第1课时 函数的极值梯度式训练-高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册.docx

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1、5.3.2函数的极值与最大(小)值第1课时函数的极值基础过关练题组一函数极值的概念及其求解1.(2022广西昭平中学月考)下列函数中,存在极值的是()A.y=exB.y=ln xC.y=2xD.y=x2-2x2.函数f(x)的定义域为R,导函数f (x)的图象如图所示,则函数f(x)()A.无极大值点,有四个极小值点B.有三个极大值点,两个极小值点C.有两个极大值点,两个极小值点D.有四个极大值点,无极小值点3.(2022山西怀仁第一中学期末)函数f(x)=(1-cos x)sin x在-,上的极大值点为()A.-23B.-3C.23D.4.求下列函数的极值:(1)f(x)=xx2+3;(2)

2、f(x)=2x2-x4;(3)f(x)=ex-ex.5.已知函数f(x)=ex(ax+b)-x2-4x,曲线y=f(x)在点(0, f(0)处的切线方程为y=4x+4.(1)求a,b的值;(2)讨论f(x)的单调性,并求出f(x)的极大值.题组二含参函数的极值问题6.(2021福建南平期末)已知x=1是函数f(x)=ax3-3x2的极小值点,则函数f(x)的极小值为()A.0B.-1C.2D.47.(2022安徽阜阳期末)若函数f(x)=x2-4x+aln x有唯一的极值点,则实数a的取值范围为()A.(-,0)B.(-,0)2C.(-,0D.(-,028.函数f(x)=x3+3ax2+3(a

3、+2)x+3既有极大值又有极小值,则实数a的取值范围是.9.(2021湖南师大附中月考)已知函数f(x)=x3+3mx2+nx+m2在x=-1处取得极值0,则m+n=.10.(2021江西景德镇一中期中)若函数f(x)=ln x-2x+b2x2不存在极值,则实数b的取值范围为.11.(2022天津红桥教师发展中心期末)函数f(x)=ln x+ax2-(2a+1)x(a0).(1)当a=1时,求函数f(x)的单调区间;(2)求函数f(x)的极值.题组三函数极值的综合应用12.若a0,b0,且函数f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=1处有极值,则ab的最大值为()A.2B.3C.6D.913

4、.(2021陕西宝鸡期末)若函数f(x)=e3x-e2x-ex -a存在零点,则实数a的取值范围为()A.-2,+)B.-e,+)C.-e2,+)D.-1,+)14.已知三次函数f(x)=mx3+nx2+px+2q的图象如图所示,则 f (1)f (0)=.15.(2021江西南昌八一中学、洪都中学等七校期末)已知函数f(x)=x2+x-ln x.(1)求曲线y=f(x)在点(1, f(1)处的切线方程;(2)求函数y=f(x)的极值,并确定该函数零点的个数.16.已知函数f(x)=2x3+3ax2+3bx+c在x=1及x=2处取得极值.(1)求a,b的值;(2)若方程f(x)=0有三个不同的

5、实根,求c的取值范围.能力提升练题组一函数极值的求解及其应用P200定点11.(2020湖南长沙麓山国际实验学校检测)函数f(x)的定义域为(a,b),其导函数f (x)在(a,b)内的图象如图,则函数f(x)在区间(a,b)内的极小值点有()A.1个B.2个C.3个D.4个2.(2021河南新乡期末)已知函数f(x)=ln x-ax的图象在x=1处的切线方程为x+y+b=0,则f(x)的极大值为()A.-ln 2-1B.-ln 2+1C.-1D.13.(2021天津滨海高新技术产业开发区第一学校期末)函数f(x)=ex-x2-2x的极值点的个数为()A.0B.1C.2D.3题组二含参函数的极

6、值问题P200定点14.(2022河北定州期末)已知函数f(x)=aln x-(x-1)ex(0a0).(1)当a=2时,求f(x)的图象在点(0, f(0)处的切线方程;(2)若f(x)有两个极值点.求a的取值范围;证明f(x)的极小值小于-2ln 2+12.题组三函数极值的综合应用9.(多选)已知函数f(x)=xln x+x2,x0是函数f(x)的极值点,则下列结论正确的是()A.0x01e C.f(x0)+2x0010.(多选)已知函数f(x)=ax-ln x(aR),则下列说法正确的是()A.若a0,则函数f(x)没有极值B.若a0,则函数f(x)有极值C.若函数f(x)有且只有两个零

