第2课时 函数的最大(小)值梯度式训练-高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册.docx

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1、第2课时函数的最大(小)值基础过关练题组一函数最大(小)值的概念及其求解1.函数f(x)=x3-12x在区间-3,1上的最小值是()A.-10B.-11C.-15D.-182.(2022广东南海中学月考)下列关于函数f(x)=xex的说法正确的是()A.没有最小值,有最大值B.有最小值,没有最大值C.有最小值,有最大值D.没有最小值,也没有最大值3.(2022黑龙江牡丹江期末)函数y=lnxx的最大值为()A.e-1B.eC.e2D.104.(2022江西六校期末联考)已知函数f(x)=13x3-3x+2,则函数g(x)=f(x)ex在区间0,2上的最小值为()A.-3eB.-2eC.eD.2

2、e5.(2022安徽六安一中期末)函数y=ex-e-x+sin 2x在区间0,上的最小值为.6.(2021陕西西安中学期末)已知函数f(x)=1x+ln x-1.(1)求曲线y=f(x)在点(2, f(2)处的切线方程;(2)求f(x)在区间1e,e上的最大值.题组二含参函数的最大(小)值问题7.若函数f(x)=-x3+mx2+1(m0)在区间(0,2)上的极大值为最大值,则m的取值范围是 ()A.(0,3)B.(-3,0)C.(-,-3)D.(3,+)8.(2022湖北武汉部分重点中学期末)若函数f(x)=asin x+13sin 3x在x=3处有最大(小)值,则a等于()A.2B.1C.2

3、33D.09.(2022广东汕头期末)已知函数f(x)=ex+x3+(a-3)x+1在区间(0,1)上有最小值,则实数a的取值范围为()A.(-e,2)B.(-e,1-e)C.(1,2)D.(-,1-e)10.(2021北京大兴第一中学月考)已知f(x)=aln x+1x.(1)求f(x)的极值;(2)若a0,求f(x)在1,e上的最大值m(a).题组三利用函数的最大(小)值解决不等式问题11.已知函数f(x)的导函数f (x)满足2f(x)+xf (x)x2(xR),则对任意xR都有()A.x2f(x)0B.x2f(x)0C.x2f(x)-10D.x2f(x)-1012.已知a1xx+ln

4、x对任意x1e,e恒成立,则a的最小值为()A.1B.e-2C.1eD.013.(2021安徽淮南期末)已知函数f(x)=ln x+x2-3x+mx,若f(x)在1,2上单调递减,则实数m的最小值为.14.已知函数f(x)=kx3-3(k+1)x2-k2+1(k0),且f(x)的减区间是(0,4).(1)求实数k的值;(2)当xk时,求证:2x3-1x.题组四利用导数解决优化问题15.设底面为等边三角形的直三棱柱的体积为V,那么其表面积最小时的底面边长为()A.3VB.32VC.34VD.23V16.某批发商以每吨20元的价格购进一批建筑材料,若以每吨M元零售,销量N(单位:吨)与M有如下关系

5、:N=8 300-170M-M2,则该批材料零售价定为元/吨时利润最大,利润的最大值为元.17.将一块2 m6 m 的矩形钢板按如图所示的方式划线,要求至全为矩形,沿线裁去阴影部分,把剩余部分焊接成一个以为底,为盖的长方体水箱(不计损耗),设水箱的高为x m,容积为y m3.(1)写出y关于x的函数解析式;(2)当x取何值时,水箱的容积最大?能力提升练题组一函数最大(小)值的求解及其应用1.(2021安徽淮南期末)已知定义在m,n上的函数f(x),其导函数f (x)的大致图象如图所示,则下列叙述正确的个数为()f(x)的值域为f(d), f(n);f(x)在a,b上单调递增,在b,d上单调递减

6、;f(x)的极大值点为x=c,极小值点为x=e;f(x)有两个零点.A.0B.1C.2D.32.(2022河南平顶山调研)设函数f(x)=2x2-2的图象在点(a, f(a)(0a0)在1,+)上的最大值为33,则a的值为()A.33B.3C.3+1D.3-15.(2022山西大同期末)已知函数f(x)=exx-m(x0,mR),若函数y=f(f(x)与y=f(x)有相同的最小值,则实数m的最小值为.6.若函数f(x)=2x3-ax2+b在0,1上的最小值为-1,最大值为1,则a+b的值为.7.(2021山东菏泽郓城一中期末)已知函数f(x)=13x3-ax2+1,a0.(1)当a=1时,求曲

