函数的单调性梯度式训练-高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册.docx

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1、5.3导数在研究函数中的应用5.3.1函数的单调性基础过关练题组一利用导数研究函数的图象变化1.(2020湖南株洲期中)如图是导函数y=f (x)的图象,那么函数y=f(x)的单调递减区间是()A.(x1,x3)B.(x2,x4)C.(x4,x6) D.(x5,x6)2.(2022江西南昌八一中学等四校期末联考)已知函数y=f(x)的图象如图所示,则其导函数y=f (x)的图象可能是()3.已知f (x)是f(x)的导函数, f (x)的图象如图所示,则f(x)的图象只可能是()4.(2021广东佛山月考)函数f(x)=ln x2x的图象大致为()题组二利用导数确定函数的单调性与单调区间5.(

2、2022四川高县中学月考)函数f(x)=(2x-1)ex的单调递增区间为()A.,12B.,12C.12,+D.12,+6.(2022江西南昌期末)若函数f(x)=x2-x-6ln x,则f(x)的单调增区间为()A.(0,2)B.,32(2,+)C.(2,+)D.0,32(2,+)7.(2021陕西西安中学期末)下列区间中,使函数y=xcos x-sin x单调递减的是()A.2,32B.(,2)C.32,52D.(2,3)8.(2022湖南长沙一中阶段练习)函数f(x)=lnxx2的单调递减区间是.9.求下列函数的单调区间: (1)f(x)=23x3-2x2+3;(2)f(x)=ln(2x

3、+3)+x2;(3)f(x)=x2+1x1.10.(2022江苏连云港期末)已知函数f(x)=ax2+2x-43ln x的导函数f (x)的一个零点为1.(1)求a的值;(2)求函数f(x)的单调区间.题组三利用导数解决含参函数的单调性问题11.(2022黑龙江双鸭山一中期末)已知aR,则“a3”是“f(x)=2ln x+x2-ax在(0,+)内单调递增”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件12.(2021吉林长春一中期末)若函数f(x)=ax3+3x2+x+b(a0,bR)恰好有三个不同的单调区间,则实数a的取值范围是()A.(0,3)(3,+)B.

4、3,+)C.(0,3D.(0,3)13.若函数f(x)=ax-ln x在1,2上单调递增,则实数a的取值范围是()A.(-,1B.1,+)C.12,+D.,1214.(2021江西萍乡期中)已知函数f(x)=ex2+ax2,若f(x)为R上的单调函数,则实数a的取值范围是()A.0,2B.(0,2C.0,2)D.2,+)15.(2022四川高县中学月考)已知函数f(x)=x3+(1-a)x2-a(a+2)x+b(a,bR),若函数f(x)在区间(-1,1)上不单调,则a的取值范围为.16.(2022福建连城第一中学月考)已知函数f(x)=x3-ax-1.(1)若函数f(x)在R上单调递增,求实

5、数a的取值范围;(2)若函数f(x)的单调递减区间是(-1,1),求实数a的值.17.(2022陕西咸阳武功二模)已知函数f(x)=(ax2-x-1)ex(aR且a0).(1)求曲线y=f(x)在点(0, f(0)处的切线方程;(2)讨论函数f(x)的单调区间.能力提升练题组一利用导数研究函数的图象变化P195定点11.(2022江西南昌实验中学月考)下面选项中的图是某三次函数及其导函数在同一坐标系中的图象,其中正确的是()2.(2022河北保定月考)在R上可导的函数f(x)的图象如图所示,则关于x的不等式xf (x)0的解集是()A.(-1,1)B.(-,-1)(1,+)C.(0,1)D.(

6、-,0)(1,+)5.(2022河南沈丘第一高级中学期末)已知定义在0,2上的函数f(x)的导函数为f (x),且恒有xf (x)-f(x)13f 3B.2f 123f 13C.3f 144f 13D.2f 6f 36.(2021四川威远中学阶段检测)若asin a-bsin bb2-a2,则()A.|a|b|B.a|b|D.ab7.(2021陕西西安中学期末)设f(x)是定义在R上的函数,其导函数为f (x),若f(x)-f (x)2 020ex+1(e为自然对数的底数)的解集为()A.(-,0)(0,+)B.(2 020,+)C.(0,+)D.(-,0)(2 020,+)8.(多选)(20

7、21福建南平期末)已知 f(x)是奇函数,当x0时, f (x)-f(x)1, f(1)=3,则()A. f(4)ef(3)B. f(-4)e2f(-2)C. f(4)4e3-1D. f(-4)x1 f(x2)+x2 f(x1),那么称函数f(x)为“H函数”.给出下列函数:y=ex+1;y=3x-2(sin x-cos x);y=x3+3x2+3x+1;y=lnx,x0,x,x=0.以上函数是“H函数”的是.(填序号)题组三利用导数解决含参函数的单调性问题P197定点311.(2020江苏淮安地区五校联考)若函数f(x)=2x2-ln x在其定义域内的一个子区间(k-1,k+1)内不单调,则

