阅读与思：欧几里得《原本》与公理化方法-高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册.pptx

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1、人教人教A版必修第二册版必修第二册 第八章第八章 阅读与思考阅读与思考欧几里得原本与公理化方法欧几里得原本与公理化方法 一、课堂引入2.向量“空间”实数是有序的，可以比较大小；实数集对加、减、乘、除（除数不为零）四则运算具有封闭性；加法运算满足交换律、结合律，乘法运算满足交换律、分配律、结合律；在现实生活中有广泛运用.1.实数“域”.创建新体系的一种方法创建新体系的一种方法公理化方法公理化方法 向量的加、减、数乘运算是封闭的；向量的加法满足交换律、结合律；数量积运算满足交换律、分配律.向量是沟通几何和代数的桥梁，并且有丰富的物理背景，有广泛的运用价值，是一个优良的“空间”.推论推论3 过两条平

2、行直线，有且只有一个平面过两条平行直线，有且只有一个平面.平面与平面平行性质定理平面与平面平行性质定理 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行两个平面相交，那么两条交线平行 第一次给出公理化的数学第一次给出公理化的数学体系体系欧几里得原本欧几里得原本 数学公理化方法，就是从尽可能少的原始概念数学公理化方法，就是从尽可能少的原始概念（基本概念）（基本概念）基本概念基本概念如中学数学中的点，直线，平面等如中学数学中的点，直线，平面等.二二.公理化方法公理化方法公理公理是对基本概念间的相互关系和基本性质所作的一种阐述和规定是对基本概念间的相互关

3、系和基本性质所作的一种阐述和规定.相容性：不能自相矛盾.独立性：任一条公理不能从别的公理推出来.和尽可能少的一组不加证明的原始命题和尽可能少的一组不加证明的原始命题（公理，公设）（公理，公设）出发，出发，应用严格的逻辑推理，推导出其余的命题，使某一数学分支成应用严格的逻辑推理，推导出其余的命题，使某一数学分支成 为为 演绎系统的一种方法演绎系统的一种方法.三三.原本简介原本简介 由于人类生活和生产的需要，产生了几何学由于人类生活和生产的需要，产生了几何学.古希腊数学积累了大量的、具体的成果古希腊数学积累了大量的、具体的成果.但这些知识缺乏但这些知识缺乏系统性系统性,大多数是片断的、零散的大多数

4、是片断的、零散的.1.历史起源历史起源 欧几里得将公元前欧几里得将公元前7世纪以来希腊几何学家积累起世纪以来希腊几何学家积累起来的丰富成果整理、收集起来，并加以系统化来的丰富成果整理、收集起来，并加以系统化.他从少数已他从少数已被经验反复验证的公理出发，运用被经验反复验证的公理出发，运用逻辑推理以及数学运算方法演绎出一系列定理与推逻辑推理以及数学运算方法演绎出一系列定理与推论，论，写成了十三卷在数学史上的数学巨作原本，写成了十三卷在数学史上的数学巨作原本，使几何学成为一门独立、演绎的科学使几何学成为一门独立、演绎的科学.2.原本诞生原本诞生 几何原本在人类数学史中几何原本在人类数学史中第一次给

5、出了公理化的数学体第一次给出了公理化的数学体系，成为理性思维的象征系，成为理性思维的象征.对整个数学发展产生了深远的影响对整个数学发展产生了深远的影响.3.原本的意义原本的意义 公理化方法作为一种理论形式为人们普遍接受公理化方法作为一种理论形式为人们普遍接受.人们普遍建立了这样的认识，所有的数学理论，人们普遍建立了这样的认识，所有的数学理论，都必须按照数学的定义，公理与三段论的逻辑论都必须按照数学的定义，公理与三段论的逻辑论证来组织证来组织.四四.原本原本内容简介内容简介 1.整体概述整体概述 卷卷内容内容定义定义公理公理公设公设命题命题1直线形直线形2355482几何代数法几何代数法2143

