2012年天津高考文科数学试题（含解析）.docx

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1、2012年天津市高考数学试卷（文科）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1（2012天津）i是虚数单位，复数=（）A1iB1+iC1+iD1i2（2012天津）设变量x，y满足约束条件则目标函数z=3x2y的最小值为（）A5B4C2D33（2012天津）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出s的值为（）A8B18C26D804（2012天津）已知a=21.2，b=（）0.8，c=2log52，则a，b，c的大小关系为（）AcbaBcabCbacDbca5（2012天津）设xR，则“x”是“2x2+x10”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件

2、6（2012天津）下列函数中，既是偶函数，又在区间（1，2）内是增函数的为（）Ay=cos2x，xRBy=log2|x|，xR且x0Cy=Dy=x3+1，xR7（2012天津）将函数y=sinx（其中0）的图象向右平移个单位长度，所得图象经过点，则的最小值是（）AB1CD28（2012天津）在ABC中，A=90，AB=1，AC=2设点P，Q满足，R若=2，则=（）ABCD2二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9（2012天津）集合A=xR|x2|5中的最小整数为_10（2012天津）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为_m311（2012天津）已知双曲线C1：与双

3、曲线C：（a0，b0）有相同的渐近线，且C1的右焦点为F（，0）则a=_，b=_12（2012天津）设m，nR，若直线l：mx+ny1=0与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，且l与圆x2+y2=4相交所得弦的长为2，O为坐标原点，则AOB面积的最小值为_13（2012天津）如图，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D，过点C作BD的平行线与圆相交于点E，与AB相交于点F，AF=3，FB=1，EF=，则线段CD的长为_14（2012天津）已知函数y=的图象与函数y=kx的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是_三、解答题（本大题共6小题，共80分）15（2012天津

4、）某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查（1）求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；（2）若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析（）列出所有可能的抽取结果；（）求抽取的2所学校均为小学的概率16（2012天津）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知a=2，c=，cosA=（1）求sinC和b的值；（2）求cos（2A+）的值17（2012天津）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，ADPD，BC=1，PC=2，PD=CD=2（1）求异面直线PA与BC所成角的正切值；（2）证明：平面

5、PDC平面ABCD；（3）求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值18（2012天津）已知an是等差数列，其前n项和为Sn，bn是等比数列，且a1=b1=2，a4+b4=27，S4b4=10（1）求数列an与bn的通项公式；（2）记Tn=anb1+an1b2+a1bn，nN*，证明：Tn8=an1bn+1（nN*，n2）19（2012天津）已知椭圆，点P（）在椭圆上（1）求椭圆的离心率；（2）设A为椭圆的左顶点，O为坐标原点若点Q在椭圆上且满足|AQ|=|AO|，求直线OQ的斜率的值20（2012天津）已知函数f（x）=x3+x2axa，xR，其中a0（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若函数

6、f（x）在区间（2，0）内恰有两个零点，求a的取值范围；（3）当a=1时，设函数f（x）在区间t，t+3上的最大值为M（t），最小值为m（t）记g（t）=M（t）m（t），求函数g（t）在区间3，1上的最小值2012年天津市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1（2012天津）i是虚数单位，复数=（）A1iB1+iC1+iD1i考点：复数代数形式的乘除运算。专题：计算题。分析：进行复数的除法运算，分子很分母同乘以分母的共轭复数，约分化简，得到结果解答：解：=1+i故选C点评：本题考查复数的代数形式的乘除运算，本题解题的关键是掌握除法的运算法则，本题

7、是一个基础题2（2012天津）设变量x，y满足约束条件则目标函数z=3x2y的最小值为（）A5B4C2D3考点：简单线性规划。专题：计算题。分析：先画出线性约束条件对应的可行域，再将目标函数赋予几何意义，数形结合即可得目标函数的最小值解答：解：画出可行域如图阴影区域：目标函数z=3x2y可看做y=xz，即斜率为，截距为z的动直线，数形结合可知，当动直线过点A时，z最小由得A（0，2）目标函数z=3x2y的最小值为z=3022=4故选 B点评：本题主要考查了线性规划的思想方法和解题技巧，二元一次不等式组表示平面区域，数形结合的思想方法，属基础题3（2012天津）阅读右边的程序框图，运行相应的程序