7、点,则实数a的取值范围是,1eD.若函数f(x)有且只有一个零点,则实数a的取值范围是(-,01e11.(2021福建南平期末)函数f(x)=ax2-2ln x-1有两个零点,则a的取值范围为()A.(-,e)B.(0,e)C.(0,1)D.(-,1)12.(2022浙江湖州期中)设函数f(x)=ax+bxe-x(a,bR),若x=1为f(x)的一个极值点,则g(x)=ax+ab4x的图象可能是()13.(2022广西玉林期末)已知函数f(x)=ex+ax2x+1(aR).(1)当a=0时,求函数f(x)的极值;(2)当x0,+)时, f(x)1恒成立,求实数a的取值范围.14.(2021北京

8、朝阳期末)已知函数f(x)=ln x-(a+2)x+ax2(aR).(1)当a=0时,求曲线y=f(x)在点(1, f(1)处的切线方程;(2)求f(x)的单调区间;(3)若f(x)恰有两个零点,求实数a的取值范围.答案全解全析基础过关练1.D函数y=ex是实数集R上的增函数,不存在极值;函数y=ln x是正实数集上的增函数,不存在极值;函数y=2x在区间(0,+),(-,0)上是减函数,不存在极值;y=x2-2x=(x-1)2-1在(1,+)上是增函数,在(-,1)上是减函数,因此x=1是函数的极小值点,符合题意.故选D.2.C设y=f (x)的图象与x轴的交点从左到右的横坐标依次为x1,x

9、2,x3,x4,则f(x)在x=x1,x=x3处取得极大值,在x=x2,x=x4处取得极小值,故选C.3.Cf (x)=sin xsin x+(1-cos x)cos x=-2cos2x+cos x+1=(-cos x+1)(2cos x+1),当x,23时, f (x)0, f(x)单调递增,当x23,时, f (x)0,解得x1;令f (x)0,解得 x0;当x(-2,-ln 2)时, f (x)0.故f(x)在(-,-2),(-ln 2,+)上单调递增,在(-2,-ln 2)上单调递减.当x=-2时,函数f(x)取得极大值,极大值为f(-2)=4(1-e-2).6.B由题意可得f (x)

10、=3ax2-6x=3x(ax-2),因为x=1是函数f(x)=ax3-3x2的极小值点,所以f (1)=0,即3(a-2)=0,解得a=2,故f (x)=6x(x-1),当x1时, f (x)0,当0x1时, f (x)0),令g(x)=2x2-4x+a=2(x-1)2+a-2,由f(x)有唯一的极值点,可得g(0)0,即a0,故实数a的取值范围为(-,0.故选C.8.答案(-,-1)(2,+)解析易得f (x)=3x2+6ax+3(a+2).函数f(x)既有极大值又有极小值,f (x)=0有两个不相等的实数根,即方程x2+2ax+a+2=0有两个不相等的实数根,=4a2-4a-80,解得a2

11、或a0,得x-1;令f(x)0,得-3x0,当x12,+时, f (x)0时,函数y=bx2-2x+1的图象为开口向上的抛物线,对称轴为直线x=1b,当且仅当=4-4b0,即b1时,函数y=bx2-2x+1在(0,+)上没有变号零点,即当且仅当b1,+)时,函数f(x)没有极值.当b0,得0x1;令f (x)0,得12x12时,函数f(x)的单调增区间为0,12a,(1,+),单调减区间为12a,1,所以函数f(x)在x=12a处取得极大值,为f12a=-ln(2a)-4a+14a,在x=1处取得极小值,为f(1)=-a-1;当0a12时, f(x)的极大值为-ln(2a)-4a+14a,极小

12、值为-a-1;当0a0,b0,a+b2ab,即2ab6,ab9,当且仅当a=b=3时,等号成立,经检验,a=b=3时满足题意,ab的最大值为9.13.Df (x)=3e3x-2e2x-ex =ex (3e2x-2ex -1)=ex (ex -1)(3ex +1),令f (x)=0,则ex -1=0,解得x=0.在区间(-,0)上, f (x)0, f(x)为增函数,结合f(x)的图象(图略)可知,若函数f(x)=e3x-e2x-ex -a存在零点,则必有f(0)=-a-10,解得a-1,即a的取值范围为-1,+),故选D.14.答案1解析由题意得,m0,且f (x)=3mx2+2nx+p,由题

