2015年高考真题——文科数学（新课标Ⅰ卷）（含解析）.docx

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1、绝密启封并使用完毕前 2015年普通高等学校招生全国统一考试文科数学本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。第卷1至3页，第卷4至6页。注意事项：1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。2.第卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。第卷必须用0.5毫米黑色签字笔书写作答.若在试题卷上作答，答案无效。3.考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。第卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的

2、四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）已知集合A=x|x=3n+2,n N,B=6,8,12,14,则集合A B中元素的个数为（A）5（B）4（C）3（D）2解析：，答案选D.（2）已知点A（0,1），B（3,2），向量=（-4，-3），则向量=（A）（-7，-4） （B）（7,4） （C）（-1,4） （D）（1，4）解析：由及点A（0,1）可得点C（-4，-2），则，答案选A.（3）已知复数z满足（z-1）i=i+1，则z= （A）-2-i （B）-2+i （C）2-i （D）2+i解析：由（z-1）i=i+1可得，答案选C（4）如果3个整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3

3、个数为一组勾股数，从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则3个数构成一组勾股数的概率为 （A） （B） （C） （D）解析：由题意可知1，2，3，4，5中只有3，4，5这一组勾股数，,答案选C.（5）已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y=8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|= （A）3 （B）6 （C）9 （D）12 解析：抛物线C：y=8x的焦点为，则椭圆E中的，答案故选B. （6）九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一

4、个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛解析：设圆锥底面半径为r，则=，所以米堆的体积为=，故堆放的米约为1.6222，故答案选B.（7）已知是公差为1的等差数列，则=4，=（A） （B） （C）10 （D）12解析：，故答案选B.（8）函数f(x)=的部分图像如图所示，则f(x)的单调递减区间为（A）（k-, k-）,k（B）（2k-, 2k-）,k（C）（k-, k-）,k （D）（2k, 2k）

5、,k解析：，由得，故答案选D.（9）执行右面的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=（A）5 （B）6 （C）7 （D）8解析：故答案选C（10）已知函数，且f（a）=-3，则f（6-a）=（A）- （B）- （C）- （D）-解析：由题意知，答案选A（11）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为16+20，则r=（A）1 (B) 2 (C) 4 (D) 8解析：由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为r，圆柱的高为2r，其表面积为=16 + 20，解得r=2，故答

6、案选B.（12）设函数y=f（x）的图像与函数的图像关于直线y=-x对称，且f（-2）+f（-4）=1，则a=（A）-1 （B）1 （C）2 （D）4解析：函数y=f（x）的图像上的任意一点关于直线y=-x对称的点在函数的图像上，即，则y=f（x）的解析式为，从而，解得,答案选C第卷注意事项：第卷共3页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上作答。若在试卷上作答，答案无效。本卷包括必考题和选考题两部分。第13题第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22题 第24题为选考题，考生根据要求做答。二.填空题：本大题共4小题，每小题5分（13）在数列an中， a1=2,an+1=2an, Sn为an的前n

7、项和。若Sn=126，则n=.答案：6 解析：由a1=2,an+1=2an,可得.（14） 已知函数f(x)=ax3+x+1的图像在点（1，f(1)）处的切线过点（2,7），则a= .答案：1 解析：f(x)=ax3+x+1，.（15） x,y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为 .答案：4 解析：画出可行域，经分析可知当时z=3x+y取最大值为4.（16） 已知F是双曲线C：x2-=1的右焦点，P是C的左支上一点，A（0,6）.当APF周长最小时，该三角形的面积为 .答案： 解析：设是双曲线C：x2-=1的左焦点，而P是C的左支上一点，则,APF周长等于,当且仅当点共线时等号成立，点在线段

8、上，线段，代入x2-=1可得，解得（舍去），则到直线的距离为.三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（17）（本小题满分12分）已知a，b，c分别为ABC内角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC（）若a=b，求cosB；（）设B=90，且a=，求ABC的面积.解：（）由题设及正弦定理可得，又，可得，由余弦定理可得；-6分（）由（）知，因为B=90，由勾股定理知，故，得，所以ABC的面积为1.-12分.（18） （本小题满分12分）如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE平面ABCD.（）证明：平面AEC平面BED；（）若ABC=120，AEEC，三棱锥AC

9、D的体积为，求该三棱锥的侧面积（19）（本小题满分12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费和年销售量（i=1,2，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值。（x1-）2（w1-）2（x1-）(y-)（w1-）(y-)46.65636.8289.81.61469108.8表中w1 =1, ， =1（1） 根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（）根据（）的判断结果及表中数据，建立y关于

10、x的回归方程；（）以知这种产品的年利率z与x、y的关系为z=0.2y-x。根据（）的结果回答下列问题：（i） 年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？（ii） 年宣传费x为何值时，年利率的预报值最大？附：对于一组数据（u1 v1）,（u2 v2）. （un vn）,其回归线v=u的斜率和截距的最小二乘估计分别为：（20）（本小题满分12分）已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C(x-2)2+(y-3)2=1交于M,N两点.（1） 求K的取值范围；（2） 若 =12，其中0为坐标原点，求MN.（21）.（本小题满分12分）设函数.（）讨论的导函数零点的个数；（）证明：当时，。请

11、考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则安所做的第一题计分。作答时请写清题号。（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，AB是的直径，AC是的切线，BC交于点E。（）若D为AC的中点，证明：DE是的切线； （）若CA=CE，求ACB的大小。（22） 解：（1）证明：连结AF，由已知得，.在中，由已知得，故，连结OE，则.又，所以，故,DE是的切线；-5分（）设，由已知得由射影定理得,所以，即，可得，所以. -10分.（23）（本小题满分10分）选修4-4；坐标系与参数方程在直角坐标系中，直线:x=,圆：，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系。（1）求，C2的极坐标方程。（2）若直线C3的极坐标为=（R）,设C2与C3的交点为M，N,求C2MN的面积（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数f（x）=|x+1|-2|x-a|，a0.（1） 当a=1时，求不等式f（x）1的解集；（2） 若f（x）的图像与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围.()由题设得所以函数f（x）的图像与x轴围成的三角形的三个顶点分别为，于是的面积为，由题设得，而a0，解得，故所求的的取值范围是.-10分