中考数学二轮压轴培优专题 二次函数与等腰直角三角形问题 .docx

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1、中考数学二轮压轴培优专题二次函数与等腰直角三角形问题1.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线yax2bx6与x轴交于点A(2，0)和点B(6，0)，与y轴交于点C，顶点为D，联结BC交抛物线的对称轴l于点E(1)求抛物线的表达式；(2)联结CD、BD，点P是射线DE上的一点，如果SPDBSCDB，求点P的坐标；(3)点M是线段BE上的一点，点N是对称轴l右侧抛物线上的一点，如果EMN是以EM为腰的等腰直角三角形，求点M的坐标2.如图，抛物线yx2bxc与x轴交于点A和B(5，0)，与y轴交于点C(0，5)(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线的对称轴与x轴交于点M，与BC交于点F，点D是对称轴

2、上一点，当点D关于直线BC的对称点E在抛物线上时，求点E的坐标；(3)点P在抛物线的对称轴上，点Q在直线BC上方的抛物线上，是否存在以O，P，Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由3.抛物线yx2(m3)x3m与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C(1)如图1，若点A在x轴的负半轴上，OBC为等腰直角三角形，求抛物线的解析式；(2)在(1)的条件下，点D(2，5)是抛物线上一点，点M为直线BC下方抛物线上一动点，令四边形BDCM的面积为S，求S的最大值及此时点M的坐标；(3)若点P是抛物线对称轴上一点，且点P的纵坐标为9，作直线PC，将直线PC向下平

3、移n(n0)个单位长度得到直线PC，若直线PC与抛物线有且仅有一个交点直接写出n关于m的函数关系式；直接写出当1n5时m的取值范围4.如图，抛物线yx2bxc与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，且A，B两点的坐标分别是A(2，0)，B(8，0)点P是抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m，过点P作直线lx轴，交直线AC于点G，交直线BC于点H(1)求抛物线的函数表达式及点C的坐标(2)如果点D是抛物线的顶点，点P在点C和点D之间运动时，试判断在抛物线的对称轴上是否存在一点N，使得NGH是等腰直角三角形，若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由(3)试探究在抛物线的对称

4、轴上是否存在点Q，使得以点P，Q，B，C为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由5.已知抛物线C1：ymx2n与x轴于A，B两点，与y轴交于点C，ABC为等腰直角三角形，且n1(1)求抛物线C1的解析式；(2)将C1向上平移一个单位得到C2，点M、N为抛物线C2上的两个动点，O为坐标原点，且MON90，连接点M、N，过点O作OEMN于点E求点E到y轴距离的最大值；(3)如图，若点F的坐标为(0，2)，直线l分别交线段AF，BF(不含端点)于G，H两点若直线l与抛物线C1有且只有一个公共点，设点G的横坐标为b，点H的横坐标为a，则ab是定值吗？若是，请求出其

5、定值，若不是，请说明理由6.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线yax24xc与直线AB相交于点A(0，1)和点B(3，4)(1)求该抛物线的解析式；(2)设C为直线AB上方的抛物线上一点，连接AC，BC，以AC，BC为邻边作平行四边形ACBP，求四边形ACBP面积的最大值；(3)将该抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线y=a1x2b1xc1(a10)，平移后的抛物线与原抛物线相交于点D，是否存在点E使得ADE是以AD为腰的等腰直角三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由7.如图，抛物线y=x2bxc与x轴交于点A和点B(5，0)，与y轴交于点C(0，3)，连接AC，BC，点E

6、是对称轴上的一个动点(1)求抛物线的解析式；(2)当SBCE2SABC时，求点E的坐标；(3)在抛物线上是否存在点P，使BPE是以BE为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由8.已知抛物线：yax22axc(a0)过点(1，0)与(0，3)直线yx6交x轴、y轴分别于点A、B(1)求抛物线的解析式；(2)若点P是抛物线上的任意一点连接PA，PB，使得PAB的面积最小，求PAB的面积最小时，P的横坐标；(3)作直线xt分别与抛物线yax22axc(a0)和直线yx6交于点E，F，点C是抛物线对称轴上的任意点，若CEF是以点E或点F为直角顶点的等腰直角三角形，求点

