专题1-1 直线与方程 专题复习讲义--高三数学一轮复习备考.docx

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1、 直线与方程 专题复习 -一轮综合复习讲义专题1-1 直线与方程【题模1】：直线的倾斜角：1定义：在平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，如果把轴绕着交点按逆时针方向转到和直线重合时所转的最小正角记为，那么就叫做直线的倾斜角。当直线与轴重合或平行时，规定倾斜角为0； 2已知斜率k的范围，求倾斜角的范围时，若k为正数，则的范围为（00，900）的子集，且k=tan为增函数；若k为负数，则的范围为（900，1800）的子集，且k=tan为增函数。3倾斜角的范围00，1800）。【讲透例题】1、直线的倾斜角的范围是_ _2、设直线的倾斜角为，若，则此直线的斜率是（ ）A. B. C. D.3、在

2、直角坐标系中，直线的倾斜角为 .4、已知直线的斜率k= -cos (R)，求直线的倾斜角的取值范围。思路解析：cos的范围斜率k的范围tan的范围倾斜角的取值范围。5、若直线被两平行线所截得的线段的长为，则的倾斜角可以是： 。 【相似题练习】：1、若直线l的向上方向与y轴的正方向成30角，则直线l的倾斜角为()(A)30 (B)60 (C)30或150 (D)60或1202、在直角坐标系中，直线的倾斜角为 。3、若直线经过原点和点，则直线的倾斜角为 。4、设直线l过原点,其倾斜角为，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转45，得到直线l1，则直线l1的倾斜角为()(A)+45 (B)-135 (C

3、)135- (D)当0135时，倾斜角为+45，当135180时，倾斜角为-135 【题模2】：直线的斜率：1定义：倾斜角不是90的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率，即tan(90)；倾斜角为90的直线没有斜率；2斜率公式：经过两点、的直线的斜率为；3已知若，则有A、B、C三点共线。注：斜率变化分成两段，是分界线，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论。【讲透例题】1、两条直线斜率相等是这两条直线平行的_条件2、实数满足 ()，则的最大值、最小值分别为_ 3、右图中直线, l4的斜率分别为，k4则（ ） A. k4 B. k4 C. k4 D. k4 4、过点和点的直线的倾斜角为1350 ，则

4、的值是（ ） A.1 B.1 C.3 D.71.求斜率的一般方法：已知直线上两点，根据斜率公式求斜率；已知直线的倾斜角或的某种三角函数根据来求斜率；2.利用斜率证明三点共线的方法：已知，若，则三点共线。则有A、B、C三点共线。5、若过点P（1-a，1+a）和Q（3，2a）的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围为 6、过点的直线的倾斜角的范围为 (600,1200)，则m取值范围是_ 7、设是互不相等的三个实数，如果在同一直线上，求证：【相似题练习】：1、已知点A(1,2)，B(-2,3)，C(4,y)在同一条直线上，则y的值为 2、经过两点A(2,1)，B(1,m2)的直线l的倾斜角为锐角，

5、则m的取值范围是 ()(A)(-,1) (B)(-1,+) (C)(-1,1) (D)(1,+)(-,-1) 3、若A(2,2)，B(a,0)，C(0,b)(ab0)三点共线，则 + 的值等于 4、已知点M、N的坐标分别是(2,-3)，(-3,-2)，直线l经过点P(1,1)，且与线段MN相交.(1)求直线PM与PN的斜率； (2)求直线l的斜率k的取值范围.5、直线经过，两点，那么直线的倾斜角的取值范围为（ ）A B C D6、若直线的倾斜角满足，且，则其斜率满足（ ）A B C或 D或7、已知直线过点且与以，为端点的线段有公共点，则直线倾斜角的取值范围为_ 【题模3】：直线的方程：名称方程

6、的形式已知条件局限性点斜式为直线上一定点，为斜率不包括垂直于轴的直线斜截式为斜率，是直线在轴上的截距不包括垂直于轴的直线两点式不包括垂直于轴和轴的直线截距式是直线在轴上的非零截距，是直线在轴上的非零截距不包括垂直于轴和轴或过原点的直线一般式无限制，可表示任何位置的直线（1）经过点（2，1）且k=的直线的点斜式方程是_（2） 已知ABC的三个顶点分别为A（3，0），B（2，1），C（2，3），试求：（1）BC边上的中线AD所在直线的方程；（2）BC边上的高AE所在直线的方程.（3）若曲线与有两个公共点，则的取值范围是_ 提醒：直线两截距相等直线的斜率为-1或直线过原点；直线两截距互为相反数直线的

