广东省深圳市福田区红岭中学2022-2023学年高一上学期期末数学试题.docx

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1、红岭中学20222023学年度第一学期第二学段考试高一数学试卷说明：本试卷考试时间为150分钟，满分为150分命题人：周晓波 审题人：王哲一、选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分，每小题的4个选项中仅有一个选项是正确的，请将你认为正确的答案的代号涂在答题卡上）1. 已知全集，集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据集合的补集与交集运算即可.【详解】解：已知全集，集合，所以，则.故选：D.2. “”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据充分条件与必要条件定义判断.【详解】充分性

2、：当时，充分性成立；必要性：解得或，必要性不成立；故为充分不必要条件故选：A3. 已知实数a，b，c满足，则下列不等式一定成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用作差法逐项判断可得答案.【详解】因为a，b，c满足，所以，对于A，所以，故A错误；对于B，所以，故B错误；对于C，所以，故C错误；对于D，所以，故D正确；故选：D.4. 已知，则下列结论正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由诱导公式、同一三角函数的平方关系和商数关系对选项一一判断即可得出答案.【详解】对于A，所以A不正确；对于B，所以B不正确；对于C，由B知，所以，则，所以C正确

3、；对于D，.所以D不正确.故选：C.5. 函数，的值域是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】令，求出的值域，再根据指数函数单调性求值域.【详解】令，则，所以又在上单调递增，所以即故选：B.6. 设函数，若关于x的方程有4个不等实根，则a的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据图象的对称变换画出函数的图象，数形结合即可求解.【详解】函数的图象如图所示，关于x的方程有4个不等实根，即可转化为函数与直线有4个不同的交点，所以.故选：A7. 已知实数满足，且，若不等式恒成立，则实数的最大值为（ ）A. 9B. 25C. 16D. 12【答案】B【解析

4、】【分析】根据题目所给条件可知，实数均满足是正数，再利用基本不等式“1”的妙用即可求出实数的最大值.【详解】由得，又因为，所以实数均是正数，若不等式恒成立，即；，当且仅当时，等号成立；所以，即实数的最大值为25.故选：B.8. 函数是定义在R上的偶函数，且当时，则不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先根据函数的解析式可得，再结合偶函数的性质与单调性求解即可.【详解】因为是定义在R上的偶函数，故当时，.又当时，；当时，故.故即，结合偶函数性质与的单调性可得，即，解得.故选：D二、多选题（共20分）9. 已知函数的图象关于点对称，则（ ）A. B. 直线是曲线的一

5、条对称轴C. D. 在区间上单调递增【答案】BC【解析】【分析】根据求得，结合三角函数的对称性、周期性、单调性求得正确答案.【详解】依题意，由于，所以，A选项错误.则，所以直线是曲线的一条对称轴，B选项正确.的最小正周期，所以，C选项正确.由得，所以不是的递增区间，D选项错误.故选：BC10. 下列说法正确的是（ ）A. 任取，都有B. 函数最大值为1C. 函数（且）的图象经过定点D. 在同一坐标系中，函数与函数的图象关于轴对称【答案】BC【解析】【分析】A选项：利用特殊值的思路，令，即可得到A不成立；B选项：根据函数的单调性求最大值即可；C选项：将代入到的解析式中验证即可；D选项：求出函数图

6、象关于轴对称后的解析式即可判断D选项.【详解】A选项：当时，故A错；B选项：函数在上单调递增，上单调递减，所以，故B正确；C选项：令，则，所以的图象恒过，故C正确；D选项：函数图象关于轴对称后的解析式为，故D错.故选：BC.11. 下列说法正确的是（ ）A. 命题“，”的否定为“，”B. “或”是“”的必要不充分条件C. 已知，则D. 当时，的最小值是【答案】BC【解析】【分析】根据全称量词命题的否定、必要不充分条件、不等式的性质、基本不等式等知识对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】A选项，命题“，”的否定为“，”， A选项错误.B选项，若“或”，如，则，即“”不成立；若“”，则“或”，

7、所以“或”是“”的必要不充分条件，B选项正确、C选项，由于，则，所以，C选项正确.D选项，但不成立，所以等号不成立，故D选项错误.故选：BC12. 设，关于函数，给出下列四个叙述，其中正确的有（ ）A. 任意，函数都恰有3个不同的零点B. 存在，使得函数没有零点C. 任意，函数都恰有1个零点D. 存在，使得函数有4个不同的零点【答案】AC【解析】【分析】画出函数的图像，利用函数的零点转化为函数图像的交点逐项分析.【详解】如图的图像： 令所以化为：，令，由 所以有两个不同的实数根，设为：，所以，由所以选项A：任意， 则如图所示： 有两个交点，即此时原函数有两个零点，有一个交点，即此时原函数有一个

8、零点，所以共3个不同的零点，故A选项正确；当时，此时，故此时函数有2个零点当时，由选项A知有3个不同的零点；当时，有，此时函数有1个零点，所以函数至少有1个零点，故B不正确；由选项B，可知C正确；若存在，使得函数有4个不同的零点，如图：则即：有两个交点，即原函数有两个零点，有两个交点，即原函数有两个零点，共4个零点；此时，当时，矛盾；当时，矛盾；当时，矛盾，故D选项错误.故选：AC.三、填空题（共20分）13. _.【答案】1【解析】【分析】由诱导公式和特殊角的三角函数值，直接得到答案.【详解】依题意，根据诱导公式，原式.故答案为：14. 已知函数的图像经过点，若，则的取值范围为_.【答案】【

