九年级中考数学二轮压轴培优专题 二次函数与单线段最值问题 .docx

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1、中考数学二轮压轴培优专题二次函数与单线段最值问题1.如图，已知抛物线ya(x3)(x6)过点A(1，5)和点B(5，m)，与x轴的正半轴交于点C(1)求a，m的值和点C的坐标；(2)若点P是x轴上的点，连接PB，PA，当时，求点P的坐标；(3)在抛物线上是否存在点M，使A，B两点到直线MC的距离相等？若存在，求出满足条件的点M的横坐标；若不存在，请说明理由2.如图，在平面直角坐标系中，二次函数yx2bxc的图象经过点A(0，)，点B(1，)(1)求此二次函数的解析式；(2)当2x2时，求二次函数yx2bxc的最大值和最小值；(3)点P为此函数图象上任意一点，其横坐标为m，过点P作PQx轴，点Q

2、的横坐标为2m1已知点P与点Q不重合，且线段PQ的长度随m的增大而减小求m的取值范围；当PQ7时，直接写出线段PQ与二次函数yx2bxc(2x)的图象交点个数及对应的m的取值范围3.已知：在平面直角坐标系中，抛物线yax22ax3a交x轴于A、B两点(点A在点B的左边)，交y轴负半轴于点C(1)则点A的坐标为 ，点B的坐标为 (2)如图1，过点A的直线yaxa交y轴正半轴于点F，交抛物线于点D，过点B作BEy轴交AD于E，求证：AFDE(3)如图2，直线DE：ykxb与抛物线只有一个交点D，与对称轴交于点E，对称轴上存在点F，满足DFFE若a1，求点F坐标4.如图，抛物线yax2bx5经过坐标

3、轴上A、B和C三点，连接AC，tanC，5OA3OB(1)求抛物线的解析式；(2)点Q在第四象限的抛物线上且横坐标为t，连接BQ交y轴于点E，连接CQ、CB，BCQ的面积为S，求S与t的函数解析式；(3)已知点D是抛物线的顶点，连接CQ，DH所在直线是抛物线的对称轴，连接QH，若BQC45，HRx轴交抛物线于点R，HQHR，求点R的坐标5.如图，二次函数yx2bxc的图象与x轴交于点A(1，0)和点B(3，0)，与y轴交于点N，以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接CP，过点P作CP的垂线与y轴交于点E(1)求该抛物线的函数关系表达式；(2)当点P在线段OB(点P不与O

4、、B重合)上运动至何处时，线段OE的长有最大值？并求出这个最大值；(3)在第四象限的抛物线上任取一点M，连接MN、MB请问：MBN的面积是否存在最大值？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由6.已知点A(1，0)是抛物线yax2bxm(a，b，m为常数，a0，m0)与x轴的一个交点()当a1，m3时，求该抛物线的顶点坐标；()若抛物线与x轴的另一个交点为M(m，0)，与y轴的交点为C，过点C作直线l平行于x轴，E是直线l上的动点，F是y轴上的动点，EF2当点E落在抛物线上(不与点C重合)，且AEEF时，求点F的坐标；取EF的中点N，当m为何值时，MN的最小值是？7.如图，二次函数ya

5、x2bxc的图象过O(0，0)、A(1，0)、B(，)三点(1)求二次函数的解析式；(2)若线段OB的垂直平分线与y轴交于点C，与二次函数的图象在x轴上方的部分相交于点D，求直线CD的解析式；(3)在直线CD下方的二次函数的图象上有一动点P，过点P作PQx轴，交直线CD于Q，当线段PQ的长最大时，求点P的坐标8.如图，抛物线的顶点为A(h，1)，与y轴交于点B(0，)，点F(2，1)为其对称轴上的一个定点(1)求这条抛物线的函数解析式；(2)已知直线l是过点C(0，3)且垂直于y轴的定直线，若抛物线上的任意一点P(m，n)到直线l的距离为d，求证：PFd；(3)已知坐标平面内的点D(4，3)，

6、请在抛物线上找一点Q，使DFQ的周长最小，并求此时DFQ周长的最小值及点Q的坐标9.如图所示，抛物线yax2xc经过原点O与点A(6，0)两点，过点A作ACx轴，交直线y2x2于点C，且直线y2x2与x轴交于点D(1)求抛物线的解析式，并求出点C和点D的坐标；(2)求点A关于直线y2x2的对称点A的坐标，并判断点A是否在抛物线上，并说明理由；(3)点P(x，y)是抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线，交线段CA于点Q，设线段PQ的长为l，求l与x的函数关系式及l的最大值10.如图，抛物线yax24xc(a0)经过点A(1，0)，点E(4，5)，与y轴交于点B，连接AB(1)求该抛物线的解析式；