8、，则输出s的值为（）A8B18C26D80考点：数列的求和；循环结构。专题：计算题。分析：根据框图可求得S1=2，S2=8，S3=26，执行完后n已为4，故可得答案解答：解：由程序框图可知，当n=1，S=0时，S1=0+3130=2；同理可求n=2，S1=2时，S2=8；n=3，S2=8时，S3=26；执行完后n已为4，故输出的结果为26故选C点评：本题考查数列的求和，看懂框图循环结构的含义是关键，考查学生推理、运算的能力，属于基础题4（2012天津）已知a=21.2，b=（）0.8，c=2log52，则a，b，c的大小关系为（）AcbaBcabCbacDbca考点：不等式比较大小。专题：计算

9、题。分析：由函数y=2x在R上是增函数可得ab20=1，再由c=2log52=log54log55=1，从而得到a，b，c的大小关系解答：解：由于函数y=2x在R上是增函数，a=21.2，b=（）0.8 =20.8，1.20.80，ab20=1再由c=2log52=log54log55=1，可得 abc，故选A点评：本题主要考查指数函数、对数函数的单调性和特殊点，属于基础题5（2012天津）设xR，则“x”是“2x2+x10”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断。专题：计算题。分析：求出二次不等式的解，然后利用充

10、要条件的判断方法判断选项即可解答：解：由2x2+x10，可知x1或x；所以当“x”“2x2+x10”；但是“2x2+x10”推不出“x”所以“x”是“2x2+x10”的充分而不必要条件故选A点评：本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断，二次不等式的解法，考查计算能力6（2012天津）下列函数中，既是偶函数，又在区间（1，2）内是增函数的为（）Ay=cos2x，xRBy=log2|x|，xR且x0Cy=Dy=x3+1，xR考点：函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明。专题：计算题。分析：利用函数奇偶性的定义可排除C，D，再由“在区间（1，2）内是增函数”可排除A，从而可得答案解答：解：对于

11、A，令y=f（x）=cosx，则f（x）=cos（x）=cosx=f（x），为偶函数，而f（x）=cosx在0，上单调递减，（1，2）0，故f（x）=cosx在区间（1，2）内是减函数，故排除A；对于B，令y=f（x）=log2|x|，xR且x0，同理可证f（x）为偶函数，当x（1，2）时，y=f（x）=log2|x|=log2x，为增函数，故B满足题意；对于C，令y=f（x）=，f（x）=f（x），为奇函数，故可排除C；而D，为非奇非偶函数，可排除D；故选B点评：本题考查函数奇偶性的判断与单调性的判断，着重考查函数奇偶性与单调性的定义，考查“排除法”在解题中的作用，属于基础题7（2012天津

12、）将函数y=sinx（其中0）的图象向右平移个单位长度，所得图象经过点，则的最小值是（）AB1CD2考点：由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（x+）的图象变换。专题：计算题。分析：图象变换后所得图象对应的函数为y=sin（x），再由所得图象经过点可得sin（）=sin（）=0，故=k，由此求得的最小值解答：解：将函数y=sinx（其中0）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数为y=sin（x）再由所得图象经过点可得sin（）=sin（）=0，=k，kz故的最小值是2，故选D点评：本题主要考查y=Asin（x+）的图象变换，以及由y=Asin（x+）的部分图象求

13、函数解析式，属于中档题8（2012天津）在ABC中，A=90，AB=1，AC=2设点P，Q满足，R若=2，则=（）ABCD2考点：平面向量数量积的运算。专题：计算题。分析：由题意可得=0，根据=（1）=（1）41=2，求得的值解答：解：由题意可得=0，由于=（）（）=（1）=（1）41=2，解得 =2，故选D点评：本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的运算，属于中档题二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9（2012天津）集合A=xR|x2|5中的最小整数为3考点：绝对值不等式的解法。专题：计算题。分析：由|x2|5可解得3x7，从而可

14、得答案解答：解：A=xR|x2|5，由|x2|5得，5x25，3x7，集合A=xR|x2|5中的最小整数为3故答案为3点评：本题考查绝对值不等式的解法，可根据绝对值不等式|x|a（a0）的意义直接得到axa，也可以两端平方，去掉绝对值符号解之，属于基础题10（2012天津）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为30m3考点：由三视图求面积、体积。专题：计算题。分析：通过三视图判断几何体的特征，利用三视图的数据，求出几何体的体积即可解答：解：由三视图可知几何体是组合体，下部是长方体，底面边长为3和4，高为2，上部是放倒的四棱柱，底面为直角梯形，底面直角边长为2和1，高为1，棱

