百分数概念的理解及其教学研究_曲佳蓝_2_1百分数的产生与发展_16_21.docx

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1、是欺骗。 不过，当前的百分数教学是否能满足学生在未来的生活与工作中的现实需求呢？ 在目前 百分数 的课程设计及课堂教学中，通常是从两个方面的内容出发：一是百 分数的认识；二是百分数的应用。不可否认，这两个方面的内容是百分数教学的主干， 但是它们是否能体现出百分数最本质的内容，抑或是展现了与其相关的联系，都有待 本研究进行分析与探索。 2. 1百分数的产生与发展 2.1.1百分数产生之历史根源 2.1.1.1 概念与商业用途 百分数的历史应延伸到早期的商业实务之中。有强有力而又丰富的迹象表明 , 百 分数中的商业根源可以追溯至公元前第三世纪的印度，第二世纪的中国，也有可能更 早， ,。 从客观基

2、础上看，早期类似百分数的概念包括利息和税等。从 D.E Smith在算 术珍本 （ Rara Arithmetica) 书中所发布的手稿和原稿都可以看出，百分数被用在 了商业问题中，包括利息、税收和货币兑换等。通过翻阅英文文献发现， 100 是被 当作一个基础的。 为什么说 100是 基础 而不是 分母 呢？其实，百分数就是 通过 百 来确定具体的数额。 在公元前 300年，印度每月的利率就是明确地以 100 为基础的（其他数字也可以） ， 850年时，印度的马哈维亚 （ Mahavira),使用以 100 为基础的利息作为统一对照的基础，而在 1186年意大利的热那亚 （ Genoese)的

3、放债 者的账簿中发现了以 100为基础的利息。 从上述叙述中能够看出，之所以将 100称作基础而不是分母，是因为将它作为了 一个 标准 。之所以选择 100,也是满足了人们的主观意愿。首先，不可否认的是， 100这个数字与众不同，具有一定的特殊性；并且，丄表示对 100进行分割时的一个 100 单位，由于它便于计算而得到了频繁地使用。 在古罗马，百分数被用来衡量金钱上 相对于 100的亏损和盈利，只在商业的金钱交易中使用 ， 由此便可认为这也是符合 了人们对计算中简捷性的需求；同时，百分数还包含了对精确性的要求，因为在古代 社会生产力水平不高的条件下，尚不需要很精密的数值，一位小数便够用了。

4、但到 Melanie Parker, Gaea Leinhardt.Percent:A Privileged ProportionJ.Review of Educational Research, 1995 , 65(4)： 421-481. 如 :“In Indiajnterest rates per month specifically based on 100 ” （ 在印度，每个月的利率特别地以 100 为基础 ) 参见 ： Melanie Parker， Gaea LeinhardtPercent: A Privileged ProportionJ. Review of Educat

5、ional Research， 1995,65(4): 431. Kautilya. ArthasastraM. Mysore, India： Mysore Printing and Publishing House* 1967. 日 黒木哲德 .数学符号理解手册 M“ 上海：学林出版社 ， 2011: 16. 7 了 16世纪的欧洲，随着工农业贸易迅速发展，人们对计算的精确度要求越来越高， 因而出现了分母是 100的分数，叫百分数 。 综上所述，百分数早期是出现在商业之中并且为商业而服务的。它所依据的客观 基础是已经存在了相关的概念，如利息和税收等；而主观愿望则是满足了大众在具体 的商业贸易

6、和发展中对于简捷性和精确性的需要，由此一个 特殊 的 100便应运而 生了。 2.1.1.2计算与 今有术 若计算百分数的步骤和程序依赖于比例的话，那么百分数的数学根源也是很久远 的。在九章算术的第二章 粟米 中，里面涉及到了各种粮食折换的比例问题。 开篇便给出了粟米之法（比率兑换表 粟米五十，粝米三十， . 是以粟规定 的兑换标准。而 今有术曰：以所有数乘所求数为实，以所有率为法，实而法如一 (四则比例运算法则是：用所有数乘所求率为被除数，以所有率为除数，以除数去 除被除数得出一新结果，即所求数 =所有数 x所求率 +所有率）。 以 粟米 这章的第一题为例， 今有粟一斗，欲为粝米。问得几何？