7、(2)将ABO绕点O旋转，点B的对应点为点F当点F落在直线AE上时，求点F的坐标和ABF的面积；当点F到直线AE的距离为时，过点F作直线AE的平行线与抛物线相交，请直接写出交点的坐标答案1.解：(1)抛物线ya(x3)(x6)过点A(1，5)，520a，a，抛物线的解析式为y(x3)(x6)，令y0，则(x3)(x6)0，解得x3或6，C(3，0)，当x5时，y(8)12，B(5，2)，m2(2)设P(t，0)，则有，整理得，21t2242t6210，解得t或，经检验t或是方程的解，满足条件的点P坐标为(，0)或(，0)(3)存在连接AB，设AB的中点为T当直线CM经过AB的中点T时，满足条件

8、A(1，5)，B(5，2)，TATB，T(3，)，C(3，0)，直线CT的解析式为yx，由，解得 (即点C)或，M(，)，CMAB时，满足条件，直线AB的解析式为yx，直线CM的解析式为yx，由，解得 (即点C)或，M(9，9)，综上所述，满足条件的点M的横坐标为或92.解：(1)将A(0，)，点B(1，0.25)代入yx2bxc得：，解得，yx2x(2)yx2x(x)22，抛物线开口向上，对称轴为直线x当x时，y取最小值为2，2()(2)，当x2时，y取最大值222(3)PQ|2m1m|3m1|，当3m10时，PQ3m1，PQ的长度随m的增大而减小，当3m10时，PQ3m1，PQ的长度随m增

9、大而增大，3m10满足题意，解得m0PQ7，03m17，解得2m，如图，当m时，点P在最低点，PQ与图象有1交点，m增大过程中，m，点P与点Q在对称轴右侧，PQ与图象只有1个交点，直线x关于抛物线对称轴直线x对称后直线为x，m时，PQ与图象有2个交点，当2m时，PQ与图象有1个交点，综上所述，2m或m时，PQ与图象交点个数为1，m时，PQ与图象有2个交点3.解：(1)令y0，得ax22ax3a0即x22x30得x13，x21A(1，0)B(3，0)(2)过E，D分别作x轴，y轴的平行线，交于H令axaax22ax3a得ax23ax4a0，x23x40x14，x21xD4EHAO1AOFEHD，

10、FAODEHFAODEHAFDE(3)令x22 x3kxb得x2(2k)x3b0(2k)24(3b)0，EFDF整理得yFF的坐标为(1，)4.解：(1)c5，OC5，tanC，则OA3，5OA3OB，则OB5，故点A、B、C的坐标分别为：(3，0)、(5，0)、(0，5)，则抛物线表达式为：ya(x5)(x3)a(x22x15)，即15a5，解得：a，故抛物线的表达式为：yx2x5；(2)设点Q(t，t2t5)，点B(5，0)，由点B、Q的坐标得：直线BQ的表达式为：y(t3)(x5)，故点E(0，t5)，SCE(xQxB)(5t5)(t5)t2t；(3)过点Q作QJx轴交y轴于点N，交对称

11、轴于点L，过点C作CTBQ于点T，延长CT交QJ于点J，过点Q作y轴的平行线交x轴于点K，交HR于点S，则OKQN为矩形，OKQNt，由(2)知，CEt，故QN：CE3：5，设QN3m，则CE5m，BQC45，故CTQT，EQN90NEQ90CETTCEJCN，故CTEQTJ(AAS)，故CEQJ5m，JNJQQN5m3m2m，tanEQNtanJCN，即，解得：ENm或6m(舍去6m)；CNCEEN5mm6m，故点Q(3m，56m)，将点Q的坐标代入抛物线表达式并解得：m0(舍去)或，故点Q(4，3)，抛物线的顶点D坐标为：(1，)，QL415HS，设：HRk，则点R(k1，k2)，QSyQ

12、yRk2，由勾股定理得：QS2HS2HQ2，即(k2)225k2，解得：k(不合题意值已舍去)，故点R(1，6)5.解：(1)抛物线yx2bxc经过A(1，0)，B(3，0)，把A、B两点坐标代入上式，解得：，故抛物线函数关系表达式为yx22x3；(2)A(1，0)，点B(3，0)，ABOAOB134，正方形ABCD中，ABC90，PCPE，OPECPB90，CPBPCB90，OPEPCB，又EOPPBC90，POECBP，设OPx，则PB3x，OE，0x3，x=时，线段OE长有最大值，最大值为即OP时，点P在线段OB上运动至P(，0)时，线段OE有最大值最大值是(3)存在如图，过点M作MHy

13、轴交BN于点H，抛物线的解析式为yx22x3，x0，y3，N点坐标为(0，3)，设直线BN的解析式为ykxb，直线BN的解析式为yx3，设M(a，a22a3)，则H(a，a3)，MHa3(a22a3)a23a，SMNBSBMHSMNH，-0，a时，MBN的面积有最大值，最大值是，此时M点的坐标为(,-)6.解：()当a1，m3时，抛物线的解析式为yx2bx3抛物线经过点A(1，0)，01b3，解得b2，抛物线的解析式为yx22x3yx22x3(x1)24，抛物线的顶点坐标为(1，4)()抛物线yax2bxm经过点A(1，0)和M(m，0)，m0，0abm，0am2bmm，即amb10a1，bm