7、线y=f(x)在点(1, f(1)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;(2)是否存在实数a,使得f(x)在0,2上的最小值为56?若存在,求出a的值;若不存在,说明理由.题组三利用函数的最大(小)值解决不等式问题P203定点48.(2022天津滨海期中)已知函数f(x)=xln x+2x,若kZ,使得f(x)+2kxk+1在x(2,+)上恒成立,则k的最大值为()A.2B.3C.4D.59.(2021江苏南通如东期末)已知函数f(x)=ln x,若对任意的x1,x2(0,+),都有f(x1)-f(x2)(x12-x22)k(x1x2+x22)成立,则实数k的最大值是()A.-1B.0C.1D

8、.210.(多选)已知定义在R上的函数f(x),若存在函数g(x)=ax+b(a,b为常数),使得f(x)g(x)对一切实数x都成立,则称g(x)为函数f(x)的一个承托函数,下列命题中正确的是()A.函数g(x)=-2是函数f(x)=lnx,x0,1,x0的一个承托函数B.函数g(x)=x-1是函数f(x)=x+sin x的一个承托函数C.若函数g(x)=ax是函数f(x)=ex的一个承托函数,则a的取值范围是0,eD.值域是R的函数f(x)不存在承托函数11.(2021河北保定月考)设函数f(x)=mx2ex+1,若对任意a,b,c-3,1, f(a), f(b), f(c)都可以作为一个

9、三角形的三边长,则m的取值范围为.12.(2021湖北荆州中学期末)已知函数f(x)=ax-1-ln x(aR).(1)讨论函数f(x)在定义域内的极值点的个数;(2)若函数f(x)在x=1处取得极值,且对任意x(0,+), f(x)bx-2恒成立,求实数b的取值范围;(3)当xye-1时,求证:ex-yln(x+1)ln(y+1).题组四利用导数解决优化问题P205定点513.如图所示,在等腰梯形ABDE中,|AE|=|ED|=|BD|=a,当等腰梯形ABDE的面积最大时,=()A.6B.3C.4D.814.统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶过程中的耗油量y(单位:L/h)关于行驶速度x(单

10、位:km/h)的解析式可以表示为y=1128 000x3-380x+8(00, f(x)单调递增,当x(-2,1时, f (x)0, f(x)单调递减.又f(1)=1-12=-11, f(-3)=-27+36=9,所以函数f(x)=x3-12x在区间-3,1上的最小值是f(1)=-11.2.A易知函数f(x)的定义域为R, f (x)=exxex(ex)2=1xex,当x0,当x1时, f (x)e时,y0;当 0x0,所以函数y=lnxx在(0,e)上单调递增,在(e,+)上单调递减,所以函数y=lnxx在x=e处取得极大值,也是最大值,为e-1,故选A.4.B因为f(x)=13x3-3x+

11、2,所以f(x)=x2-3,则g(x)=f(x)ex=(x2-3)ex,则g(x)=(x2+2x-3)ex,令g(x)=0,解得x=-3或x=1,当0x1时,g(x)0,g(x)单调递减,当10,g(x)单调递增,所以当x=1时,函数g(x)取得极小值,也是最小值,为g(1)=-2e.故选B.5.答案0解析由题意得y=ex+e-x+2cos 2x,y=ex+e-x+2cos 2x2exex+2cos 2x=2(1+cos 2x),当且仅当ex=e-x,即x=0时取等号,因为1+cos 2x0,所以y0,所以函数y=ex-e-x+sin 2x在区间0,上单调递增,所以当x=0时,函数在0,上取得

12、最小值,为0.6.解析(1)易得f (x)=-1x2+1x=x1x2,因此f (2)=2122=14,即曲线y=f(x)在点(2, f(2)处的切线斜率为14.又f(2)=ln 2-12,所以曲线y=f(x)在点(2, f(2)处的切线方程为y-ln212=14(x-2),即x-4y+4ln 2-4=0.(2)因为f (x)=x1x2,所以当x1e,1时, f (x)0, f(x)单调递增.又f1e=e-2, f(e)=1e,且e-21e,所以f(x)在区间1e,e上的最大值为f1e=e-2.7.A由题意得f (x)=-3x2+2mx,令f (x)=0,得x=2m3或x=0,因为f(x)在区间

