导数的概念及其几何意义梯度式训练-高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册.docx

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1、5.1.2导数的概念及其几何意义基础过关练题组一导数的概念及其应用1.(2022辽宁大连八中期中)已知函数f(x)=2x,g(x)=x2在0,2上的平均变化率分别为m1,m2,则下列结论正确的是()A.m1=m2B.m1m2C.m2m1D.m1,m2的大小无法确定2.函数f(x)在x=x0处的导数可表示为()A.f (x0)=limx0f(x0+x)f(x0)xB.f (x0)=limx0f(x0+x)-f(x0)C.f (x0)=f(x0+x)-f(x0)D.f (x0)=f(x0+x)f(x0)x3.(2022陕西武功普集高级中学期末)设f(x)是可导函数,若limx0f(x0x)f(x0

2、)x=2,则f (x0)=()A.2B.12C.-2D.-124.已知函数y=f(x)=ax+4,若f (1)=2,则a=.5.求函数y=x2+1在x=0处的导数.题组二导数的几何意义及其应用6.(2022黑龙江牡丹江第三高级中学期末)已知函数y=f(x)的图象在点P(5, f(5)处的切线方程是y=-x+8,则f(5)+f (5)=()A.2B.3C.4D.57.已知函数f(x)在R上可导,且f(x)的图象如图所示,则下列不等式正确的是()A.f (a)f (b)f (c)B.f (b)f (c)f (a)C.f (a)f (c)f (b)D.f (c)f (a)f (b)8.如图,函数y=

3、f(x)的图象在点P处的切线方程是y=-x+8,则limx0f(5+x)f(5)x=()A.1B.3C.-3D.-19.若函数y=f(x)的导函数y=f (x)在区间a,b上是增函数,则函数y=f(x)在区间a,b上的图象可能是()10.(2020浙江宁波期末)已知f(x)=x2+2x+3,P为曲线C:y=f(x)上的点,且曲线C在点P处的切线的倾斜角的取值范围为4,2,则点P的横坐标的取值范围为()A.,12B.-1,0C.0,1D.12,+11.(多选)(2022重庆青木关中学校月考)已知函数y=f(x)(xR)图象上任一点(x0,y0)处的切线方程为y-y0=(x0-2)(x0+4)(x

4、-x0),那么下列结论正确的有()A. f (1)=-5B.函数y=f(x)的图象在x=2处的切线平行或重合于x轴C.切线斜率的最小值为1D. f (4)=1212.(多选)已知函数f(x)的定义域为R,其导函数f (x)的图象如图所示,则对于任意x1,x2R(x1x2),下列结论正确的是()A.(x1-x2)f(x1)-f(x2)0C. f x1+x22f(x1)+f(x2)2D. f x1+x22f(x1)+f(x2)213.若点P是抛物线y=x2上任意一点,求点P到直线y=x-2的最小距离及此时点P的坐标.14.已知直线l:y=4x+a和曲线C:y=f(x)=x3-2x2+3相切,求a的

5、值及切点坐标.15.试求过点M(1,1)且与曲线y=x3+1相切的直线方程.答案全解全析基础过关练1.A由题意得m1=222020=2,m2=220220=2,故m1=m2.故选A.2.A3.Climx0f(x0x)f(x0)x=-limx0f(x0x)f(x0)x=-f (x0)=2,故f (x0)=-2.故选C.4.答案2解析由题意得,y=f(1+x)-f(1)=a(1+x)+4-a-4=ax,limx0yx=a,f (1)=a=2.5.解析y=(0+x)2+1-02+1=(x)2+11(x)2+1+1=(x)2(x)2+1+1,yx=x(x)2+1+1,yx=0=limx0yx=limx