7、 （ 今有粟 1斗 ，要换成粝米，问可换得多少粝米？）答曰：为粝米六升。术曰：以粟求粝米， 三之，五而一。现今若写成比例形式即为： 。但是这与百分数究竟有何关联 呢？以美国加州版教材六年级第七单元的第二课 百分数比例 （ The Percent Proportion)中的一道题目为例， 15 的百分之几是 9? 教材上给出了一个做法， 从这个比例上可以看到，己知三个数就可以求出第四个数，与 今有术是相同的，也就是说古时用来进行粮食折换的比例问题，其中蕴含了计算百分 数的思想。 而当 今有术 传入欧洲之后，它被称为 三数法则 ，是以比例的形式来解题。 如6 个苹果花了 90美分，那么 9个苹果要

8、花多少钱呢？ 列出的比例即为 6: 90: 9: ? 但是比例与 今有术 之间的联系一开始并没有被明确地注意到，直到文 艺复兴时期，当数学家开始关注到商业算术，这时 100就作为一个基础出现了 。 2. 1. 2百分数发展之具体概念到抽象概念 2. 1.2. 1 百分号的历史 接下来，百分数便产生了由作为一个具体的数向作为一种抽象关系的转变，而这 徐品方，张红 .数学符兮 !tM.北京：科学出版社， 2006: 141. 曾海龙译解 .九章算术 M.重庆：重庆大学出版社， 2006: 32. 九章算术 M.上海：上海古籍出版社， 2001. 斗 “. 度量单位， 1斗 =10升。 Rhonda

9、 J. Molix-Bailey e/a/.Califomia Mathematics-Grade 6M, OH： Macmillan/McGraw-Hill Companies. 2008： 350. 当时连接两个比不用现在的 = ，而用四个点 ： 。 D.E Smith.History of Mathematics(Vol. 1)M. New York: Dover， 1923. 8 就要归功于。 首先， 意大利在 1481年出现了有关 percoto最早的记录 。 而到了 15世纪的时 候，意大利的手稿中出现了像是 20 p 100 和 xp cento 这样的形式来表示 20% 和 1

10、0%。而 GiorgioChiarino使用了 xx.per.c. 来表不 20%，在这种表达形式中，应 是一个 x代表一个 10， per.c.就是百分之的意思。 其实， 早在 1425年以前，都没有证据表明有一个特殊的符号被用于百分数之 中 。 per cento （此为意大利语， 百分之 . 的意思） ，也有过几种不同的缩 写形式（如 per 100 ， p 100 ， p cento 等）。这个可以在 1339的算术文本中看 到，如图 2-1。 图 2-1算术珍本 （ Rara Ar ithmet ica) P437上的算术文本 A_ 到了 1425年，出现了带有一个小圆圈的 pc 缩

11、写，如 Pc （ 意大利 计数中使用的小圆圈代表第一，第二等），百分号可能就是据此演变为 的。这 个形式代表了 per 100 ， Pcento ，可以在 1425年的算术文本中看到，如图 2-2。 图 2-2算术珍本 （ Rara Ar ithmetica) P440上的算术文本 关于在 15世纪的商业算术手稿中发现了百分号的原始形式，还有另一种说法。 那 就 是 符 号 出 现 在 per 或者 p 的后面，即 per 或 P ， 作为 per cento 的缩写。这种早期的百分数标志出现在约 1490年的意大利手稿中，见图 2-3。 u Melanie Parker, Gaea Lein

12、hardt.Percent:A Privileged ProportionJ.Review of Educational Research, 1995， 65(4)： 421-481. Wikipedia.Percent signDB/OL.http:/en.wikipedia.org/wiki/Percent_sign, 2014-03-17. D.E Smith. Rara ArithmeticaM.Boston： Ginn & Company, 1908： 437. C. Alan Riedesel, Leroy G Callahan. Elementary School Mathema