6、圆圆11374多边形多边形7165比例论比例论18256相似形相似形4337数论数论22398数论数论0279数论数论03610不可公度量不可公度量1611511立体图形立体图形283912求积术求积术01813正多面体正多面体018合计131554652.内容框架（第内容框架（第I卷）卷）设设AB为已知的线段为已知的线段.要求以线段要求以线段AB为边建立一个等边三角形为边建立一个等边三角形.以以A A为圆心、为圆心、ABAB为半径作圆为半径作圆BCD(BCD(公设公设1.3)1.3)；再以再以B B为圆心，以为圆心，以BABA为半径作圆为半径作圆ACE(ACE(公设公设1.3)1.3)；两圆

7、相交；两圆相交与与C C点，连接点，连接CACA、CB.CB.圆：由一条线包围着的平面图形，圆：由一条线包围着的平面图形，其内有一点与这条直线上任何一点其内有一点与这条直线上任何一点所连成的线段都相等所连成的线段都相等.因为因为A点是圆点是圆CDB的圆心，故的圆心，故AC等于等于AB（定义定义I.15）.又点又点B是圆是圆CAE的圆心，故的圆心，故BC等于等于BA（定义定义I.15），），因为等于同量的量彼此相等（公理因为等于同量的量彼此相等（公理I.1）；）；所以所以CA等于等于CB.三条线段三条线段CA、AB、BC相等相等.所以三角形所以三角形ABC是建立在线段是建立在线段AB上的等边三角

8、形上的等边三角形.证毕证毕 命题命题I.1 I.1 已知一条线段可作一个等边三角形已知一条线段可作一个等边三角形 以定点为圆心及定长的线段为半径可作圆以定点为圆心及定长的线段为半径可作圆.在点在点A上取上取AD等于等于c，又以又以A为圆心、以为圆心、以AD为半径为半径建圆建圆DEF（公设公设I.3）.因为点因为点A是圆是圆DEF的圆心，所以的圆心，所以AE=AD（定义定义I.15）.又又c也等于也等于AD，所以线段所以线段AE和和c都等于都等于AD，所以所以AE也等于也等于c(公理公理I.1).所以从较长所以从较长AB上作出了上作出了AE等于短线段等于短线段c.证毕证毕 命题命题I.3 给定两

9、条不等线段，可以在较长的线段切取一条线段给定两条不等线段，可以在较长的线段切取一条线段等于较短的线段等于较短的线段.设设AB和和c是给定的两条不等线段是给定的两条不等线段.AB较长较长.A Bc 在在AC上任取一点上任取一点D,CB上任取一点上任取一点E，并让，并让CD等于等于CE(命题命题I.3).在在DE上建立等边三角形上建立等边三角形FDE（命题（命题I.1）.连接连接FC，那么那么FC就是直就是直线线AB在在C点上的垂线点上的垂线.因为因为DC等于等于CE，CF是公共边，边是公共边，边DC、CF与与EC、CF是对应边；是对应边；底边底边DF与底边相等；故三角形与底边相等；故三角形DCF

10、全等于三角形全等于三角形ECF.角角DCF、ECF互为邻角互为邻角.所以角所以角DCF、FCE皆为直角皆为直角.（定义（定义I.10）所以线段所以线段CF垂直于线段垂直于线段AB，并在，并在C点上平分点上平分.所以过一条直线上的一个点可以作该直线的垂线所以过一条直线上的一个点可以作该直线的垂线.证毕证毕 命题命题I.11 过直线上的一点，可以作该直线的垂线过直线上的一点，可以作该直线的垂线.设设AB已知直线，已知直线，C为直线上的点为直线上的点.要求从要求从C点作一条直线垂直于点作一条直线垂直于AB.五、非欧几何的创立五、非欧几何的创立 罗巴切夫斯基认为第五公设不能被证明，把第五公设换成一条新