8、实数k的取值范围是()A.1,32B.1,32C.1,32D.0,3212.已知函数f(x)=x3+bx2-4x+d在23,1上单调递减,则实数b的取值范围是()A.1,13B.1,12C.2,13D.2,1213.函数f(x)=sin x-aln x在0,4上单调递增,则实数a的取值范围是.14.已知函数f(x)=ln x-ax+1ax-1(aR).(1)当a=-1时,求曲线y=f(x)在点(2, f(2)处的切线方程;(2)当a12时,讨论f(x)的单调性.15.(2022陕西绥德中学月考)已知函数f(x)=x-1-aln x.(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)已知函数g(x)=4x,

9、若当a0时,对任意x1,x2(0,1都有|f(x1)-f(x2)|g(x1)-g(x2)|成立,求实数a的取值范围.答案全解全析基础过关练1.B当f (x)0时, f(x)单调递减.故选B.2.A由题图知, f(x)在(0,+)上是减函数,故y=f (x)0,且在a,a+b2内, f (x)单调递增,在a+b2,b内, f (x)单调递减,所以函数f(x)在(a,b)内单调递增,且其图象在a,a+b2内越来越陡峭,在a+b2,b内越来越平缓.故选D.4.C函数f(x)=ln x2x的定义域为(-,0)(0,+),关于原点对称,且f(-x)=ln(x)2x=-ln x2x=-f(x),所以函数f

10、(x)为奇函数,排除A,B;当x0时,函数f(x)=2lnxx,则f (x)=2(1lnx)x2,当0x0,函数f(x)单调递增,当xe时,f (x)0,解得x-12,所以函数f(x)的单调递增区间为12,+,故选C.6.Cf (x)=2x-1-6x=2x2x6x(x0),令f (x)0,得x2,所以f(x)的单调增区间为(2,+),故选C.7.Dy=cos x-xsin x-cos x=-xsin x.结合选项知当2x3时,y0,所以函数在(2,3)上是减函数,故选D.8.答案(e,+)解析函数f(x)的定义域为(0,+), f (x)=1xx22xlnxx4=12lnxx3,令f (x)e

11、,故f(x)的单调递减区间为(e,+).9.解析 (1)函数的定义域为R. f (x)=2x2-4x=2x(x-2),令f (x)=0,得x=0或x=2,列表如下:x(-,0)0(0,2)2(2,+)f (x)+0-0+f(x)313所以函数的单调递增区间为(-,0),(2,+),单调递减区间为(0,2).(2)函数的定义域为32,+.f (x)=22x+3+2x=4x2+6x+22x+3=2(2x+1)(x+1)2x+3.令f (x)=0,得x=-12或x=-1.列表如下:x32,1-11,12-1212,+f (x)+0-0+f(x)1ln 2+14所以函数的单调递增区间为32,1,12,

12、+,单调递减区间为1,12.(3)f(x)的定义域为x|xR且x1,f (x)=2x(x1)(x2+1)(x1)2=x22x1(x1)2=x(12)x(1+2)(x1)2.令f (x)=0,得x=1+2或x=1-2,列表如下:x(-,1-2)1-2(1-2,1)(1,1+2)1+2(1+2,+)f (x)+0-0+f(x)2-2222+2所以f(x)的单调递增区间是(-,1-2),(1+2,+),单调递减区间是(1-2,1),(1,1+2).10.解析(1)f (x)=2ax+2-43x,x0.因为f (x)的一个零点为1,所以f (1)=2a+23=0,得a=-13.(2)由(1)得f (x

13、)=-23x+2-43x=2(x1)(x2)3x,x0.令f (x)=0,得x=1或x=2.当f (x)0时,1x2;当f (x)0时,0x2.因此f(x)的单调递增区间是(1,2),单调递减区间是(0,1),(2,+).11.A当f(x)在(0,+)内单调递增时, f (x)=2x+2x-a0在(0,+)内恒成立,因为2x+2x22x2x=4,当且仅当x=1时取得等号,所以a4,又(-,3(-,4,所以“a3”是“f(x)=2ln x+x2-ax在(0,+)内单调递增”的充分不必要条件,故选A.12.Df (x)=3ax2+6x+1(a0).函数f(x)恰好有三个不同的单调区间,f (x)有