13、tics For TeachersM. NY： Halliday Lithograph Corporation, 1977： 269. 同 ： 440. 图 2-3数学史 （ History of Mathematics) P249上的手稿 大概到了 1650年，带一个小圆圈的 pc 标志演变到了水平的分数表示形式（见 图 2-4中 1684年的意大利无名手稿 ）， 即 。而后， per 也不见了，只留下 了 这个符号，并最终变为了 在 1925年， D.E Smith写道， 这个斜线形式（ )是现代的 。 之所以说 是斜线形式，是因为被称作斜线。 而关于 的形成还有一个不同的观点。即若是将

14、cent (100)缩写成 ctO,并 将 t形象地看作一根小棒，那么 大概就这样产生了。很显然，这种说法与上述 展示的百分号的演变历程相比，是缺少一些根据和文献支撑的。 可以这样认为，引进百分号对于百分数来说是意义相当重大的。因为这为百分数 由其原始含义，即作为一个具体、实际的数，向作为一种抽象关系的转变打开了门。 以8% 为例，它指定了每一百个（任何事物）中的一 h确切的数字，但是现代的 8%表达的是一个比较未知量的抽象概念。不过，如同 8 perCerit 这样的表达 方法在 20世纪 20年代的英国仍旧很常见。但不论如何， 像是标记的数量（美元，英 镑）和百分数任意的表达方式的存在都强

15、调了百分数不仅仅只是一个标记和称号而 已。 2. 1.2.2 千分号 既然已经存在了百分数，那么人们也会因自身需求而期盼千分数。 。 这个符 号表示的是 per thousand （ 千分之 ） 的意思。尽管在 R常生活中并不常 见，但是它同样也有着历史上的 支持 。在纽约，证券报价使用的就是 Pe f M 这个符号，而在其他不同的商业领域上也是如此。并且，这种表达方式在 16世纪的 D.E Smith.History of Mathematics(Vol. 2)M,New York： Dover, 1925： 249. 同 ： 250. 同 . 图 2-4数学史 （ History of M

16、athematics) P250上的无名手稿 10 时候就已经很普遍了。 目前，世界上有的地方的确在使用 。 ，特别是德国的商人，用它去意味着 per mill （ 每千 ） 。值得注意的是，如此一个有些古怪，类似 的符号，其演 变与发展却和百分号的历史含义无关。 2.1.3百分数发展之商业概念到一般概念 在 19世纪的第一个 60年中，百分数从一个商业用途中的概念转变为了一个一般 概念。而这种变化的出现，在某种程度上是因为数学中一个新的分支的开发与发展。 在 18世纪的后半部， Achenwall为他的德国国家的政治特点比较、对照系统创造了 统计 （ Statistik)这个词 。 35随着

17、政治算术 (political arithmetic)和概率论 （ the theory ofprobability)的发展，到了 19世纪初，报告的数据类型有所增加，这时就缺少了一 个比较、对照的工具。基于这一点，百分数就成为了表示所需对照、比较的标准化方 法。也就是说，百分数用途的转变是因为统计，使它由商业走向了一般。在这一阶段 中，它所依据的客观基础是统计的产生与发展，而它所满足的主观愿望便是对进行比 较与对照的需求。 2.1.4百分数发展之作用范围扩大 在 1832年，首次非商业性的百分数部分一整体 （ part-whole)的使用是在艾默 生 （ F.Emerson)的北美算术 （

18、The North American Arithmetic)中 。 到了 1845 年，百分数在非商业性的比较之中不再是部分一整体的关系了，这也就意味着，对于 百分数的使用出现了一个重大变化 百分数可以比 100%大。 这里面所具有的客观基础就是，首先， 存在着 量 。这些 量 是客观存在的， 可以解答如 多少 、 多长 和 多重 之类的问题。既然如此，那么这些量之间 就是可以进行比较的。人们的主观意愿就是，小数与大数相比，如 1和 2,那么 1是 2的 50%;但大数也同样可以与小数相比，那么 2就是 1的 200%。 纵观百分数的发展，可以说它是一个不折不扣的动态的数学概念，因为它随着时

