辽宁省大连市2021-2022学年高一上学期期末数学试题（解析版）.docx

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1、 大连市20212022学年度第一学期期末考试高一数学一单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用交集的定义直接求解【详解】因为，所以，故选：A2. 以下数据为参加数学竞赛决赛的15人的成绩：56，70，72，78，79，80，81，83，84，86，88，90，91，94，98，则这15人成绩的70%分位数是（ ）A. 86B. 87C. 88D. 89【答案】C【解析】【分析】根据百分位数的定义直接得出.【详解】因为，所以这15人的70%分位数为第11位数：8

2、8.故选：C.3. 已知函数在区间上的图像是连续不断的，则“”是“函数在区间内有零点”（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由零点存在性定理，及充分必要条件的判定即可得解.【详解】由零点存在性定理，可知充分性成立；反之，若函数在上满足，但其有零点，故必要性不成立；所以“”是“函数在区间内有零点”的充分不必要条件故选：A4. 在中，、分别是边、上的点，且，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据向量的数乘和加减法法则即可求解.【详解】如图所示：.故选：A.5. 我国古代数学名著九章算术中有以下

3、问题：“今有人合伙买羊，每人出5钱，差45钱；每人出7钱，差3钱.问合伙人数羊价各是多少.”由此可推算，羊价为（ ）A. 24钱B. 165钱C. 21钱D. 150钱【答案】D【解析】【分析】设合伙人的人数为n，由题意列方程即可解得.【详解】设合伙人的人数为n，由题意列方程得：，解得：n=21，羊价为：.故选：D6. 抛掷一枚质地均匀且各个面上分别表以数字1，2，3，4，5，6的正方体玩具.设事件A为“向上一面点数为偶数”，事件B为“向上一面点数为6的约数”，则为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据古典概型的概率公式直接计算.【详解】由题意得：抛掷结果有6种可能的结果

4、，事件即为向上一面的点数为2或4或6，事件即为向上一面的点数为1或2或3或6，事件即为向上一面的点数为1或2或3或4或6，所以，故选：D.7. 神舟十二号载人飞船搭载3名宇航员进入太空，在中国空间站完成了为期三个月的太空驻留任务，期间进行了很多空间实验，目前已经顺利返回地球在太空中水资源有限，要通过回收水的方法制造可用水回收水是将宇航员的尿液、汗液和太空中的水收集起来经过特殊的净水器处理成饮用水，循环使用净化水的过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质20%，要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需要过滤的次数为（ ）（参考数据）A. 10B. 12C. 14D. 16【答案】C【解析】【分析】

5、由指数、对数的运算性质求解即可【详解】设过滤的次数为，原来水中杂质为1，则，即，所以，所以，所以，因为，所以的最小值为14，则至少要过滤14次故选：C.8. 已知幂函数与的部分图像如图所示，直线，与，的图像分别交于A，B，C，D四点，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】表示出，由幂函数的图象可得，从而得，再由，代入化简计算，即可求解出答案.【详解】由题意，根据图象可知，当时，因，所以，因为，可得.故选：B二多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 若，则下列不等式

6、中恒成立的有（ ）A. B. C. D. 【答案】ACD【解析】【分析】根据不等式的性质，结合基本不等式进行逐一判断即可.【详解】A：因为，所以恒成立，B：当时，显然成立，但不成立，C：因为，所以（当且仅当时取等号，即时取等号），所以本选项符合题意；D：因为，所以（当且仅当时取等号，即或时取等号），所以本选项符合题意，故选：ACD10. 下列说法不正确的是（ ）A. 若A，B为两个事件，则“A与B互斥”是“A与B相互对立”的必要不充分条件B. 若A，B为两个事件，则C. 若事件A，B，C两两互斥，则D. 若事件A，B满足，则A与B相互对立【答案】BCD【解析】【分析】A. “A与B互斥”是“A