15、柱的高为4，所以几何体看作是放倒的棱柱，底面是5边形，几何体的体积为：（23+）4=30（m3）故答案为：30点评：本题考查三视图与几何体的关系，判断三视图复原的几何体的形状是解题的关键，考查空间想象能力与计算能力11（2012天津）已知双曲线C1：与双曲线C：（a0，b0）有相同的渐近线，且C1的右焦点为F（，0）则a=1，b=2考点：双曲线的简单性质。专题：计算题。分析：双曲线C1：的渐近线方程为y=x，右焦点为（c，0），结合已知即可得=2，c=，列方程即可解得a、b的值解答：解：双曲线C：（a0，b0）的渐近线方程为y=2x，=2且C1的右焦点为F（，0）c=，由a2+b2=c2解得a

16、=1，b=2故答案为1，2点评：本题主要考查了双曲线的标准方程，双曲线的几何性质，属基础题12（2012天津）设m，nR，若直线l：mx+ny1=0与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，且l与圆x2+y2=4相交所得弦的长为2，O为坐标原点，则AOB面积的最小值为3考点：直线与圆相交的性质；直线的一般式方程。专题：计算题。分析：由圆的方程找出圆心坐标和半径r，由直线l被圆截得的弦长与半径，根据垂径定理及勾股定理求出圆心到直线l的距离，然后再利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线l的距离，两者相等列出关系式，整理后求出m2+n2的值，再由直线l与x轴交于A点，与y轴交于B点，由直线l的解析式分别令

17、x=0及y=0，得出A的横坐标及B的纵坐标，确定出A和B的坐标，得出OA及OB的长，根据三角形AOB为直角三角形，表示出三角形AOB的面积，利用基本不等式变形后，将m2+n2的值代入，即可求出三角形AOB面积的最小值解答：解：由圆x2+y2=4的方程，得到圆心坐标为（0，0），半径r=2，直线l与圆x2+y2=4相交所得弦CD=2，圆心到直线l的距离d=，圆心到直线l：mx+ny1=0的距离d=，整理得：m2+n2=，令直线l解析式中y=0，解得：x=，A（，0），即OA=，令x=0，解得：y=，B（0，），即OB=，m2+n22|mn|，当且仅当|m|=|n|时取等号，|mn|，又AOB为直

18、角三角形，SABC=OAOB=3，则AOB面积的最小值为3故答案为：3点评：此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：点到直线的距离公式，垂径定理，勾股定理，直线的一般式方程，以及基本不等式的运用，当直线与圆相交时，常常根据垂径定理由垂直得中点，进而由弦长的一半，圆的半径及弦心距构造直角三角形，利用勾股定理俩来解决问题13（2012天津）如图，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D，过点C作BD的平行线与圆相交于点E，与AB相交于点F，AF=3，FB=1，EF=，则线段CD的长为考点：与圆有关的比例线段。专题：计算题。分析：由相交弦定理求出FC，由相似比求出BD

19、，设DC=x，则AD=4x，再由切割线定理，BD2=CDAD求解解答：解：由相交弦定理得到AFFB=EFFC，即31=FC，FC=2，在ABD中AF：AB=FC：BD，即3：4=2：BD，BD=，设DC=x，则AD=4x，再由切割线定理，BD2=CDAD，即x4x=（）2，x=故答案为：点评：本题主要考查了平面几何中直线与圆的位置关系，相交弦定理，切割线定理，相似三角形的概念、判定与性质14（2012天津）已知函数y=的图象与函数y=kx的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是（0，1）（1，2）考点：函数的零点与方程根的关系。专题：计算题。分析：函数y=，如图所示，可得直线y=kx与函数y=

20、的图象相交于两点时，直线的斜率k的取值范围解答：解：函数y=，如图所示：故当一次函数y=kx的斜率k满足0k1 或1k2时，直线y=kx与函数y=的图象相交于两点，故答案为 （0，1）（1，2）点评：本题主要考查函数的零点的定义，函数的零点与方程的根的关系，体现了转化、数形结合的数学思想，属于基础题三、解答题（本大题共6小题，共80分）15（2012天津）某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查（1）求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；（2）若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析（）列出所有可能的抽取结果；（