9、解析】【分析】先求出函数解析式，再利用其单调性解不等式即可.【详解】因为幂函数的图像过点，所以，易知函数在上是奇函数，且单调递增，所以可化为，即，解得，故取值范围为.故答案为：15. 下列命题中：与互为反函数，其图象关于对称;函数的单调递减区间是；当，且时，函数必过定点；已知，且，则实数.上述命题中的所有正确命题的序号是_.【答案】【解析】【分析】根据反函数、单调性、指数型函数图象所过定点、对数运算等知识对四个命题进行分析，从而确定正确答案.【详解】对于，因为与互为反函数，其图象关于对称；所以当时，与互为反函数，其图象关于对称，故命题正确；对于，由反比例函数可知，函数的单调递减区间是，故错误；

10、对于，因为，所以令，即，则，故过定点，故命题正确；对于，因为，所以，所以，故由得，即，即，所以，故命题错误.故答案为：16. 若对于任意，任意，使得不等式成立，则实数的取值范围是_【答案】【解析】【分析】应用恒成立问题与最值的关系转化两个恒成立,再解不等式即可.【详解】因为对于任意,任意，使得不等式成立,设,则又因为,所以.所以即设,对于任意,应用一次函数性质可知即得,解得则实数的取值范围是.故答案为: .四、解答题（共70分）17. 若集合，（1）若，求（2）若，求实数m的取值范围【答案】（1） （2）【解析】【分析】根据交集和子集的定义，即可求解.【小问1详解】解：当时，因为，所以；【小问

11、2详解】解：由得,所以m的取值范围是.18. 已知.（1）化简；（2）若角为第二象限角，且，求的值.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）由诱导公式化简；（2）由平方关系求得，再由商数关系得，从而得结论【小问1详解】.【小问2详解】，角为第二象限角，.19. 某公司为了提高生产效率，决定投入160万元买一套生产设备，预计使用该设备后，前年的支出成本为万元，每年的销售收入98万元（1）估计该设备从第几年开始实现总盈利；（2）使用若干年后对该设备处理的方案有两种：方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以20万元的价格处理；方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以30万元的价格处理哪种方案

12、较为合理？并说明理由（注：年平均盈利额）【答案】（1）3 （2）方案二更合理，理由见解析【解析】【分析】（1）先设为前年的总盈利额，由题中条件得出，列出不等式求解，即可得出结果；（2）分别求出两种方案的总利润，以及所需要的时间，即可得出结论.【小问1详解】设为前年的总盈利额，单位：万元；由题意可得，由得，又，所以该设备从第年开始实现总盈利；【小问2详解】方案二更合理，理由如下：方案一：由（1）知，总盈利额，当时，取得最大值；此时处理掉设备，则总利润为万元；方案二：由（1）可得，平均盈利额，当且仅当，即时，等号成立；即时，平均盈利额最大，此时，此时处理掉设备，总利润为万元；综上，两种方案获利都是

13、万元，但方案二仅需要4年即可，故方案二更合适.20. 已知函数的最小正周期（1）求函数单调递增区间和对称中心；（2）求函数在上的值域【答案】（1）答案见解析 （2）【解析】【分析】（1）先由最小正周期求得，再结合的性质即可求得所求；（2）利用整体法及的单调性即可求得在上的值域【小问1详解】因为的最小正周期，所以，得，故，则由得，由得，所以单调递增区间为，对称中心为.【小问2详解】因为，所以，所以，故，即，所以在上的值域为.21. 已知是定义在上的奇函数，且当时，.（1）求函数的解析式；（2）当时，方程有解，求实数的取值范围.【答案】（1）； （2）.【解析】【分析】（1）当时，则，再利用为奇函

14、数，和，即可求出答案.（2）利用函数是奇函数把方程化为，再利用是上的单调减函数得，在上有解. 再令，则在有解.分离参数有解问题，即可求出答案.【小问1详解】当时，则，是奇函数，.又当时，.【小问2详解】由，可得.是奇函数，.又是上的单调减函数，所以在有解.令，则在有解.即在有解，设易知函数在（1,2）递减，（2,3）递增，故值域为实数的取值范围为22. 已知函数与，其中偶函数（1）求实数的值及的值域；（2）求函数的定义域；（3）若函数与的图象有且只有一个公共点，求实数的取值范围【答案】（1），函数的值域为 （2）答案见解析 （3）【解析】【分析】（1）利用偶函数的定义可求得实数的值，利用对数函

15、数的单调性结合基本不等式可求得函数的值域；（2）由已知可得出，对实数的取值进行分类讨论，结合指数函数的单调性可解得函数的定义域；（3）令，由可知关于的方程有且只有一个正根，对实数的取值进行分类讨论，结合一次函数和二次函数的零点分布可得出关于实数的不等式（组），综合可得出实数的取值范围.【小问1详解】解：由函数是偶函数可知，所以，所以，则，故，所以，当且仅当时，等号成立，故函数的值域为.【小问2详解】解：对于函数，则有.当时，不合乎题意；当时，得；当时，得.综上所述，当时，函数的定义域为；当时，函数的定义域为.【小问3详解】解：函数与的图象有且只有一个公共点，即方程有且只有一个实根，即方程有且只有一个实根，令，则方程有且只有一个正根.当时，不合题意;当时，由得或，若，则不合题意；若，则满足要求.若，可得或.则此时方程应有一个正根与一个负根，所以，解得，因为或，故.综上，实数的取值范围是【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.