7、与B相互对立”的必要不充分条件，所以该选项正确；B. ,所以该选项错误；C. 举反例说明不一定成立，所以该选项错误；D. 举反例说明A与B不对立，所以该选项错误.【详解】解：A. 若A，B为两个事件，“A与B互斥”则“A与B不一定相互对立”； “A与B相互对立”则“A与B互斥”，则“A与B互斥”是“A与B相互对立”的必要不充分条件，所以该选项正确；B. 若A，B为两个事件，则,所以该选项错误；C. 若事件A，B，C两两互斥，则不一定成立，如：掷骰子一次，记向上的点数为1，向上的点数为2，向上的点数为3，事件A，B，C两两互斥，则.所以该选项错误；D. 抛掷一枚均匀的骰子，所得的点数为偶数的概率

8、是，掷一枚硬币，正面向上的概率是，满足，但是A与B不对立，所以该选项错误.故选：BCD11. 如果是平面内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是（ ）A. (，R)可以表示平面内的所有向量B. 对于平面内任一向量，使的实数对(，)有无穷多个C. 若向量与共线，则有且只有一个实数，使得D. 若实数，使得，则=0【答案】BC【解析】【分析】结合平面向量基本定理可选出正确答案.【详解】由平面向量基本定理可知，A，D是正确的.对于B，由平面向量基本定理可知，若一个平面的基底确定，则该平面内的任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的，B错误.对于C，当两个向量均为零向量时，即1=2=1=2=0时，这样

9、的有无数个，或当为非零向量，而为零向量(2=2=0)，此时不存在.故选:BC.12. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一.用其名字命名的高斯取整函数为，表示不超过x的最大整数.例如：，.已知函数，则下列说法中正确的是（ ）A. 是偶函数B. 在R上是增函数C. 是偶函数D. 的值域是【答案】BD【解析】【分析】对于A：利用函数奇偶性定义直接判断；对于B：利用单调性的四则运算即可判断；对于C：取特殊值，即可判断；对于D：直接求出的值域即可判断.【详解】对于A：因为函数，所以函数，所以，所以是奇函数.故A错误；对于B：因，而为增函数，为减函数，为增函数，所以为增函数.故B正确；对于C：因为

10、，而.所以，所以不是偶函数.故C错误；对于D：因为，所以，所以的值域为.故D正确.故选：BD【点睛】（1）对函数奇偶性的证明只能用定义：或；（2）判断函数的单调性的方法：定义法；图像法；四则运算法；导数法.三填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡相应的位置上.13. 某校学生高一年级有400人，高二年级有300人，高三年级有200人，现用分层抽样的方法从所有学生中抽取一个容量为的样本已知从高三学生中抽取的人数为10，那么=_【答案】45【解析】【详解】利用分层抽样的特点，得，解得.14. 已知函数（且）的图像过点，其反函数的图像过点，则的值为_.【答案】【解析】【分析】

11、根据函数图象所过的点代入列式求解.【详解】函数（且）的图像过点，反函数的图像过点，可得原函数的图像过，所以，所以的值为.故答案为：15. 如图，在正方形中，为边上的动点，设向量,则的最大值为_【答案】3【解析】【详解】以A为原点，以AB、AD分别为x，y轴建立直角坐标系，设正方形的边长为2，则C（2，2），B（2，0），D（0，2），P（x，2），x0，2=（2，2），=（2，2），=（x，2）， += ，令f（x）=，（0x2）f（x）在0，2上单调递减，f（x）max=f（0）=3故答案为316. 已知，若方程有四个根，且，则的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】作出函数的图象，结合图象

12、知，得，将已知转化为求的范围，结合对勾函数的性质，即可求解.【详解】由题意，作出函数的图象，如图所示，因为方程有四个根，且，则由图象可知，又，可得，则则， 由对勾函数的性质知在上单调递增，即 即的取值范围是.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中作出函数的图象，结合图象和对勾函数的性质求解是解答的关键，着重考查数形结合思想，以及推理与运算能力.四解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.17. 已知不等式的解集为，当时，关于的不等式的解集为.（1）求、；（2）当时，求证：是的充分条件.【答案】（1），. （2）证明见解析.【

13、解析】【分析】（1）利用绝对值不等式的解法可求得集合，利用二次不等式的解法可求得集合；（2）分析可知当时，即可证得结论成立.【小问1详解】解：由得，解得，即，当时，由得，解得，即.【小问2详解】解：当时，则，此时，是的充分条件.18. （1）已知，三点共线，求的值；（2）在（1）的条件下求线段的两个三等分点的坐标.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由三点共线可得，写出与，然后列方程组求解；（2）先计算出，设线段的两个三等分点为，计算出向量和，即可得的坐标.【详解】（1）因为，三点共线，所以可得，又，所以，所以的值为.（2）由（1）得，设线段的两个三等分点为，则，所以，所以线段的两个三