14、两个不同的零点,=36-12a0,0a0.因为f(x)在1,2上单调递增,所以f (x)0在1,2上恒成立,即a1x在x1,2上恒成立,所以在x1,2上,a1xmax,所以a1,故选B.14.A由函数的定义域为R知a0.当a=0时, f(x)=ex2是R上的单调递增函数,满足条件;当a0时, f (x)=ex(2+ax2)ex2ax(2+ax2)2=ex(2+ax22ax)(2+ax2)2,要使f(x)为R上的单调函数,需满足f (x)0恒成立,即ax2-2ax+20恒成立,即=(-2a)2-8a=4a(a-2)0,解得a(0,2.综上所述,a0,2.故选A.15.答案5,1212,1解析易得

15、f (x)=3x2+2(1-a)x-a(a+2).令f (x)=0,得x=a或x=-a+23.当a=-a+23,即a=-12时, f (x)0,不符合题意,故a-12,f(x)在区间(-1,1)上不单调,a(-1,1)或-a+23(-1,1),解得-5a1且a-12.16.解析由题意得f (x)=3x2-a.(1)因为f(x)在R上单调递增,所以f (x)0对任意xR恒成立,即a3x2对任意xR恒成立,只需a(3x2)min,而(3x2)min=0,所以a0,经检验,当a=0时,符合题意,故a的取值范围是(-,0.(2)因为f(x)的单调递减区间是(-1,1),所以不等式3x2-a0时,令f

16、(x)0,得x1a;令f (x)0,得-2x1a.故f(x)的单调递增区间为(-,-2),1a,+,单调递减区间为2,1a.当-12a0时,1a0,得1ax-2;令f (x)0,得x-2.故f(x)的单调递增区间为1a,2,单调递减区间为,1a,(-2,+).当a=-12时, f (x)0.故f(x)的单调递减区间为R,无单调递增区间.当a-2,令f (x)0,得-2x1a;令f (x)1a或x-2.故f(x)的单调递增区间为2,1a,单调递减区间为(-,-2),1a,+.综上,当a-12时,函数f(x)的单调递增区间为2,1a,单调递减区间为1a,+,(-,-2);当a=-12时,函数f(x

17、)的单调递减区间为R,无单调递增区间;当-12a0时,函数f(x)的单调递增区间为1a,+,(-,-2),单调递减区间为2,1a.能力提升练1.D对于A、B,二次函数的函数值符号是先正后负再正,原函数应先增后减再增,故A、B错误;对于C,导数变号的点是原函数单调性发生变化的点,C错误;对于D,符合导函数的符号与原函数的单调性的关系.故选D.2.A由题中f(x)的图象得, f(x)在(-,-1)上单调递增,在(-1,1)上单调递减,在(1,+)上单调递增,因此,当x(-,-1)(1,+)时, f (x)0;当x(-1,1)时, f (x)0.xf (x)0,f (x)0或x0,解得0x1或x-1

18、,故选A.3.Af (x)=x2+x+1ex.令f (x)=0,得x=152.当x,152时, f (x)0;当x1+52,+时, f (x)0的解集是(-,0)(1,+),故选D.5.D令g(x)=f(x)x,x0,2,则g(x)=xf (x)f(x)x2,xf (x)-f(x)0,g(x)g3,即5f53f3,故15f5325 f 3,A不一定成立;g13g12,即3f 132f 12,B一定不成立;g14g13,即4f 143f 13,故3f1494f13,C不一定成立;g6g3,即2f 6f 3,D一定成立.故选D.6.A由asin a-bsin bb2-a2,得asin a+a20;

19、当x2,+时, f (x)0,所以f(x)在(0,+)上单调递增.又因为f(x)是R上的偶函数,所以f(x)在(-,0)上单调递减.所以|a|b|.故选A.7.C令g(x)=f(x)1ex,则g(x)=f (x)f(x)+1ex,因为f(x)-f (x)0,所以g(x)在R上单调递增.因为f(0)=2 021,所以g(0)=f(0)-1=2 020.不等式f(x)2 020ex+1可转化为 f(x)1ex2 020,即g(x)g(0).由函数g(x)是R上的增函数知x0.故选C.解题模板构造函数解不等式是利用导数解决函数单调性问题的一个重要题型,构造函数时,要结合函数与含导数的不等式.8.AC

20、D因为当x0时, f (x)-f(x)1,所以f (x)-f(x)-10,所以 f (x)f(x)+1ex0,所以f(x)+1ex0.令g(x)=f(x)+1ex,则当x0时,g(x)0,函数g(x)单调递增.易知g(4)g(3),即f(4)+1e4f(3)+1e3,所以f(4)ef(3)+e-1ef(3),故A正确;易知g(4)g(2),即f(4)+1e4f(2)+1e2,所以f(4)e2f(2)+e2-1e2f(2),所以-f(4)-e2f(2),又f(x)是奇函数,所以f(-4)g(1),即 f(4)+1e4f(1)+1e,又f(1)=3,所以f(4)4e3-1,故C正确;由C选项的分析