13、图可知,x=2是函数的极大值点,x=-1是极小值点,即2,-1是f (x)=0的两个根,故f (1)=3m2n+p=0,f (2)=12m+4n+p=0,p=-6m,2n=-3m,f (0)=p=-6m, f (1)=-6m,f (1)f (0)=1.15.解析(1)因为f(1)=2,所以切点的坐标为(1,2),易得f (x)=2x+1-1x,则f (1)=2.故所求切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x.(2)易知函数f(x)的定义域为(0,+),f (x)=2x+1-1x=2x2+x1x=(2x1)(x+1)x,令f (x)0,得x12,令f (x)0,得0x0,所以f(x)无零点.1

14、6.解析(1)由题意得, f (x)=6x2+6ax+3b,由函数f(x)在x=1及x=2处取得极值,得f (1)=6+6a+3b=0,f (2)=24+12a+3b=0,解得a=3,b=4,经检验,符合题意.(2)由(1)可知, f(x)=2x3-9x2+12x+c,f (x)=6x2-18x+12=6(x-2)(x-1),令f (x)=0,得x=1或x=2,当x2 时, f (x)0, f(x)单调递增,当1x2时, f (x)0,f(2)=4+c0, 解得-5c-4.方法技巧解决一元三次方程的实数根问题,常常要考虑两个方面:一是导数为零时一元二次方程实根的个数;二是一元二次方程有两个不等

15、实根时,三次函数有极大值点和极小值点,判断极大值、极小值与0的大小关系.能力提升练1.A由题图知,当ax0,当x1xx2时,f (x)0,所以x1是极大值点;同理,x2是极小值点,x4是极大值点.当x2x0,当x3x0,所以x3不是极值点.所以f(x)在(a,b)内有1个极小值点.故选A.2.A因为f(x)=ln x-ax,所以f (x)=1x-a(x0),又因为函数f(x)的图象在x=1处的切线方程为x+y+b=0,所以f(1)=-a=-b-1, f (1)=1-a=-1,解得a=2,b=1,所以f (x)=1x-2=12xx.当0x0, f(x)单调递增,当x12时, f (x)0),当0

16、ae时,设g(x)=a-x2ex,则g(x)=-(x2+2x)ex0,g(1)=a-e0,即f (x)0,当x(x0,+)时,g(x)0,即f (x)0),则g(x)=lnxx2(x0),令g(x)0,得0x1,令g(x)1,所以函数g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+)上单调递减,画出y=2a和y=g(x)的图象,如图所示.又x0+时,g(x)-,x+时,g(x)0+,且g(1)=1,所以02a1,即0a0时,一元二次方程a(x+1)(x-a)=0的较小的根为极大值点,故a0,a1,无解;当a=0时, f (x)=0恒成立, f(x)无极值点,不符合题意;当a0时,方程a(x+1)(x

17、-a)=0的较大的根为极大值点,故a1,即-1a0.因此,a的取值范围是(-1,0).7.解析(1)易得f (x)=ax2-(2a+1)x+2ex,由题意可得曲线y=f(x)在点(1, f(1)处的切线斜率为0,故f (1)=(a-2a-1+2)e=0,解得a=1.(2)f (x)=ax2-(2a+1)x+2ex =(x-2)(ax-1)ex.当a0时,1a2,此时f(x)在1a,2上单调递增,在(2,+),1a上单调递减,故f(x)在x=2处取得极大值,不符合题意;当a=0时, f (x)=-(x-2)ex,若x0, f(x)单调递增,若x2,则f (x)0, f(x)单调递减,故f(x)在