7、C的纵坐标9.如图，抛物线yax2bx2交x轴于点A(3，0)和点B(1，0)，交y轴于点C已知点D的坐标为(1，0)，点P为第二象限内抛物线上的一个动点，连接AP、PC、CD(1)求这个抛物线的表达式(2)点P为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形ADCP面积的最大值(3)点M在平面内，当CDM是以CM为斜边的等腰直角三角形时，求出满足条件的所有点M的坐标；在的条件下，点N在抛物线对称轴上，当MNC45时，求出满足条件的所有点N的坐标10.如图，在平面直角坐标系中，二次函数yx2bxc的图象与坐标轴相交于A、B、C三点，其中A点坐标为(3，0)，B点坐标为(1，0)，连接AC、BC动点P从

8、点A出发，在线段AC上以每秒个单位长度向点C做匀速运动；同时，动点Q从点B出发，在线段BA上以每秒1个单位长度向点A做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接PQ，设运动时间为t秒(1)求b、c的值(2)在P、Q运动的过程中，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小，最小值为多少？(3)在线段AC上方的抛物线上是否存在点M，使MPQ是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由答案1.解：(1)将A(2，0)，B(6，0)代入yax2bx6，得：，解得：，二次函数的解析式为yx22x6；(2)如图：yx22x6(x2)28，C(0，6)、D(2

9、，8)，B(6，0)，BC6，CD2，BD4，BC2CD2BD2，BCD是直角三角形，BCD90，SBCDBCCD12，SPDBPD(62)2PDSCDB12，PD6，P(2，2)；(3)B(6，0)，C(0，6)直线BC的解析式为yx6，OBOC，OBCOCB45，yx22x6，对称轴l为x2，当x2时，yx64，E(2，4)，设M(m，m6)，且2m6，当MEN90，EMEN时，过点E作EHMN于H，MN2EH，EMNENM45，OBCOCB45，NMEOCB，MNy轴，N(m，m22m6)，MNm22m6m6m23m，EHm2，m23m2(m2)，解得m4或m2(不合题意，舍去)，M(4

10、，2)；当EMN90，EMMN时，EHNHMHEN，MENENM45，OBCOCB45，MENOBC，ENx轴，点N的纵坐标为4，当y4时，x22x64，解得x22或x22(不合题意，舍去)，N(22，4)，EN2222，EHMHEN，m2，M(2，4)；综上所述，点M的坐标为(4，2)或(2，4)2.解：(1)点B(5，0)，C(0，5)在抛物线yx2bxc上，解得，抛物线的解析式为yx24x5；(2)设点M关于直线BC的对称点为点M，连接MM，BM，则直线FM为抛物线对称轴关于直线BC的对称直线，点E是点D关于直线BC的对称点，点E落在抛物线上，直线FM与抛物线的交点E1，E2为D1，D2

11、落在抛物线上的对称点，对称轴与x轴交于点M，与BC交于点F，点M的坐标为(2，0)，点C的坐标为(0，5)，点B的坐标为(5，0)，OBOC，OBC是等腰直角三角形，OBC45，MBF是等腰直角三角形，MBMF，点F的坐标为F(2，3)，点M关于直线BC的对称点为点M，BMBM，MBM90，MBM是等腰直角三角形，BMBM3，点M的坐标为(5，3)，FMx轴，x24x53，解得，x12，x22，E1(2，3)，E2(2，3)，点E的坐标为(2，3)或(2，3)；(3)存在，Q1(，)，Q2(，)，Q3(2，2)设Q(m，m24m5)，P(2，p)，当OPPQ，OPQ90时，作PLy轴于L，过Q

