清北学霸高考秘籍-与球有关的问题“心有所依”模型.doc
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1、1“心有所依心有所依”模型模型北大学霸高考数学北大学霸高考数学提分秘籍提分秘籍心有所依模型适用圆锥、侧棱相等的棱锥等几何体,可得球心必在圆锥的高所在的直线上,或者在棱锥一个底面的高所在直线上,由此可把相关信息转嫁到某一个直角三角形内,利用勾股定理求解.【典例【典例 1】(2018 届四川泸州一中一诊)已知圆锥的高为 5,底面圆的半径为5,它的顶点和底面的圆周都在同一个球的球面上,则该球的表面积为()A4B36C48D24【解析】【解析】设球的半径为R,由于圆锥的高为 5,底面圆的半径为5,所以22255RR,解得3R,所以该球的表面积为2436R.故选B【试题点评】【试题点评】本题是两个旋转体
2、的组合,其中圆锥的轴线所在直线垂直于其底面圆,结合球与圆锥的有关性质,球心必在圆锥的高所在的直线上,应用数学建模的素养,建立“心有所依”模型,将有关信息嫁接到如图所示的1Rt OO AV中,利用勾股定理求解.【典例【典例 2】(2018 届山东省实验中学一诊)在三棱锥PABC中,PAPB2 6,4PCACAB,且ACAB,则该三棱锥外接球的表面积为_.【解析】【解析】设顶点P在底面中的射影为1O,由于PAPBPC,所以111O AO BOC,即点1O是底面ABC的外心,又ACAB,所以1O为BC的中点,因为PAPB2 6,4PCACAB,所以114 2,2 2,4BCAOPO,BPA1OOO1
3、OPCBA2设外接球的球心为O,半径为R,则O必在1PO上,14OOR,在1Rt OOA中,22242 2RR,解得3R,所以22436SR.【试题点评】【试题点评】此类问题的解决可以灵活地应用“心有所依”模型,顶点在底面内的摄影是底面多边形的外心,如图所示,将有关信息嫁接到如图所示的Rt OHAV中,利用勾股定理求解.本题直角三角形斜边上的中点到直角三角形各顶点的距离相等,只需在过斜边中点与三角形所在平面的垂线上探求球心解决问题.【典例【典例 3】已知四棱锥的PABCD的侧棱长均为30,底面是两邻边长分别为2和3 2的矩形,则该四棱锥外接球的表面积为()A.18B.323C.36D.48【解
4、析】【解析】因为底面是矩形,所以矩形的对角线AC为截面圆的直径.由题意知该四棱锥外接球的球心O在截面ABC中的射影为AC的中点H,此时221123 2522AHAC,在PCH中,由勾股定理得222305PH,解得5PH.设该四棱锥外接球的半径为R,则5,OHR OCR,所以在OCH中,由勾股定理得22255RR,解得3R,所以外接球的表面积为2436SR.故选 C.【试题点评】【试题点评】球心与球的截面圆的圆心的连线垂直于该截面圆,而截面圆的圆心是其内接多边形的外心球心与球面上任意一点所连的线段都是球的半径,这些性质是解决球的接、切问题过程中化空间为平面的根本所在.APBCDHO3【典例【典例
5、 4】(2018 届云南昆明一中一检)体积为18 3的正三棱锥ABCD的每个顶点都在半径为R的球O的球面上,球心O在此三棱锥内部,且:2:3R BC,点E为BD的中点,过点E作球O的截面,则所得截面圆面积的最小值是.【解析】【解析】设20Rt t,则3BCt,因为体积为18 3的正三棱锥ABCD的每个顶点都在半径为R的球O的球面上,所以213318 334th,解得224ht.由2223RhRt,得2t 或324t(舍),所以4R.由题意知点E为BD的中点,在OBD中,4,6ODOBDB,解得7OE,所以当截面垂直于OE时,截面圆的半径为1673,故截面圆面积的最小值是9.【试题点评【试题点评