13、(0,2)内的极大值为最大值,所以02m32,所以0m3.8.Af(x)在x=3处有最大(小)值,x=3是函数f(x)的极值点.又f(x)=acos x+cos 3x(xR),f3=acos 3+cos =0,解得a=2.9.A由题意得f(x)=ex+3x2+a-3,易知f(x)在区间(0,1)上单调递增,若f(x)在区间(0,1)上有最小值,则f(0)0,即a20,解得-ea2.这时存在x0(0,1),使得f(x)在(0,x0)上单调递减,在(x0,1)上单调递增,即函数f(x)在(0,1)上有极小值,也是最小值,所以a的取值范围是(-e,2).故选A.10.解析(1)f(x)的定义域为(0

14、,+), f (x)=ax-1x2=ax1x2,x(0,+),当a0时, f (x)0时,令f (x)=0,得x=1a,列表如下:x0,1a1a1a,+f (x)-0+f(x)极小值f(x)有极小值,为f1a=a-aln a.综上,当a0时, f(x)无极值;当a0时, f(x)有极小值a-aln a,无极大值.(2)由(1)知若1a1,即a1,则当1x0, f(x)单调递增, f(x)在1,e上的最大值f(x)max=f(e)=a+1e;若1ae,即0a1e,则当1xe时, f (x)0, f(x)单调递减,f(x)在1,e上的最大值 f(x)max=f(1)=1;若11ae,即1ea1,令

15、f (x)=0,得x=1a,列表如下:x1,1a1a1a,ef (x)-0+f(x)极小值所以f(x)在1,e上的最大值在x=1或x=e处取得,由f(e)-f(1)=a+1e-10得ae1e,即当e1ea1时, f(x)max=f(e)=a+1e,同理当1eae1e时, f(x)max=f(1)=1.所以m(a)=1,0a0时,F(x)x30,F(x)单调递增;当x0时,F(x)x30,F(x)单调递减,所以F(x)=x2f(x)在x=0处取得极小值,也是最小值,从而F(x)=x2f(x)F(0)=0,故选A.12.B令f(x)=1xx+ln x,则f (x)=-1x2+1x,当1ex1时,

16、f (x)0,当10,故函数f(x)在1e,1上单调递减,在(1,e上单调递增,又f(e)=1e0,故g(x)0在1,2上恒成立,故g(x)在1,2上单调递增,故g(x)max=g(2)=6,所以m6.即m的最小值是6.14.解析(1)f (x)=3kx2-6(k+1)x=3kxx2k+2k, k0.由题意知方程f (x)=0的两实根为0和4,故2k+2k=4,解得k=1.(2)证明:令g(x)=2x+1x-3,则g(x)=1x-1x2.令g(x)=0,得x=1.当x1时,g(x)0,g(x)在(1,+)上单调递增.又因为g(1)=0,xk=1,所以g(x)0,所以2x3-1x.15.C设底面

17、等边三角形的边长为x(x0),则直三棱柱的表面积S=32x2+43xV,S=3x2(x3-4V),当0x34V时,S34V时,S0,故当x=34V时,S取得极小值,也是最小值,此时该三棱柱的表面积最小.16.答案30;23 000解析设该批材料的利润为y元,由题意知,y=N(M-20)=-M3-150M2+11 700M-166 000,则y=-3M2-300M+11 700,令y=0,解得M=30或M=-130(舍去),当M(0,30)时,y0,当M(30,+)时,y0,因此当M=30时,y取得极大值,也是最大值,且ymax=23 000.17.解析(1)由水箱的高为x m,得水箱底面的宽为

18、(2-2x)m,长为62x2=(3-x)m,易知0x1.故y=(2-2x)(3-x)x=2x3-8x2+6x(0x1).(2)由(1)得y=6x2-16x+6,0x0;当x473,1时,y0,函数f(x)在m,c)上单调递增,当x(c,e)时, f (x)0,函数f(x)在(e,n上单调递增,当x=c时,函数f(x)取极大值,当x=e时,函数f(x)取极小值,故错误,正确.根据单调性可知,函数的最小值为f(m)或f(e),最大值为f(c)或f(n),故错误.易知错误.故选B.2.C由题设知f (x)=4x,则f (a)=4a,又f(a)=2a2-2,所以切线l的方程为y-2a2+2=4a(x-