21、得f(4)4e3-14e2+1,所以-f(4)-4e2-1,又f(x)是奇函数,所以f(-4)0,(0)=-40,存在唯一的x04,0使(x0)=0,且当-4x0, f (x)0, f(x)单调递增,当x0x0时,(x)0,f (x)0,f(x)单调递减,故C错误;f (x)=16sin2x4(4+sin2x)2x1 f(x2)+x2 f(x1)可化为f(x1)-f(x2)(x1-x2)0,所以函数f(x)为R上的增函数,所以“H函数”即为增函数.y=ex+1显然是增函数,故符合.y=3-2cos x-2sin x=3-22sinx+43-220,所以函数y=3x-2(sin x-cos x)

22、为R上的增函数,故符合.y=3x2+6x+3=3(x+1)20,所以函数y=x3+3x2+3x+1为R上的增函数,故符合.当x0时,y=ln|x|=ln x,在(0,+)上单调递增;当x0时,y=ln|x|=ln(-x),在(-,0)上单调递减,所以y=lnx,x0,x,x=0不是R上的增函数,故不符合.11.C函数f(x)=2x2-ln x的定义域为(0,+),且f (x)=4x-1x,令f (x)=0,解得x=12(负值舍去),当x0,12时,f (x)0,函数f(x)单调递增.要使得函数f(x)在其定义域内的一个子区间(k-1,k+1)内不单调,则应满足k112k+1,k10,解得1kg

23、(1)=12,故b12;x=0时,原不等式即-40,显然成立;x23,0时,问题转化为b-32x+2x在23,0上恒成立,令h(x)=-32x+2x,x23,0,显然h(x)在23,0上单调递减,故h(x)h23=-2,故b-2.综上,b2,12.13.答案(-,0解析函数f(x)=sin x-aln x在0,4上单调递增,则f (x)=cos x-ax0在0,4上恒成立,即axcos x在0,4上恒成立.令g(x)=xcos x,x0,4,则g(x)=cos x-xsin x.令h(x)=cos x-xsin x,则h(x)=-2sin x-xcos x0,所以g(x)0在0,4上恒成立,所

24、以函数g(x)在0,4上单调递增,所以g(x)g(0)=0,所以a0.14.解析(1)当a=-1时, f(x)=ln x+x+2x-1(x0),则f (x)=1x+1-2x2,所以f (2)=1.又f(2)=ln 2+2,所以所求切线方程为y=x+ln 2.(2)因为f(x)=ln x-ax+1ax-1x0,a12,所以f (x)=1x-a+a1x2=-ax2x+1ax2(x0).令g(x)=ax2-x+1-a=(x-1)(ax-1+a)(x0).(i)当a=0时,g(x)=-x+1(x0),所以当x(0,1)时,g(x)0, f (x)0,此时函数f(x)单调递减.当x(1,+)时,g(x)

25、0,此时函数f(x)单调递增.(ii)当a0时,令g(x)=0,解得x=1或x=1a-1.当a=12时,g(x)0, f (x)0,此时函数f(x)在(0,+)上单调递减.当0a0, f (x)0;若x1,1a1,则g(x)0,所以函数f(x)在(0,1),1a1,+上单调递减,在1,1a1上单调递增.当a0时,1a-10, f (x)0,此时函数f(x)单调递减;若x(1,+),则g(x)0,此时函数f(x)单调递增.综上所述,当a0时,函数f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+)上单调递增;当a=12时,函数f(x)在(0,+)上单调递减;当0a0),当a0时, f (x)0,所以f(

26、x)在(0,+)上递增;当a0时,令f (x)=0,得x=a,当0xa时, f (x)a时, f (x)0,所以f(x)在(a,+)上递增.(2)当a0在(0,1上恒成立,则f(x)在(0,1上递增,g(x)=-4x20在(0,1上恒成立,则g(x)在(0,1上递减,不妨设x1x2,因为对任意x1,x2(0,1都有|f(x1)-f(x2)|g(x1)-g(x2)|成立,所以f(x2)-f(x1)g(x1)-g(x2)在(0,1上恒成立,即f(x2)+g(x2)f(x1)+g(x1)在(0,1上恒成立,令F(x)=f(x)+g(x)=x-1-aln x+4x,则F(x)在(0,1上递减,所以F(x)=1-ax-4x20在(0,1上恒成立,即ax-4x在(0,1上恒成立,令h(x)=x-4x,易知h(x)在(0,1上递增,所以h(x)max=h(1)=-3,所以a-3.故实数a的取值范围是-3,0).22学科网（北京）股份有限公司