6、】过球内一个定点作截面圆可作无数多个,只有球心与定点的连线垂直于截面圆时,截面圆的面积最小.2.2.汉堡模型汉堡模型【典例【典例 5】(2018 届湖北襄阳一模)已知直三棱柱111ABCABC中,090BAC,侧面11BCC B的面积为4,则直三棱柱111ABCABC外接球的半径的最小值为【解析】【解析】由于直三棱柱111ABCABC中,090BAC,所以111,BACB AC的外接圆的圆心分别是11,BC BC的中点1,D D,外接球的球心O就是1DD的中点,设直三棱柱的高为h,由于侧面11BCC B的面积为4,则4BCh,所以222222hRh,当且仅当2h 1CC1BB1AADO1DAB
7、CDEOH4时取等号,故直三棱柱111ABCABC外接球的半径的最小值为2.【试题点评【试题点评】对于直棱柱,应用数学建模的素养,结合球与直棱柱的有关性质,建立“汉堡”模型,上下底面外接圆的圆心连线的中点即为球心,球心到各个顶点的距离都等于球的半径,如图所示,将有关信息嫁接到如图所示的Rt OHAV中,利用勾股定理求解.【典例【典例 6】(2018 届湖北武汉高三模考)如图,三棱锥SABC内接于球O,SA 平面,2,1ABC SAAB,30BCAo,则球O的体积为.【解析【解析】由SA 平面ABC,则三棱锥SABC为直三棱锥,将其放在直三棱柱中,设三棱柱上下两个底面的外心分别为,M N,连接M
8、N,则线段MN的中点即为球心,设ABC外接圆的半径为r,直三棱柱的高为h,由正弦定理得112sin30r o,2hON,设外接球的半径 2222hRr,故球O的体积为348 233VR.【试题点评【试题点评】采取割补法,将不规则图形转化为规则图形,将棱锥转化为直棱柱,再应用“汉堡”模型解决问题,本题棱锥的外接球亦即直棱柱的外接球,上下底面外接圆的圆心连线的中点即为球心.3.3.墙角模型墙角模型【典例【典例 7 7】已知三棱锥SABC,满足,SA SB SC两两垂直,且2SASBSC,Q是三棱锥SABC外接球上一动点,则点Q到平面ABC的距离的最大值为.BSCABSCAMNOBSCA5【解析】【
9、解析】如图,三棱锥SABC满足,SA SB SC两两垂直,由2SASBSC,则2 2ABBCAC,如图,将三棱锥放入正方体中,则正方体的棱长为 2,正方体对角线即为正方体的外接球亦即三棱锥外接球的直径,而22 3R,所以球的半径为3R,因为Q是三棱锥SABC外接球上一动点,所以点Q到平面ABC的距离的最大值为4 33.【试题点评】【试题点评】本题具有三条棱两两垂直或三个平面两两垂直的特征,应用数学建模素养,构建“两两垂直垂直”模型,亦即“墙角”模型,如图所示,将三棱锥放入伴随长方体中,将棱锥的外接球转化为长方体的外接球,不用找出球心的具体位置,这是处理此类问题的简捷的途径.【典例【典例 8 8
10、】四面体ABCD中,10,2 34,2 41ABCDACBDADBC,则四面体ABCD外接球的表面积为()A50B100C200D300【解析】【解析】如图,将四面体ABCD放入长方体中,则四面体的外接球亦即长方体的外接球,BASCCADBBACD6设长方体的长、宽、高为,x y z,则2222222222 41102 34xyyzxz,解得1086xyz,因为长方体对角线即为长方体的外接球亦即四面体外接球的直径,而210 2R,所以球的半径为5 2R,故四面体ABCD的外接球的表面积为24200SR.【试题点评】【试题点评】本题四面体ABCD的对棱两两相等,也可灵活地应用“墙角”模型,将它放
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