14、1抛物线的解析式为yx2(m1)xm根据题意得，点C(0，m)，点E(m1，m)，过点A作AHl于点H，由点A(1，0)，得点H(1，m)在RtEAH中，EH1(m1)m，HA0mm，AEm，AEEF2，m2，解得m2此时，点E(1，2)，点C(0，2)，有EC1点F在y轴上，在RtEFC中，CF点F的坐标为(0，2)或(0，2)由N是EF的中点，连接CN，CM，得CNEF根据题意，点N在以点C为圆心、为半径的圆上，由点M(m，0)，点C(0，m)，得MOm，COm，在RtMCO中，MCm当MC，即m1时，满足条件的点N在线段MC上MN的最小值为MCNCm，解得m；当MC，即1m0时，满足条件

15、的点N落在线段CM的延长线上，MN的最小值为NCMC(m)，解得m当m的值为或时，MN的最小值是7.解：(1)将点O、A、B的坐标代入抛物线表达式得，解得，故抛物线的表达式为：yx2x；(2)由点B的坐标知，直线BO的倾斜角为30，BOAD，则BOABOC90，BOCOCA90，OCABOA30，则CD与x轴负半轴的夹角为60，故设CD的表达式为：yxb，而OB中点的坐标为(，)，将该点坐标代入CD表达式并解得：b，故直线CD的表达式为：yx；(3)设点P(x，x2x)，则点Q(x，x)，则PQx(x2x)x2x，-0，当x时，PQ有最大值，此时点P的坐标为(，)8.解：(1)由题意抛物线的顶

16、点A(2，1)，可以假设抛物线的解析式为ya(x2)21，抛物线经过B(0，)，4a1，a抛物线的解析式为y(x2)21(2)证明：过点P作PJAF于JP(m，n)，n(m2)21m2m，P(m，m2m)，dm2m(3)m2m，F(2，1)，PF，d2m4m3m2m，PF2m4m3m2m，d2PF2，PFd(3)如图，过点Q作QH直线l于H，过点D作DN直线l于NDFQ的周长DFDQFQ，DF是定值2，DQQF的值最小时，DFQ的周长最小，由(2)可知QFQH，DQQFDQQH，根据垂线段最短可知，当D，Q，H共线时，DQQH的值最小，此时点H与N重合，点Q在线段DN上，DQQH的最小值为6，

17、DFQ的周长的最小值为26，此时Q(4，)9.解：(1)把点O(0，0)，A(6，0)代入yax2xc，得，解得，抛物线解析式为yx2x当x6时，y26210，当y0时，2x20，解得x1，点C坐标(6，10)，点D的坐标(1，0)(2)过点A作AFx轴于点F，点D(1，0)，A(6，0)，可得AD5，在RtACD中，CD5，点A与点A关于直线y2x2对称，AED90，SADC5AE510，解得AE2，AA2AE4，DE，AEDAFA90，DAEAAF，ADEAAF，解得AF4，AF8，OF862，点A坐标为(2，4)，当x2时，y4(2)4，A在抛物线上(3)点P在抛物线上，则点P(x，x2

18、x)，设直线AC的解析式为ykxb，直线A经过A(2，4)，C(6，10)两点，解得，直线AC的解析式为yx，点Q在直线AC上，PQAC，点Q的坐标为(x，x)，PQAC，又点Q在点P上方，l(x)(x2x)x2x，l与x的函数关系式为lx2x，(2x6)，lx2x(x)2，当x时，l的最大值为10.解：(1)将A(1，0)，E(4，5)点坐标代入函数解析式，得，解得，抛物线的解析式是yx24x5，(2)设AE的解析式为ykxb，将A(1，0)，E(4，5)点坐标代入，得，解得，AE的解析式为yx1，x0时，y1即C(0，1)，设F点坐标为(n，n1)，由旋转的性质得，OFOB5，n2(n1)225，解得n14，n23，F(4，3)，F(3，4)，当F(4，3)时如图1，SABFSBCFSABCBC|xF|BC|xA|BC(xAxF),SABF4(14)6；当F(3，4)时，如图2，SABFSBCFSABCBC|xF|BC|xA|BC(xFxA)SABF4(31)8；如图3，HCGACO，HGCCOA，HGCCOA，OAOC1，CGHG，由勾股定理，得HC2，直线AE向上平移2个单位或向下平移2个单位，l的解析是为yx3，l1的解析是为yx1，联立解得x1，x2，解得x3，x4，交点的坐标为:(，)，(，)，(，)，(，)学科网（北京）股份有限公司