19、间的推移而不断发生变化，同时也包括它不断扩大的意义和使用领域。总的来说，就 是百分数从一个每百的税或利息中的量，发展到了与 今有术 结合的功能性的使用； 又从作为一个商业概念转变为了 一个一般概念，并且从部分与整体的比较延展到了数 字用在相对形式的数据比较中。因此，时至今日，百分数的本质即为描述两个量之间 的数量关系。 H.G Funkhouser.Historical development of the graphical representation of statistical dataJ.Osiris 1937, 3： 269-404. Melanie Parker Gaea Lei

20、nhardt.Percent: A Privileged Proportionf J.Review of Educational Research, 1995 , 65(4)： 421-481. 2. 2百分数的分类 百分数已经发展为一个比较复杂的概念，并且是以数字和符号的结合来表示，它 在不同的情境下也有着完全不同的含义。如 6%,它可以表示 100中的 6 (作为整体 中的一部分 ）； 一类事物中的 6与另一类事物中的 100相比（两个不同集合中的数量 之比 ）；也可以是作为一个 命令 来创建一个新的数（通过乘上 0.06); 个事件 的概率等。通过上述这几种情况可以发现，除非拥有了足够多

21、的信息，否则便不能确 定百分数究竟属于上述的哪一种含义，或者是同时具有多个含义。 2. 2. 1根据数字性质 百分数作为数字 Davis曾经提出 百分数是数吗？ 指出在百分数的用辞中存在着矛盾与差异， 即百分数是数，还是函数，抑或是表示一种关系，并且认为现在对于百分数这个概念 的定义还没有达成一致的意见。 究其原因，也许是因为在百分数的定义中，有一些相关联的概念与之纠缠不清。 有一种较为平铺直叙的方式强调了百分数意味着百分之几，但也就不能使学生体会 到 百分数所涉及的比较关系，像厘米可以是百分之几，分也可以是百分之几，它们所表 示的都是外延量。实际上，一个百分数与一分和一厘米是有着显著区别的，

22、但这些数 量却都能被定义为百分之一。不过，小数才是最容易被解释为外延量的（例如， 3.4 元）。因此，在百分数向小数转化的过程中，将很有可能会导致学生忽略掉数字的性 质，而只关注于数字本身。十进制计数法通常是作为整数的延伸而引入，这时就出现 了一种表示数字的方法 比，但是有一些学生无法在这些交替出现的数字系统之间 做出合理的联系。因此，学生常常会将百分数转化为小数 形式 （ 特别是在涉及货币的 情境中），并会很轻易地将它们当作外延量来相加。 并且，关于百分数是一个数还是一个比例的争论也已经不是个新鲜事了 54年 前，VanEngen指出 比率对 （ ratepairs)和分数之间的构造差异，并

23、判定百分数作 为比率对的身份。他认为，鉴于 5%始终表达的是数量间的比较，但 0.05也可以用其 他的方式来解读 （ 例如， 0.05米），这就是二者之间一个明显的差异 。 Van Engen对于 百分数的分数和比（比率对）含义的区分，是由 Nelson做了详尽的阐述 将百分 数定义为比，再根据有理数的模型来形象化百分数（部分一整体的分数），然后将百 分数既作为有理数又作为比，将会导致很多关于百分数的误解。 Usiskin和 Bell给出了六种表不数字的类型：计数 （ counts)、 测量 （ measures)、 Davisi R. B. Is percent a number?J Jou

24、rnal of Mathematical Behavior, 1988， 7: 299-302. VanEngen， H. Rate pairs， fractions， and rational numbersJ. Arithmetic Teacher， I960， 7: 389-399. Jeanne Nelson. Percent: arational number or a ratioJ.The Arithmetic Teacher 1969 16(2)： 105-109. 详见 2.2.4根据加和性 百分数作为有理数或比。 Usiskin, Z .， Bell， M. S. Ten often ignored applications of rational-number conceptsJ. Arithmetic Teacher 1984, 31： 48-50. 12