19、a),当x=0时,y=-2a2-2,当y=0时,x=a2+12a,所以直线l与坐标轴围成的三角形面积S(a)=12a2+12a2(a2+1)=(a2+1)22a,0a1,则S(a)=3a22+1-12a2,令S(a)=0,得a=33(负值舍去).当a0,33时,S(a)0,所以S(a)在0,33上单调递减,在33,1上单调递增,即S(a)min=S33=839.故选C.3.解析(1)由题可得f(1)=e1-a, f (x)=ex-a-1x,x0,则f (1)=e1-a-1,故f(x)的图象在点(1, f(1)处的切线方程为y-e1-a=(e1-a-1)(x-1).令y=0,可得x=11e1a.

20、由题意可得11e1a1,解得a0.易知f (x)=ex-1-1x在(0,+)上单调递增,又f (1)=0,当x(0,1)时, f (x)0, f(x)单调递增.f(x)min=f(1)=1,无最大值.4.D由题意得f (x)=ax2(x2+a)2.若a1,则当xa时, f (x)0, f(x)单调递减,当1x0, f(x)单调递增,故当x=a时, f(x)取得极大值,也是最大值,为a2a=33,解得a=341,不符合题意;若a=1,则当x1,+)时, f (x)0, f(x)在1,+)上单调递减, f(x)max=f(1)=12,不符合题意;若0a1,则当x1,+)时, f (x)0,解得x1

21、,令f (x)0,解得0x0,则g(x)=ex(x1)x2,则函数g(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+)上单调递增,所以g(x)在x=1处取极小值,也是最小值,为g(1)=e-1,因为m=g(x)有解,所以me-1.故m的最小值为e-1.6.答案-1或5解析f (x)=6x2-2ax=6xxa3.令f (x)=0,得x=0或x=a3.当a0时,函数f(x)在,a3和(0,+)上单调递增,在a3,0上单调递减,所以f(0)=b=1,f(1)=2a+b=1,解得a=0,b=1,与 a0矛盾.当a=0时,函数f(x)在R上单调递增,由可得a=0,b=1,满足题意.当0a3时,函数f(x)在(-

22、,0)和a3,+上单调递增,在0,a3上单调递减,所以f(x)在0,1上的最小值为fa3=-a327+b,最大值为f(0)=b或f(1)=2-a+b.若-a327+b=-1,b=1,则a=332,与0a3矛盾;若-a327+b=-1,2-a+b=1,则a=33或a=-33或a=0,与03时,函数f(x)在(-,0)和a3,+上单调递增,在0,a3上单调递减,所以f(x)在0,1上单调递减,所以f(x)在0,1上的最大值为f(0),最小值为f(1),即b=1,2a+b=1,解得a=4,b=1,满足题意.综上,当a=0,b=1或 a=4,b=1时,函数f(x)在0,1上的最小值为-1,最大值为1,

23、所以a+b的值为-1或5.7.解析(1)当a=1时, f(x)=13x3-x2+1, f (x)=x2-2x, f (1)=-1,又f(1)=13,所以曲线y=f(x)在点(1, f(1)处的切线方程为y-13=-(x-1),即3x+3y-4=0.直线3x+3y-4=0在x轴、y轴上的截距均为43,因此,所求三角形的面积为124343=89.(2)存在.f (x)=x2-2ax=x(x-2a),令f (x)=0,得x=2a或x=0.当02a2,即0a1时,列表如下:x(0,2a)2a(2a,2)f (x)-0+f(x)单调递减极小值单调递增则f(x)min=f(2a)=1-4a33=56,解得

24、a=12;当2a2,即a1时, f (x)0在0,2上恒成立,此时f(x)单调递减,故f(x)min=f(2)=113-4a=56,解得a=17241,舍去.综上,存在a=12,使得f(x)在0,2上的最小值为56.8.C依题意得k2,令h(x)=x+xlnxx2,则h(x)=x42lnx(x2)2.令g(x)=x-4-2ln x,则g(x)=1-2x,当x2时,g(x)0,即g(x)单调递增.g(8)=4-2ln 8=ln e4-ln 820,设g(x)的零点为x0,则8x09,且ln x0=x042,当2xx0时,g(x)0,即h(x)x0时,g(x)0,即h(x)0,h(x)单调递增,h