11、的罗巴切夫斯基认为第五公设不能被证明，把第五公设换成一条新的公设公设“平面内过已知直线外一点至少可以引两条直线与已知直线不相交平面内过已知直线外一点至少可以引两条直线与已知直线不相交”，用公理化方法创建自己的公理体系，提出新的几何学用公理化方法创建自己的公理体系，提出新的几何学 几何学中的哥白尼几何学中的哥白尼1826年年2月月11日在物理数学系会议上宣读了论文平行线理日在物理数学系会议上宣读了论文平行线理论和几何学原理概论及证明论和几何学原理概论及证明1829年发表了几何学原理年发表了几何学原理1835年发表了平行线理论的几何学探讨年发表了平行线理论的几何学探讨.公设公设 I.1 过现点可以

12、作一条直线过现点可以作一条直线.I.2 直线可以向两端无限延伸直线可以向两端无限延伸.I.3 以定点为圆心及定长的线段为半径可以作圆以定点为圆心及定长的线段为半径可以作圆.I.4 凡直角都相等凡直角都相等.罗氏几何罗氏几何罗巴切夫斯基罗巴切夫斯基 I.5 同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在直同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在直线同侧的两个内角之和小于线同侧的两个内角之和小于1800，则这两条直线经无，则这两条直线经无限延长后在这一侧一定相交限延长后在这一侧一定相交.五、非欧几何的创立五、非欧几何的创立在研究和应用公理化过程中产生了非欧几何在研究和应用公理化过程中产生了非欧几何.平行

13、公理不同平行公理不同 欧氏几何：过直线外一点有且只有一条直线与已知欧氏几何：过直线外一点有且只有一条直线与已知 直线平行直线平行.非欧几何非欧几何直线、平面的认识直线、平面的认识 观察下的平面、直线，事实上的直线、平面观察下的平面、直线，事实上的直线、平面.观察下的平面、直线，事实上的曲线和曲面观察下的平面、直线，事实上的曲线和曲面黎曼几何黎曼几何 三角形内角和三角形内角和=1800三角形内角和三角形内角和1800三角形内角和三角形内角和欧式几何欧式几何 数学家们通过非欧几何学的创立，意识到我们在接受欧几里得几何学的证数学家们通过非欧几何学的创立，意识到我们在接受欧几里得几何学的证明时，不知觉

14、地依赖过直观明时，不知觉地依赖过直观.很多数学家开始认真的研究几何学基础以及数概念、分析学、代数学乃至很多数学家开始认真的研究几何学基础以及数概念、分析学、代数学乃至整个数学基础等问题，公理化方法在这些研究中取得了进一步的完善和发展整个数学基础等问题，公理化方法在这些研究中取得了进一步的完善和发展.六、公理化方法的作用六、公理化方法的作用 1.概括整理数学知识概括整理数学知识.原本就是欧几里得用公理化方法把零散的几何原本就是欧几里得用公理化方法把零散的几何知识归为一体，树立了研究数学的典范知识归为一体，树立了研究数学的典范.2.促进新理论的创建促进新理论的创建.非欧几何就是在研究和应用公理非欧

15、几何就是在研究和应用公理 化过程中产生的化过程中产生的.3.对其他学科有示范作用对其他学科有示范作用.由于数学公理化方法表述数学理论的简捷性、由于数学公理化方法表述数学理论的简捷性、条理性、结构的合理性，其他学科纷纷效法，建立了自己的公理化体系条理性、结构的合理性，其他学科纷纷效法，建立了自己的公理化体系.七、作业布置七、作业布置1.细读欧几里得原本的若干定义、公理、公设和命题.2.简述原本在数学史上的意义.3.写一篇有关公理化方法的小论文.教学阐释教学阐释一、教材分析二、学情分析 三、教学目标及重难点四、整体思考五、课程设计 1.1.欧几里得欧几里得 与公理化方法是新人教与公理化方法是新人教