21、）求抽取的2所学校均为小学的概率考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；分层抽样方法。专题：计算题。分析：（1）利用分层抽样的意义，先确定抽样比，在确定每层中抽取的学校数目；（2）（i）从抽取的6所学校中随机抽取2所学校，所有结果共有=15种，按规律列举即可；（ii）先列举抽取结果两所学校均为小学的基本事件数，再利用古典概型概率的计算公式即可得结果解答：解：（I）抽样比为=，故应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目分别为21=3，14=2，7=1（II）（i）在抽取到的6所学校中，3所小学分别记为1、2、3，两所中学分别记为a、b，大学记为A则抽取2所学校的所有可能结果为1，2，1，3，

22、1，a，1，b，1，A，2，3，2，a，2，b，2，A，3，a，3，b，3，A，a，b，a，A，b，A，共15种（ii）设B=抽取的2所学校均为小学，事件B的所有可能结果为1，2，1，3，2，3共3种，P（B）=点评：本题主要考查了统计中分层抽样的意义，古典概型概率的计算方法，列举法计数的方法，属基础题16（2012天津）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知a=2，c=，cosA=（1）求sinC和b的值；（2）求cos（2A+）的值考点：解三角形；三角函数中的恒等变换应用。专题：计算题。分析：（1）ABC中，利用同角三角函数的基本关系求出sinA，再由正弦定理求出sinC

23、，再由余弦定理求得b=1（2）利用二倍角公式求得cos2A的值，由此求得sin2A，再由两角和的余弦公式求出cos（2A+）=cos2Acossin2Asin 的值解答：解：（1）ABC中，由cosA= 可得sinA=再由 = 以及a=2、c=，可得sinC=由a2=b2+c22bccosA 可得b2+b2=0，解得b=1（2）由cosA=、sinA= 可得 cos2A=2cos2A1=，sin2A=2sinAcosA=故cos（2A+）=cos2Acossin2Asin=点评：本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，二倍角公式以及两角和的余弦公式，同角三角函数的基本关系的应用，属于中档题17（

24、2012天津）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，ADPD，BC=1，PC=2，PD=CD=2（1）求异面直线PA与BC所成角的正切值；（2）证明：平面PDC平面ABCD；（3）求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值考点：直线与平面所成的角；异面直线及其所成的角；平面与平面垂直的判定。专题：计算题；证明题；综合题。分析：（1）判断PAD为异面直线PA与BC所成角，在RtPDA中，求异面直线PA与BC所成角的正切值；（2）说明ADBC，通过ADPD，CDPD=D，证明AD平面PDC，然后证明平面PDC平面ABCD（3）在平面PDC中，过点P作PECD于E，连接EB说明PBE为直线PB

25、与平面ABCD所成角，求出PE，PB，在RtPEB中，通过sinPBE=，求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值解答：（1）解：如图，在四棱锥PABCD中，因为底面ABCD是矩形，所以AD=BC，且ADBC，又因为ADPD，故PAD为异面直线PA与BC所成角，在RtPDA中，=2，所以异面直线PA与BC所成角的正切值为：2（2）证明：由于底面ABCD是矩形，故ADBC，由于ADPD，CDPD=D，因此AD平面PDC，而AD平面ABCD，所以平面PDC平面ABCD（3）解：在平面PDC中，过点P作PECD于E，连接EB由于平面PDC平面ABCD，而直线CD是平面PDC与平面ABCD的交线，故PE

26、平面ABCD由此得PBE为直线PB与平面ABCD所成角，在PDC中，由于PD=CD=2，PC=2，可得PCD=30，在RtPEC中，PE=PCsin30=由ADBC，AD平面PDC，得BC平面PDC，因此BCPC在RtPCB中，PB=在RtPEB中，sinPBE=所以直线PB与平面ABCD所成角的正弦值为点评：本题考查直线与平面所成的角，异面直线及其所成的角，平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力，计算能力18（2012天津）已知an是等差数列，其前n项和为Sn，bn是等比数列，且a1=b1=2，a4+b4=27，S4b4=10（1）求数列an与bn的通项公式；（2）记Tn=anb1+an1b

27、2+a1bn，nN*，证明：Tn8=an1bn+1（nN*，n2）考点：等差数列与等比数列的综合；数列的求和。专题：计算题；证明题。分析：（1）直接设出首项和公差，根据条件求出首项和公差，即可求出通项（2）先借助于错位相减法求出Tn的表达式；再代入所要证明的结论的两边，即可得到结论成立解答：解：（1）设等差数列的公差为d，等比数列的首项为q，由a1=b1=2，得a4=2+3d，b4=2q3，s4=8+6d，由a4+b4=27，S4b4=10，得方程组，解得，所以：an=3n1，bn=2n（2）证明：由第一问得：Tn=anb1+an1b2+a1bn=22+522+823+（3n1）2n； ；2T