25、(x)min=h(x0)=x0+x0ln x0x02=x0+x0x042x02=x02,kx02,又kZ,且8x09,即4x020),g(t)=tln t-ln t,则g(t)=ln t+1-1t,易知g(t)在(0,+)上单调递增,且g(1)=0,当t(0,1)时,g(t)0,g(t)单调递增,g(t)min=g(1)=0,k0.故实数k的最大值是0.故选B.10.BC对于A,当x0时, f(x)=ln x(-,+),f(x)g(x)=-2不恒成立,故A错误.对于B,x+sin x-(x-1)=sin x+10,则f(x)g(x)恒成立,函数g(x)=x-1是函数f(x)=x+sin x的一

26、个承托函数,故B正确.对于C,令h(x)=ex-ax,则h(x)=ex-a,若a=0,由题意知,结论成立;若a0,令h(x)=0,得x=ln a,函数h(x)在(-,ln a)上为减函数,在(ln a,+)上为增函数,当x=ln a时,函数h(x)取得极小值,也是最小值,为a-aln a,g(x)=ax是函数f(x)=ex的一个承托函数,a-aln a0,ln a1,0ae;若a0恒成立,故g(x)=2x-1是f(x)=2x的一个承托函数,故D错误.故选BC.11.答案12e,1e 解析设函数g(x)=x2ex,x-3,1,则g(x)=x(x+2)ex.当-3x-2或00,g(x)单调递增;当

27、-2x0时,g(x)0,g(x)单调递减.又g(-3)=9e3,g(0)=0,g(-2)=4e2,g(1)=e,所以g(x)的值域为0,e.所以当m0时, f(x)的值域为1,me+1,当mme+1,所以0m1e;当m1,所以-12em0.综上可得,-12em1e.12.解析(1)函数f(x)的定义域为(0,+),f (x)=a-1x=ax1x,当a0时, f (x)0时,令f (x)0,得0x0,得x1a,f(x)在0,1a上单调递减,在1a,+上单调递增,即f(x)在x=1a处取得极小值,无极大值.综上,当a0时, f(x)在(0,+)上没有极值点,当a0时, f(x)在(0,+)上有一个

28、极值点.(2)函数f(x)在x=1处取得极值,f (1)=0,a=1,f(x)=x-1-ln x, f (x)=x1x,f(x)bx-21+1x-lnxxb,令g(x)=1+1x-lnxx,则g(x)=-1x2-1lnxx2=2+lnxx2,令g(x)=0,得x=e2,当0xe2时,g(x)e2时,g(x)0,故g(x)在(0,e2上单调递减,在e2,+)上单调递增,g(x)min=g(e2)=1-1e2,b1-1e2.(3)证明:当xye-1时,不等式ex-yln(x+1)ln(y+1)等价于exln(x+1)eyln(y+1),令H(x)=exln(x+1),xe-1,则只需证明H(x)在

29、(e-1,+)上单调递增即可.易得H(x)=exln(x+1)1x+1ln(x+1)2,令h(x)=ln(x+1)-1x+1,xe-1,则易知h(x)在(e-1,+)上单调递增,h(x)1-1e0,H(x)0,H(x)在(e-1,+)上单调递增,当xye-1时,exln(x+1)eyln(y+1),即ex-yln(x+1)ln(y+1).13.B如图,过点D作DCAB于点C,设等腰梯形ABDE的面积为S,则S=12(|AB|+|ED|)|CD|,易得|AB|=a+2acos ,|ED|=a,|CD|=asin ,所以S=12(a+2acos )+aasin =a2sin (1+cos )02,

30、则S=a2(2cos2+cos -1),令S=0,得cos =12或cos =-1,由于00,当3,2时,S0,故当=3时,S取得最大值.故选B.14.解析(1)该种型号的汽车以40 km/h的速度从甲地匀速行驶到乙地需10040=2.5 h,故耗油1128 00040338040+82.5=17.5 L.(2)当该种型号的汽车匀速行驶的速度为x km/h时,从甲地到乙地需100x h,设耗油h L,依题意得h=1128 000x3380x+8100x=x21 280-154+800x(0x120),则h=x640-800x2=x3803640x2(0x120).令h=0,得x=80.当x(0,80)时,h0,所以当x=80时,h取得极小值,也是最小值,为11.25.故当该种型号的汽车以80 km/h的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少,最少为11.25 L.22学科网（北京）股份有限公司