16、A A版高中数学必修第二册第版高中数学必修第二册第八章立体几何初步内容结束后的拓展阅读课八章立体几何初步内容结束后的拓展阅读课.一、教材分析 3.3.公理化方法对概括整理数学知识、促进新理论的创立、对其他学科的示公理化方法对概括整理数学知识、促进新理论的创立、对其他学科的示范都有重要作用，是创建新的体系的一种方法，对学生后续学习、研究有积极范都有重要作用，是创建新的体系的一种方法，对学生后续学习、研究有积极的延伸的延伸.2.2.本课是继学生掌握了立体几何四个基本事实、三个推论、平行和垂直的本课是继学生掌握了立体几何四个基本事实、三个推论、平行和垂直的定理、性质基础上，结合欧几里得原本的内容，从

17、历史发展的角度学习公定理、性质基础上，结合欧几里得原本的内容，从历史发展的角度学习公理化方法理化方法.后续还连接着后续还连接着“文献阅读与数学写作文献阅读与数学写作-几何学的发展几何学的发展”.”.1.学生已经掌握了实数运算性质、初中平面几何、必修第二学生已经掌握了实数运算性质、初中平面几何、必修第二册平面向量等基本内容，对很多额外的知识内容如向量中的册平面向量等基本内容，对很多额外的知识内容如向量中的“外积外积”、代数中的、代数中的“群、环、域群、环、域”等都没有基础等都没有基础.二、学情分析 2.2.学生重点学习了必修第二册第八章立体几何初步中的内容，学生重点学习了必修第二册第八章立体几何

18、初步中的内容，能直观认识和理解空间中点、直线、平面的位置关系，会用数学语能直观认识和理解空间中点、直线、平面的位置关系，会用数学语言表述、证明有关立体几何中平行、垂直等问题言表述、证明有关立体几何中平行、垂直等问题.（一）（二）（三）三、教学目标及重难点教学重点教学重点教学难点教学难点教学目标教学目标（一）教学目标教学目标 1.1.经历两个熟悉命题的证明，分析命题的推理结构，理解公经历两个熟悉命题的证明，分析命题的推理结构，理解公理化方法理化方法.2.2.经历原本第经历原本第I I卷中卷中两两个命题的证明，进一步了解原本个命题的证明，进一步了解原本的内容的内容，加深对公理化方法的理解加深对公理

19、化方法的理解.3.3.通过介绍原本的起源、诞生、意义及非欧几何的创立，通过介绍原本的起源、诞生、意义及非欧几何的创立，了解公理化方法的作用，为后续了解公理化方法的作用，为后续“文献阅读与数学写作文献阅读与数学写作”积累背积累背景知识景知识.（二）教学重点：教学重点：结合欧几里得原本和学生已有的知识掌握公理化方法结合欧几里得原本和学生已有的知识掌握公理化方法.（三）教学难点：公理化方法和非欧几何中的平行公理教学难点：公理化方法和非欧几何中的平行公理.四、整体思考 本节课容量大，涉及很多课外知识，有一定的深度和挑战本节课容量大，涉及很多课外知识，有一定的深度和挑战.如何如何基于学生已有数学知识储备

20、增加学生的活动经验，让学生在亲身经基于学生已有数学知识储备增加学生的活动经验，让学生在亲身经历的活动中深入体会公理化方法的思想是本节课重点思考的问题历的活动中深入体会公理化方法的思想是本节课重点思考的问题.1.1.所用所用命题和定理均取材于教科书命题和定理均取材于教科书，从学生已经熟悉问题引入，主要为了，从学生已经熟悉问题引入，主要为了提取出证明框架，有效地节约了课堂时间，提取出证明框架，有效地节约了课堂时间，也也让学生对公理化方法概念有让学生对公理化方法概念有了经验积累了经验积累.2.2.引入中特地引入中特地选择平行相关的定义和证明命题选择平行相关的定义和证明命题，和后面欧，和后面欧氏氏几何