28、n=222+523+（3n4）2n+（3n1）2n+1，由得，Tn=22+322+323+32n（3n1）2n+1=（3n1）2n+12=（3n4）2n+18即Tn8=（3n4）2n+1而当n2时，an1bn+1=（3n4）2n+1Tn8=an1bn+1（nN*，n2）点评：本题主要考察等差数列和等比数列的综合问题解决这类问题的关键在于熟练掌握基础知识，基本方法并考察计算能力19（2012天津）已知椭圆，点P（）在椭圆上（1）求椭圆的离心率；（2）设A为椭圆的左顶点，O为坐标原点若点Q在椭圆上且满足|AQ|=|AO|，求直线OQ的斜率的值考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质。专题：综

29、合题。分析：（1）根据点P（）在椭圆上，可得，由此可求椭圆的离心率；（2）设直线OQ的斜率为k，则其方程为y=kx，设点Q的坐标为（x0，y0），与椭圆方程联立，根据|AQ|=|AO|，A（a，0），y0=kx0，可求，由此可求直线OQ的斜率的值解答：解：（1）因为点P（）在椭圆上，所以（2）设直线OQ的斜率为，则其方程为y=kx设点Q的坐标为（x0，y0），由条件得，消元并整理可得|AQ|=|AO|，A（a，0），y0=kx0，x00，代入，整理得5k422k215=0k2=5点评：本题考查椭圆的离心率，考查直线与椭圆的位置关系，联立方程组是关键20（2012天津）已知函数f（x）=x3+x

30、2axa，xR，其中a0（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）在区间（2，0）内恰有两个零点，求a的取值范围；（3）当a=1时，设函数f（x）在区间t，t+3上的最大值为M（t），最小值为m（t）记g（t）=M（t）m（t），求函数g（t）在区间3，1上的最小值考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值。专题：综合题。分析：（1）求导函数，令f（x）0，可得函数的递增区间；令f（x）0，可得单调递减区间；（2）由（1）知函数在区间（2，1）内单调递增，在（1，0）内单调递减，从而函数在（2，0）内恰有两个零点，由此可求a的取值范围；（3）

31、a=1时，f（x）=，由（1）知，函数在（3，1）上单调递增，在（1，1）上单调递减，在（1，2）上单调递增，再进行分类讨论：当t3，2时，t+30，1，1t，t+3，f（x）在t，1上单调递增，在1，t+3上单调递减，因此函数在t，t+3上的最大值为M（t）=f（1）=，而最小值m（t）为f（t）与f（t+3）中的较小者，从而可得g（t）在3，2上的最小值；当t2，1时，t+31，2，1，1t，t+3，比较f（1），f（1），f（t），f（t+3）的大小，从而可确定函数g（t）在区间3，1上的最小值解答：解：（1）求导函数可得f（x）=（x+1）（xa），令f（x）=0，可得x1=1，x2=

32、a0令f（x）0，可得x1或xa；令f（x）0，可得1xa故函数的递增区间为（，1），（a，+），单调递减区间为（1，a，）（2）由（1）知函数在区间（2，1）内单调递增，在（1，0）内单调递减，从而函数在（2，0）内恰有两个零点，0aa的取值范围为；（3）a=1时，f（x）=，由（1）知，函数在（3，1）上单调递增，在（1，1）上单调递减，在（1，2）上单调递增当t3，2时，t+30，1，1t，t+3，f（x）在t，1上单调递增，在1，t+3上单调递减因此函数在t，t+3上的最大值为M（t）=f（1）=，而最小值m（t）为f（t）与f（t+3）中的较小者由f（t+3）f（t）=3（t+1）（

33、t+2）知，当t3，2时，f（t）f（t+3），故m（t）=f（t），所以g（t）=f（1）f（t）而f（t）在3，2上单调递增，因此f（t）f（2）=，所以g（t）在3，2上的最小值为当t2，1时，t+31，2，1，1t，t+3，下面比较f（1），f（1），f（t），f（t+3）的大小由f（x）在2，1，1，2上单调递增，有f（2）f（t）f（1），f（1）f（t+3）f（2）f（1）=f（2）=，f（1）=f（2）=M（t）=f（1）=，m（t）=f（1）=g（t）=M（t）m（t）=综上，函数g（t）在区间3，1上的最小值为点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，考查分类讨论的数学思想，正确求导与分类讨论是解题的关键