形式，设，F分 BD所成的比为2，代入，三解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（17）（本小题满分10分）(注意：在试题卷上作答无效)记等差数列的前项和为，设，且成等比数列，求.(18)(本小题满分12分)(注意：在试题卷上作答无效) 已知的内角，及其对边，满足，求内角(19)(本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答无效) 投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审若能通过两位初审专家的评审，则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家

12、的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0.5，复审的稿件能通过评审的概率为0.3各专家独立评审 (I)求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率； (II)求投到该杂志的4篇稿件中，至少有2篇被录用的概率 （20）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）如图，四棱锥S-ABCD中，SD底面ABCD，AB/DC，ADDC，AB=AD=1，DC=SD=2，E为棱SB上的一点，平面EDC平面SBC .（）证明：SE=2EB；（）求二面角A-DE-C的大小 .（21）(本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答无效）已知函数（I）当时，求的极值;（II）若在上是增函数，求的取值范围(22)(本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答无效）已知抛物线的焦点为F，过点的直线与相交于、两点，点A关于轴的对称点为D .（）证明：点在直线上；（）设，求的内切圆的方程 .