21、、非欧几何几何、非欧几何中的平行公理形成一体中的平行公理形成一体.（一）（三）五、课程设计课堂引入课堂引入（六）作业布置作业布置（二）（四）（五）公理化方法和原本介绍公理化方法和原本介绍原本第原本第I I卷内容卷内容非欧几何的创立非欧几何的创立公理化方法作用公理化方法作用（一）1.1.从学生熟悉的实数、向量两个体系出发，让学生了解从学生熟悉的实数、向量两个体系出发，让学生了解“为什为什么要学公理化方法么要学公理化方法”、创建什么样的体系更有意义创建什么样的体系更有意义”.课堂引入课堂引入2.2.从书本的一个命题出发，追本溯源回到定义和定理，在实践从书本的一个命题出发，追本溯源回到定义和定理，在

22、实践证明中体会公理化思想证明中体会公理化思想.（二）1.1.根据前面的经验积累自然给出数学公理化方法的内涵，对学根据前面的经验积累自然给出数学公理化方法的内涵，对学生理解相对模糊的生理解相对模糊的“基本概念、公设、公理基本概念、公设、公理”等作必要的解读，等作必要的解读，让学生加深对公理化方法内涵的理解让学生加深对公理化方法内涵的理解.公理化方法和原本介绍公理化方法和原本介绍2 2.学生对原本比较生疏，通过对原本的发展、意义简学生对原本比较生疏，通过对原本的发展、意义简述，拉近学生和原本的距离述，拉近学生和原本的距离；通过对原本的历史起源、通过对原本的历史起源、诞生的介绍，拓宽知识面，渗透数学

23、文化诞生的介绍，拓宽知识面，渗透数学文化.（三）原本原本第第I I卷卷内容介绍内容介绍1.1.通过第通过第I I卷中三个命题的学习，让学生理解原本中一系列命卷中三个命题的学习，让学生理解原本中一系列命题的推理结构，渗透公理化方法题的推理结构，渗透公理化方法.2.2.鉴于学生对第一卷中的定义、公理、公设不熟悉，且量较大，短鉴于学生对第一卷中的定义、公理、公设不熟悉，且量较大，短时间无法细读运用，故选取了学生知识范围内能证明的命题时间无法细读运用，故选取了学生知识范围内能证明的命题I.1 I.1 和和I.3I.3，重点提取它们的推理结构，理解公理化方法的具体运用，重点提取它们的推理结构，理解公理化

24、方法的具体运用.（四）非欧几何的创立非欧几何的创立1.1.第五公设第五公设.2.2.剖析欧式几何和非欧几何剖析欧式几何和非欧几何.3.3.建立一个粗略的模型解释黎曼几何中直线、平行公理建立一个粗略的模型解释黎曼几何中直线、平行公理帮助学生理帮助学生理解解.通过介绍非欧几何的创立，渗透公理化方法的作用通过介绍非欧几何的创立，渗透公理化方法的作用.通过介绍非欧几何中一些浅显易懂的内容，拓宽、丰富通过介绍非欧几何中一些浅显易懂的内容，拓宽、丰富学生的数学知识；同时通过主要人物、主要成果的介绍，拓学生的数学知识；同时通过主要人物、主要成果的介绍，拓展数学文化展数学文化.（五）公理化方法的作用公理化方法

25、的作用1.1.概括整理数学知识概括整理数学知识.2.2.促进新理论的创建促进新理论的创建.3.3.对其他的学科有示范作用对其他的学科有示范作用.（六）作业布置作业布置1.1.细读欧几里得原本的若干定义、公理、公设和命题细读欧几里得原本的若干定义、公理、公设和命题.2.2.结合结合“文献阅读与数学写作文献阅读与数学写作”，写一篇有关几何学的发展或者公，写一篇有关几何学的发展或者公理化方法的小论文理化方法的小论文.了解欧式几何的发展以及对数学和人类文明的贡献，布置开了解欧式几何的发展以及对数学和人类文明的贡献，布置开放性作业激发学生学习兴趣，并且通过阅读书籍、请教老师、放性作业激发学生学习兴趣，并且通过阅读书籍、请教老师、上网收集等过程性学习提升学生综合素养上网收集等过程性学习提升学生综合素养.谢谢！谢谢！