14、等分点的坐标为.19. 从某学校随机抽取100名学生，测得他们的身高（单位：cm），按照区间，分组，得到样本身高的频率分布直方图，如图所示.（1）求频率分布直方图中x的值；（2）估计该校学生身高的平均数（每组数据以区间中点值为代表）；（3）估计该校学生身高的75%分位数.【答案】（1）0.06 （2）172.25 （3）176.25【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图中长方形面积之和为1,易求出x；（2）直接利用平均数公式求出平均数；（3）可设该校100名生学身高的75%分位数为x,再利用频率分布直方图计算即得【小问1详解】由频率分布直方图可知5(0.01+0.07+x+0.04+0.02

15、+0.01)=1,解得x=0.06,【小问2详解】根据频率分布直方图，由平均数公式可得：【小问3详解】的人数占比为50.02=10%.的人数占比为500.4=20%.所以该校100名生学身高的75%分位数落在.设该校100名生学身高的75%分位数为x，则,解得x=176.25.故该校100名生学身高的75%分位数为176.25.20. 已知函数（a是常数，且）的图像过定点，函数.（1）求证：函数在上单调递增；（2）解不等式【答案】（1）证明见解析； （2）【解析】【分析】（1）求函数的定点坐标，从而得函数解析式，然后利用函数单调性的定义证明，任取，作差并化简，并判断的正负，从而根据定义说明单调

16、性；（2）先证明得函数为奇函数，将不等式变形为，然后根据函数的单调性即可得解.【小问1详解】因为的图像过定点，所以，所以定点坐标为，则，所以函数解析式为.任取，则，因为，所以，所以，即，所以函数在上单调递增.【小问2详解】因为函数的定义域为，且，所以函数为奇函数，所以变形为，当时，所以不等式转化为，解集为，不符合题意；当时，在上单调递减，在上单调递增，所以不等式转化为，解得，所以不等式的解集为.【点睛】利用函数单调性的定义的证明题，一般需要先在区间上取值，然后作差，并且因式分解，从而判断的正负号，即可判断出函数的单调性.21. 甲乙丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比

17、赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终胜利，比赛结束.经抽签，甲乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为.（1）求比赛四场结束且丙获胜的概率；（2）求甲最终获胜的概率.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）设甲失败的事件为,乙失败的事件为,丙失败的事件为,比赛四场结束且丙获胜的事件为，根据题意列出的所有可能，再根据独立事件公式即可求出结果.（2）设甲失败的事件为,乙失败的事件为,丙失败的事件为,甲最终获胜事件为，根据题意列出的所有可能，再根据

18、独立事件公式即可求出结果.【小问1详解】解：设甲失败的事件为,乙失败的事件为,丙失败的事件为,比赛四场结束且丙获胜的事件为，则；【小问2详解】解：设甲失败的事件为,乙失败的事件为,丙失败的事件为,甲最终获胜事件为，则.22. 已知函数（且）（1）当时，解不等式；（2），求实数的取值范围；（3）在（2）的条件下，是否存在，使在区间上的值域是？若存在，求实数的取值范围；若不存在，试说明理由【答案】（1）；（2）；（3）不存在满足题意的实数，理由见解析【解析】【分析】（1）把代入，然后结合对数函数的单调性即可求解不等式；（2）由已知不等式恒成立转化为最值成立，结合复合函数的单调性即可求解；（3）结合对数函数单调性代入后，结合已知等式特点构造函数，结合二次函数性质可求【详解】（1）时，所以，解得即函数定义域为，因为，即，所以，即，解得或，又，所以不等式的解集为（2），即成立，又函数在上为增函数，若，则，所以，即，则，解得或又，所以若，则，所以，即，则，解得，又，所以综上的取值范围为（3）假设存在，满足题意，由（2）知，所以在上是减函数，则，所以，即，是方程的大于的两个不等实根，设，其对称轴为，由题意得所以或，又，所以综上，不存在满足题意的实数，第16页/共16页学科网（北京）股份有限公司