7、斜率为1或直线过原点； 直线两截距绝对值相等直线的斜率为或直线过原点。如过点，且纵横截距的绝对值相等的直线共有_ _条.【讲透例题】1、求倾斜角是直线的倾斜角的，且分别满足下列条件的直线方程: ; 2、在ABC中，已知点A（5，2）、B（7，3），且边AC的中点M在y轴上，边BC的中点N在x轴上； （1）求点C的坐标； （2）求直线MN的方程.3 已知直线恒过定点A，点A也在直线上，其中均为正数，则的最小值为（ ）A2B4C6D85.若直线在轴上的截距为1，则实数是( )A.1B.2 C. D.2或6 “直线在坐标轴上截距相等”是“”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不

8、充分也不必要条件【相似题练习】：1、 求经过点且在轴上的截距等于在轴上的截距的2倍的直线方程_2 过点在两坐标轴上的截距都是非负整数的直线有多少条（ ）A4B5C6D73 已知m0，直线ax+3my+2a=0在两坐标轴上的截距之和为2，则直线的斜率为( )A1BCD24 已知直线：（）.（1）若直线不经过第四象限，求的取值范围；（2）若直线交轴的负半轴于点，交轴的正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程. 5、如图，在ABC中，BC边上的高所在的直线方程为x-2y+1=0，A的平分线所在的直线方程为y=0，若点B的坐标为(1，2)，求:(1)点A和点C的坐标; (2)AB

9、C的面积.6、数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线，在在ABC中，已知A(2,0), B(0,4), 若其欧拉线方程为x-y+2=0, 求：（1）外心F的坐标；（2）重心G的坐标；（3）垂心H的坐标.【题模4】：设直线方程的一些常用技巧：1知直线纵截距，斜率存在常设其方程为；2知直线横截距，斜率存在常设其方程为y=k(x-)，或x=my+x0 (斜率不为0)；3知直线过点，当斜率存在时，常设其方程为，当斜率不存在时，则其方程为；4与直线平行的直线可表示为；5与直线垂直的直线可表示为.6、过两直线交点的直线系方程在解题中的应用过直线m:A1

10、x+B1y+C1=0 (A1、B1不同时为0)与n: A2x+B2y+C2=0 (A1、B1不同时为0)的交点的直线系方程为：【讲透例题】1、求过点P（2，-1），在x轴和y轴上的截距分别为a、b, 且满足a=3b的直线方程。2、过点作直线l分别交x轴、y轴正半轴于A,B两点.(1)当面积最小时,求直线l方程; (2)当取最小值时,求直线l方程.3、已知过点A(-2,3)的直线a与直线平行，则直线a的方程为 4若直线与直线垂直，则实数的值是（ ）ABCD5、求过直线：x+2y+1=0与直线：2x-y+1=0的交点且在两坐标轴上截距相等的直线方程.【相似题练习】：1 （多选）下列说法正确的是（

11、）A直线必过定点 B直线在轴上的截距为C直线的倾斜角为60 D过点且垂直于直线的直线方程为2、已知过点A(-2,3)的直线a与直线平行，则直线a的方程为 3、 已知直线与两坐标轴围成的三角形面积为3，分别求满足下列条件的直线的方程：（1） 斜率为的直线；（2）过定点的直线。4、直线过点且与直线垂直，则的方程是（ ）A. B. C. D.【题模5】：直线的参数方程（定点问题）方法一：参数赋值法 给直线中的参数赋两个值，得到两个方程，再解方程组得到方程组的解，即是直线过的定点，最后要把点的坐标代入直线的方程证明，发现直线的方程恒成立。方法二：分离参数法 把直线的方程分离参数得到，所以，解之得定点的

12、坐标。【讲透例题】1：直线过定点 。2、如果表示一条直线，则m的取值范围是： 。3、直线l的方程为(a+1)xy2a0(aR)（1）求证：不论a为何值，直线l恒过第四象限；（2）若l不经过第二象限，求实数a的取值范围；（3）若直线l与连接点A(2,3)，B(3，2)的线段有交点，求a的取值范围。【相似题练习】：1、求参数直线的定点1） 2）、2、抛物线yx2+mx2m4过定点 .【题模6】：两条直线的平行与垂直（也可以用向量公式式来解决）直线与直线的位置关系： 1、若方程组无解，则平行；（斜率相等）且（在轴上截距不相等）；2、直线与直线垂直。 (1)两条直线平行对于两条不重合的直线，若斜率分别