12、作QKx轴，交PL于K，LPO90LOP90KPQ，PLOQKP90，LOPKPQ，OPPQ，LOPKPQ(AAS)，LOPK，LPQK，解得m1，m2(舍去)，当m1时，m24m5，Q(，)；当QOPQ，PQO90时，作PLy轴于L，过Q作QKx轴于T，交PL于K，同理可得PKQQTO(AAS)，QTPK，TOQK，解得m1，m2(舍去)，当m1时，m24m5，Q(，)；当QOOP，POQ90时，作PLy轴于L，过Q作QKx轴于T，交PL于K，同理可得OLPQSO(AAS)，SQOL，SOLP，解得m12，m22(舍去)，当m12时，m24m52，Q(2，2)；综上，Q1(，)，Q2(，)，

13、Q3(2，2)3.解：(1)令y0，则x2(m3)x3m0，解得x3或xm，A(m，0)，B(3，0)，令x0，则y3m，C(0，3m)，OBC为等腰直角三角形，33m，m1，yx22x3；(2)由(1)知A(1，0)，D(2，5)，AB4，SBDC5828335515，过点M作MQy轴交直线BC于点Q，设直线BC的解析式为ykxb，解得，yx3，设M(m，m22m3)，则Q(m，m3)，MQm23m，SBCM3(m23m)(m)2，S15(m)2，当m时，S有最大值15，此时M(，)；(3)yx2(m3)x3m的对称轴为直线x，P(，9)，设直线PC的解析式为ykxb，解得，y6x3m，直线

14、PC平移后的直线PC的解析式为y6x3mn，联立方程组，整理得x2(m3)xn0，直线PC与抛物线有且仅有一个交点，(m3)24n0，n(m3)2；当n1时，m1或m5，当n5时，m23或m23，23m1或5m234.解：(1)抛物线yx2bxc经过A(2，0)，B(8，0)，解得：，yx2x2，当x0时，y2，C(0，2)；(2)存在理由如下：yx2x2(x3)2，抛物线顶点D(3，)，设直线AC的解析式为ykxd，则，解得：，直线AC的解析式为yx2，设直线BC的解析式为ykxd，则，解得：，直线BC的解析式为yx2，点P在点C和点D之间抛物线上运动，P(m，m2m2)，且0m3，G(m，

15、m2)，H(m，m2)，GHm2(m2)m，点N在对称轴上，N(3，n)，如图1，当GHN90，GHHN时，NGH是等腰直角三角形，解得：，N(3，)；当HGN90，GHGN时，NGH是等腰直角三角形，解得：，N(3，)；当GNH90，GNHN时，NGH是等腰直角三角形，解得：，N(3，)；综上所述，点N的坐标为(3，)或(3，)或(3，)；(3)存在点Q，使以点P，Q，B，C为顶点的四边形是平行四边形，设P(m，m2m2)，Q(3，t)，又B(8，0)，C(0，2)，当BP为平行四边形的对角线时，如图2，由中点公式可得：，解得：m5，当m5时，m2m2(5)2(5)2，P(5，)；当CP为平

16、行四边形的对角线时，由中点公式可得：，解得：m11，当m11时，m2m2112112，P(11，)；当QP为平行四边形的对角线时，由中点公式可得：，解得：m5，当m5时，m2m25252，P(5，)；综上所述，当点P的坐标为(5，)或(11，)或(5，)时，以点P，Q，B，C为顶点的四边形是平行四边形5.解：(1)n1，点C(0，1)，抛物线C1：ymx21，对称轴为x0，ACBC，ABC为等腰直角三角形，C为顶点，OAOBOC1，A(1，0)，B(1，0)，将B(1，0)代入ymx21得，m10，m1，抛物线C1：yx21；(2)将C1向上平移一个单位得到C2，抛物线C2：yx2，设MN的直