6、0x(x)2+1+1=0.6.A易得切点P(5,3),切线斜率k=-1,所以f(5)=3, f (5)=-1.所以f(5)+f (5)=3-1=2.故选A.7.A由题意可知, f (a), f (b), f (c)分别是函数f(x)的图象在x=a,x=b和x=c处的切线的斜率,则有f (a)0f (b)f (c),故选A.8.D由导数的概念知limx0f(5+x)f(5)x=f (5),由题可知f (5)=-1,故选D.9.A因为函数y=f(x)的导函数y=f (x)在区间a,b上是增函数,所以函数y=f(x)的图象在区间a,b上各点处的切线的斜率是递增的,故选A.10.D设点P的横坐标为x0

7、,则曲线C在点P处的切线的倾斜角与x0的关系为tan =f (x0)=limx0f(x0+x)f(x0)x=2x0+2.4,2,tan 1,+),2x0+21,即x0-12,点P的横坐标的取值范围为12,+.11.AB由题意可得f (x)=(x-2)(x+4).对于A, f (1)=(1-2)(1+4)=-5,故A正确;对于B,当x=2时, f (2)=0,故函数y=f(x)的图象在x=2处的切线平行或重合于x轴,故B正确;对于C, f (x)=(x-2)(x+4)=x2+2x-8=(x+1)2-9-9,故切线斜率的最小值为-9,故C错误;对于D, f (4)=(4-2)(4+4)=16,故D

8、错误.故选AB.12.AD由题中图象可知,导函数f (x)的图象在x轴下方,即f (x)0,且随着x的增大,|f (x)|越来越小,因此函数f(x)图象上任一点处的切线的斜率为负,并且随着x的增大,切线的倾斜角是越来越大的钝角,由此可得f(x)的大致图象如图所示.A选项表示x1-x2与f(x1)-f(x2)异号,即f(x)图象的割线斜率 f(x1)f(x2)x1x2为负,故A正确;B选项表示x1-x2与f(x1)-f(x2)同号,即f(x)图象的割线斜率 f(x1)f(x2)x1x2为正,故B不正确;f x1+x22表示x=x1+x22对应的函数值,即图中点B的纵坐标,f(x1)+f(x2)2

9、表示x=x1和x=x2所对应的函数值的平均值,即图中点A的纵坐标,显然有f x1+x22f(x1)+f(x2)2,故C不正确,D正确.故选AD.13.解析由题意可得,当点P到直线y=x-2的距离最小时,点P为抛物线y=x2的一条切线的切点,且该切线平行于直线y=x-2,设点P的横坐标为x0,设y=f(x)=x2,因为f(x0+x)f(x0)x=(x0+x)2x02x=(x)2+2x0xx=x+2x0,当x0时,f(x0+x)f(x0)x 2x0,所以由导数的几何意义知2x0=1,解得x0=12,所以P12,14,故点P到直线y=x-2的最小距离d=121422=728.14.解析设直线l与曲线

10、C相切于点P(x0,y0),因为f(x0+x)f(x0)x=(x0+x)32(x0+x)2+3(x032x02+3)x=3x02x+3x0(x)2+(x)34x0x2(x)2x=3x02+3x0x+(x)2-4x0-2x,当x0时,f(x0+x)f(x0)x3x02-4x0,所以由导数的几何意义知3x02-4x0=4,解得x0=-23或x0=2,所以切点的坐标为23,4927或(2,3).当切点为23,4927时,有4927=423+a,解得a=12127;当切点为(2,3)时,有3=42+a,解得a=-5.综上,当a=12127时,切点坐标为23,4927;当a=-5时,切点坐标为(2,3).15.解析yx=(x+x)3+1x31x=3x(x)2+3x2x+(x)3x=3xx+3x2+(x)2,则limx0yx=3x2,因此y=3x2.设过点M(1,1)的直线与曲线y=x3+1相切于点P(x0,x03+1),根据导数的几何意义知曲线在点P处的切线的斜率k=3x02,过点M和点P的直线的斜率为x03+11x01,由=得3x02=x03x01,解得x0=0(二重根)或x0=32,所以k=0或k=274,因此过点M(1,1)且与曲线y=x3+1相切的直线有两条,其方程分别为y-1=274(x-1)和y=1,即27x-4y-23=0和y=1.7学科网（北京）股份有限公司