13、为，则有特别地，当直线的斜率都不存在时，的关系为平行。(2)两条直线垂直如果两条直线斜率存在，设为，则有注：两条直线垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；由两直线的斜率之积为-1，可以得出两直线垂直；反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1. 如果中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，互相垂直.【讲透例题】1、已知点M（2，2），N（5，-2），点P在x轴上，分别求满足下列条件的P点坐标。（1）MOP=OPN（O是坐标原点）；（2）MPN是直角。2、设直线和，当_时，；当_时；当_时与相交；当_时与重合3、经过点M(m,3)和N(2,m)的直线l与斜率为-4的直线互相垂直，

14、则m的值是.4、已知A(-m-3,2)，B(-2m-4,4)，C(-m,m)，D(3,3m+2)，若直线ABCD,求m的值.5、如图所示,P是正方形ABCD的对角线BD上一点,四边形PECF是矩形，求证:PAEF.6、设分别是ABC中A、B、C所对边的边长，则直线与的位置关系是_ _【相似题练习】：1. 下列说法正确的有( )若两不重合直线斜率相等，则两直线平行;若l1l2，则k1=k2;若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在,则两直线垂直;若两不重合直线斜率都不存在，则两直线平行.(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个2、已知ABCD的三个顶点的坐标分别为A(0,1)，B(

15、1,0)，C(4,3)，则顶点D的坐标为.3 直线，若，则a的值为（ ）A或2B3或C3D4 已知直线与平行.则实数的值（ ）A2B-3CD-3或25 若a，b为正实数，直线与直线互相垂直，则的最大值为（ ）ABCD6、（多选）下列说法不正确的是（ ）A不能表示过点且斜率为的直线方程；B在轴、轴上的截距分别为的直线方程为；C直线与轴的交点到原点的距离为；D平面内的所有直线的方程都可以用斜截式来表示.7、已知点是直线上一点，是直线外一点，则方程0所表示的直线与的关系是_ _8、直线过点（，），且被两平行直线和所截得的线段长为9，则直线的方程是_【题模7】：点到直线的距离及两平行直线间的距离：（1

16、）点到x轴的距离。（2）点到y轴的距离.（3）点到与x轴平行的直线y=a的距离。（4）点到与y轴平行的直线x=a的距离.（5）平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|（6）点到直线的距离；（7）两平行线间的距离为。【讲透例题】1.已知点到直线的距离相等，则实数的值等于（ ）A. B. C. D.2、若P，Q分别为直线3x4y120与6x8y50上任意一点，则|PQ|的最小值为()A B C D 3、在直线上求点，使点到的距离为，则点坐标是（ ）ABC或D或4、点（1，2）到直线的距离的最大值为 .5、直线2xy4=0上有一点，它与两定点（4，1）、（3，4）的

17、距离之差最大，则的坐标是_。6、已知轴，C（2，1），周长的最小值为_。7、 已知函数的定义域为，且. 设点是函数图象上的任意一点，过点分别作直线和轴的垂线，垂足分别为 （1）求的值；（2分）（2）问：是否为定值？若是，则求出该定值，若不是，则说明理由；（5分）（3）设为原点，求四边形面积最小值（7分）6、已知点P（2，-1）。（1）求过P点且与原点距离为2的直线的方程；（2）求过P点且与原点距离最大的直线的方程，最大距离是多少？（3）是否存在过P点且与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由。7、如图，已知P是等腰三角形ABC的底边BC上一点，PMAB于M，PNAC于N，用

18、解析法证明|PM|+|PN|为定值。【相似题练习】：1.原点到直线的距离为（ ）A.1 B. C.2 D.2、点P（m，m+1）到直线的距离为7，则m的值为 3、两条平行直线和的距离为 .4、直线l的横纵截距相等且不为0，点P(4，3)到直线l的距离为3，求直线l的方程。【题模8】：对称（中心对称和轴对称）问题代入法：如 对称问题，是解析几何中比较典型，高考中常考的热点问题. 对于直线中的对称问题，我们可以分为：点关于点的对称；点关于直线的对称；直线关于点的对称，直线关于直线的对称. 本文通过几道典型例题，来介绍这几类对称问题的求解策略.【讲透例题】1、点关于点的对称问题点关于点的对称问题，是