17、线解析式为ykxb，直线MN与y轴的交点为(0，b)，设M点坐标为(xM，xM2)，N(xN，xN2)，联立方程组，整理得x2kxb0，xMxNb，过点M作MEx轴交于E，过点N作NFx轴交于点F，MON90，MOENOF90，MOEOME90，NOFOME，MEOOFN，xNxM1，b1，直线MN经过定点(0，1)，OEMN，E点在以(0，)为圆心，直径为1的圆上运动，点E到y轴距离的最大值为；(3)ab是定值，理由如下：F的坐标为(0，2)，设直线BF的解析式为yk1xb1，解得，直线BF的表达式为y2x2，同理可得，直线AF的表达式为y2x2，设直线l的表达式为ytxn，联立方程组，整理

18、得：x2txn10，直线l与抛物线只有一个公共点，故(t)24(n1)0，解得nt21，直线l的表达式为ytxt21，联立并解得a，联立可得，b，ab1为常数6.解：(1)将A、B两点代入到解析式中，得，解得，抛物线的解析式为：yx24x1；(2)设直线AB为：yk1x1，代入点B，得，3k114，解得k11，直线AB为：yx1，设C(m，m24m1)，过C作CMy轴交AB于M，如图，则M(m，m1)，CMm24m1m1m23m，四边形ACBP为平行四边形，S四边形ACBP2SABC2(SACMSBCM)2CM34CM3(m23m)3(m)2，30，m时，四边形ACBP面积的最大值为；(3)抛

19、物线yx24x1(x2)25，将抛物线向左平移2个单位后得到的抛物线为：yx25，联立，解得，D(1，4)，如图，当DADE，EDA90，E在AD右侧时，过D作x轴平行线交y轴于N，过E作y轴平行线，两线交于F点，DANNDANDAEDF90DANEDF，又DNAEFD90，DADE，DNAEFD(AAS)，DNEF1，ANDF3，E(4，3)，当DADE，EDA90，E在AD左侧，同理可得，E(2，5)，当ADAE，DAE90，E在AD左侧时，同理可得，E(3，2)，当ADAE，DAE90，E在AD右侧时，同理可得，E(3，0)，综上所述，E(4，3)或(2，5)或(3，2)或(3，0)7.

20、解：(1)抛物线y=x2bxc经过B(5，0)，C(0，3)，解得：，该抛物线的解析式为yx2x3；(2)yx2x3，抛物线对称轴为直线x3，点A与B(5，0)关于直线x3对称，A(1，0)，AB514，SABC436，设E(3，m)，对称轴交BC于点F，设直线BC的解析式为ykxd，则，解得：，直线BC的解析式为yx3，F(3，)，EF|m|，SBCEEFOB|m|，SBCE2SABC，|m|12，解得：m或6，点E的坐标为(3，)或(3，6)；(3)设E(3，m)，P(n，n2n3)，当点P在x轴上方时，如图2，过点P作对称轴的垂线，垂足为F，过点B作BGPF于点G，BPE是以BE为斜边的

21、等腰直角三角形，BPE90，PBPE，BPGEPF90，GPFE90，BPGPBG90，PBGEPF，BPGPEF(AAS)，BGPF，PGEF，解得：，当n0时，P(0，3)；当n时，BGPFn33，P(，)；当点P在x轴下方时，如图2，过点P作x轴的垂线，垂足为H，过点E作EKPH于点K，BPE是以BE为斜边的等腰直角三角形，BPE90，PBPE，BPHEPK90，KPHB90，BPHPBH90，PBHEPK，BPHPEK(AAS)，BHPK，PHEK，n2n3n3，解得：n6或n(舍去)，P(6，3)；综上所述，点P的坐标为(0，3)或(，)或(6，3)8.解：(1)将点(1，0)、(0