18、x=2处取得极大值,不符合题意;当0a2,此时f(x)在2,1a上单调递减,在1a,+,(-,2)上单调递增,故f(x)在x=2处取得极大值,不符合题意;当a=12时, f (x)=12(x-2)2ex 0, f(x)在R上单调递增,无极值,不符合题意;当a12时,01a-1.若f(x)有两个极值点,则f (x)=0在(-1,+)上有两个不相等的实数根,即g(x)=0在(-1,+)上有两个不相等的实数根,故a0,=a28a0,g(1)0,解得a8.当f(x)有两个极值点时,a的取值范围为(8,+).证明:由g(-1)=g12=10,g34=1-a80,可知函数g(x)在区间1,12上有两个变号

19、零点,设为x1,x2,且x1x2,则x11,34,x234,12.当-1x0,即f (x)0,f(x)在(-1,x1)上单调递增;当x1xx2时,g(x)0,即f (x)x2时,g(x)0,即f (x)0,f(x)在(x2,+)上单调递增,故函数f(x)有唯一的极小值点x2,且-34x2-12.g(x2)=0,a=-12x22+3x2+1.f(x2)=ln(x2+1)-12x22+3x2+1(x22+x2)+2=ln(x2+1)-x22x2+1+2,-34x2-12.令(x)=ln(x+1)-x2x+1+234x12,则(x)=1x+1-2x+12x(2x+1)2=x(4x+3)(x+1)(2

20、x+1)2,当-34x-12时,(x)0,(x)在34,12上单调递减.(x)0),f (x)=ln x+1+2x,易得f (x)=ln x+1+2x在(0,+)上单调递增, f 1e=2e0,当x0时, f (x)-,0x00,C错误,D正确.故选AD.10.ABD由题意得,函数f(x)的定义域为(0,+),且f (x)=a-1x=ax1x,若a0,则f (x)0,在0,1a上, f (x)0, f(x)单调递增,当x=1a时, f(x)取得极小值,同时也是最小值,f(x)min=f1a=1+ln a,当1+ln a=0,即a=1e时, f(x)有且只有一个零点;当1+ln a0,即0a0,

21、则g(x)=2lnx+1x2的图象与直线y=a有两个不同的交点,易得g(x)=2xx2(2lnx+1)2xx4=4lnxx3,令g(x)=0,得x=1,当x(0,1)时,g(x)0,则g(x)单调递增;当x(1,+)时,g(x)0,得x1e;令g(x)=2lnx+1x20,得0x1e.画出g(x)=2lnx+1x2的大致图象如图,由图象可得,当0a0,则当x12或x0,g(x)单调递增,当0x12或-12x0时,g(x)0,g(x)单调递减,选项B符合.若a12或x-12时,g(x)0,g(x)单调递减,当0x12或-12x0,g(x)单调递增,没有符合的选项.综上可知,只有选项B符合题意.故

22、选B.13.解析(1)当a=0时, f(x)=exx2x+1,xR.f (x)=(x2x+1)(2x1)ex(x2x+1)2=(x23x+2)ex(x2x+1)2=(x1)(x2)ex(x2x+1)2,令f (x)0,得x2,故f(x)的单调增区间为(-,1),(2,+).令f (x)0,得1x0,得0xln 2,故函数h(x)的单调增区间为0,ln 2),单调减区间为(ln 2,+),所以h(x)h(ln 2)=2ln 2-1-2=2ln 2-30,所以g(x)0).当a0时, f(x)与f (x)在(0,+)上的变化情况如下:x0,121212,+f (x)+0-f(x)极大值所以f(x)

23、在0,12上单调递增,在12,+上单调递减.当0a2时, f(x)与f (x)在(0,+)上的变化情况如下:x0,1a1a1a,121212,+f (x)+0-0+f(x)极大值极小值所以f(x)在0,1a,12,+上单调递增,在1a,12上单调递减.(3)由(2)可知,当a0时, f(x)在x=12时取得极大值,也是最大值,为f12=-ln 2-1-a4.当x0时, f(x)-,当x+时, f(x)-,故若f(x)恰有两个零点,则f120,即-ln 2-1-a40,解得a-4ln 2-4.所以当a-4ln 2-4时, f(x)恰有两个零点.当0a2时, f(x)在x=12时取得极大值,因为f12=-ln 2-1-a42时, f(x)在x=1a时取得极大值,因为f1a=-ln a-1-1a0,所以f(x)在(0,+)上至多有一个零点,不符合题意.综上所述,实数a的取值范围是(-,-4ln 2-4).22学科网（北京）股份有限公司