19、对称问题中最基础最重要的一类，其余几类对称问题均可以化归为点关于点的对称进行求解. 熟练掌握和灵活运用中点坐标公式是处理这类问题的关键.例1 求点A（2，4）关于点B（3，5）对称的点C的坐标.2、点关于直线的对称问题点关于直线的对称问题是点关于点的对称问题的延伸，处理这类问题主要抓住两个方面：两点连线与已知直线斜率乘积等于-1，两点的中点在已知直线上.例1 求点A（1，3）关于直线l：x+2y-3=0的对称点A的坐标.例2、已知三角形ABC的一个顶点A（2，3），角B和角C的两个外角平分线所在的直线方程分别为x + y4=0 和 y= x，求直线BC所在的直线方程.3、光线从点A(2，3)射

20、入，若镜面的位置在直线l:x+y+1=0上，反射光线经过B(1，1)，求入射光线和反射光线所在直线的方程，并求光线从A到B所走过的路线长.【相似题练习】：1、直线2xy4=0上有一点，它与两定点（4,1）、（3,4）的距离之差最大，则的坐标是_ _（答：（5,6）；2、已知轴，C（2，1），周长的最小值为_ 3、点（，）关于直线的对称点为(2,7)，则的方程是_（答：）；4、已知一束光线通过点（，），经直线:3x4y+4=0反射。如果反射光线通过点（，15），则反射光线所在直线的方程是_（答：）；3、直线关于某点对称的问题直线关于点的对称问题，可转化为直线上的点关于某点对称的问题，这里需要注意

21、到的是两对称直线是平行的. 我们往往利用平行直线系去求解.例1 求直线2x+11y+16=0关于点P（0，1）对称的直线方程.（还可以转化为点关于点对称）4、直线关于直线的对称问题直线关于直线对称问题，包含有两种情形：两直线平行，两直线相交. 对于，我们可转化为点关于直线的对称问题去求解；对于，其一般解法为先求交点，再用“到角”求斜率，或是转化为点关于直线对称问题.对称轴为特殊直线的的对称问题： Ax+By+C=0关于x轴对称的直线方程：Ax-By+C=0 Ax+By+C=0关于y轴对称的直线方程：-Ax+By+C=0 Ax+By+C=0关于y=x对称的直线方程：Bx+Ay+C=0 Ax+By

22、+C=0关于y=-x对称的直线方程：Bx+Ay-C=0P(a,b)关于y = x对称的点P1（b,a); P(a,b)关于y= - x对称的点P2（-b,-a);例1 求直线l1：x-y-1=0关于直线l2：x-y+1=0对称的直线l的方程.例2 试求直线l1：x-y-2=0关于直线l2：3x-y+3=0对称的直线l的方程.3、已知点与点关于轴对称，点P与点N关于轴对称，点Q与点P关于直线对称，则点Q的坐标为_ 4、已知直线与的夹角平分线为，若的方程为，那么的方程是_（答：）；5、已知三角形ABC的一个顶点A（2，3），角B和角C的两个外角平分线所在的直线方程分别为x + y4=0 和 y=

23、x，求直线BC所在的直线方程.相似题练习】：1）、 求点A（2，4）关于直线l：2x+y-3=0的对称点A的坐标.2）、试求直线l1：2x-y+1=0关于直线l2：3x-y+3=0对称的直线l的方程.【题模9】：到角和夹角公式：1到的角是指直线绕着交点按逆时针方向转到和直线重合所转的角，且tan=()；2、与的夹角是指不大于直角的角且tan=()。【讲透例题】1、已知点M是直线与轴的交点，把直线绕点M逆时针方向旋转45，得到的直线方程是_ 。 （答：）2、已知三角形ABC的一个顶点A（2，3），AB边上的高所在的直线方程为x2y+1=0，角B的平分线所在的直线方程为x + y4=0，求此三角形三边所在的直线方程【相似题练习】：1、直线与直线的角平分线为 。1、求对于含参数直线方程，应善于从定点、斜率、截距等直线关键元素进行主动分析，找到解题的突破口；解、假设直线方程时应当根据题目条件选择适当方程形式，结合图形，更快，更易，更准地求解直线方程；2、涉及斜率问题时应注意对斜率存在性进行探讨； 3、角平分线问题是线线对称问题的一种体现则有A、B、C三点共线。2、 已知点M是直线与y轴的交点，把直线绕点M顺逆时针方向旋转45，得到的直线方程是_ 第 16 页 学科网（北京）股份有限公司