22、，3)分别代入yax22axc(a0)得，解得：，抛物线的解析式为yx22x3(2)对直线yx6，当x0时，y6，当y0时，x6，A(6，0)，B(0，6)，过点P作x轴的垂线交直线AB于点，连接PA和PB，设P(x，x22x3)，则D(x，x6)，PDx22x3(x6)x23x3，SPABSPBDSPADxPD(6x)PD3(x23x3)3(x)2，x时，SPAB有最小值，PAB的面积最小时，点P的横坐标为(3)由题意可设，E(m，m22m3)，F(m，m6)，EFm22m3(m6)m23m3，由yx22x3可知抛物线的对称轴为直线x1，CEF是以点E或点F为直角顶点的等腰直角三角形，点C在

23、抛物线对称轴上，点C的横坐标为1，m1，当点E为直角顶点时，CEEF，C(1，m22m3)，CE|m1|，|m1|m23m3，解得：m2，点C的纵坐标为222233；当点F为直角顶点时，CFEF，C(1，m6)，CF|m1|，|m1|m23m3，解得：m2，点C的纵坐标为264；综上所述，点C的纵坐标为3或49.解：(1)抛物线yax2bx2交x轴于点A(3，0)和点B(1，0)，抛物线的表达式为：ya(x3)(x1)a(x22x3)ax22ax3a，即3a2，解得：a，故抛物线的表达式为：yx2x2；(2)连接OP，设点P(x，x2x2)，抛物线yx2x2交y轴于点C，点C(0，2)，则SS

24、四边形ADCPSAPOSCPOSODC3(x2x2)2(x)21x23x2，10，S有最大值，当x时，S的最大值为(3)如图2，若点M在CD左侧，连接AM，MDC90，MDACDO90，且CDODCO90，MDADCO，且ADCO2，MDCD，MADDOC(SAS)AMDO，MADDOC90，点M坐标(3，1)，若点M在CD右侧，同理可求点M(1，1)；如图3，抛物线的表达式为：yx2x2(x1)2；对称轴为直线x1，点D在对称轴上，MDCDMD，MDCMDC90，点D是MM的中点，MCDMCD45，MCM90，点M，点C，点M在以MM为直径的圆上，当点N在以MM为直径的圆上时，MNCMMC4

25、5，符合题意，点C(0，2)，点D(1，0)DC，DNDN，且点N在抛物线对称轴上，点N(1，)，点N(1，)延长MC交对称轴与N，点M(1，1)，点C(0，2)，直线MC解析式为：y3x2，当x1时，y5，点N的坐标(1，5)，点N的坐标(1，5)，点M(1，1)，点C(0，2)，NCMC，且MCM90，MMMN，MMCMNC45点N(1，5)符合题意，综上所述：点N的坐标为(1，)或(1，)或(1，5)10.解：(1)二次函数yx2bxc的图象经过点A(3，0)，B(1，0)，则 ，解得：；(2)由(1)得：抛物线表达式为yx22x3，C(0，3)，A(3，0)，OAC是等腰直角三角形，B

26、AC45，由点P的运动可知：APt，过点P作PHx轴，垂足为H，如图，AHPHt，即H(3t，0)，又Q(1t，0)，S四边形BCPQSABCSAPQ(t2)24，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，AC3，AB4，0t3，当t2时，四边形BCPQ的面积最小，最小值为4；(3)存在假设点M是线段AC上方的抛物线上的点，如图，过点P作x轴的垂线，交x轴于E，过M作y轴的垂线，与EP交于F，连接MQ，MPPMQ是等腰直角三角形，PMPQ，MPQ90，MPFQPE90，又MPFPMF90，PMFQPE，在PFM和QEP中，PFMQEP(AAS)，MFPEt，PFQE42t，EF42tt4t，又OE3t，点M的坐标为(32t，4t)，点M在抛物线yx22x3上，4t(32t)22(32t)3，解得：t或(舍)，M点的坐标为(，)学科网（北京）股份有限公司