高中数学文化讲座数学社团课程第四讲—印度数学与阿拉伯数学课件.pptx

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1、印度数学与阿拉伯数学Three passions,simple but overwhelmingly strong,have governed my life:the longing for love,the search for knowledge,and unbearable pity for the suffering of mankind.吠陀时期（公元前吠陀时期（公元前1010前前3 3世纪）世纪）吠吠陀陀（梵梵文文，意意为为知知识识、光光明明）是是印印度度雅雅利利安安人人的的作作品品，成成书书于于公公元元前前1515前前5 5世世纪纪，历历时时10001000年左右，婆罗门教的经典

2、。年左右，婆罗门教的经典。绳绳法法经经（前前8 8前前2 2世世纪纪）是是吠吠陀陀中中关关于于庙庙宇宇、祭祭坛坛的的设设计计与与测测量量的的部部分分。包包含含几几何何、代代数数知识，如毕达哥拉斯定理、圆周率的近似值等。知识，如毕达哥拉斯定理、圆周率的近似值等。吠陀手稿（毛里求斯，1980）l 印度雅利安人的作品，绳法经出现在吠陀时代，包含毕达哥拉斯定理等数学知识 18811881年发现的书写在桦树皮上的年发现的书写在桦树皮上的“巴克沙利巴克沙利手稿手稿”（巴克沙利当时和古代大部分时间属于印（巴克沙利当时和古代大部分时间属于印度，今天位于巴基斯坦西北部距离白沙瓦约度，今天位于巴基斯坦西北部距离白

3、沙瓦约8080公公里处的一座村庄），其数学内容十分丰富，涉及里处的一座村庄），其数学内容十分丰富，涉及到分数、平方根、数列、收支与利润计算、比例到分数、平方根、数列、收支与利润计算、比例算法、级数求和、代数方程等，出现了完整的十算法、级数求和、代数方程等，出现了完整的十进制数码，其中有进制数码，其中有“”（点）表示（点）表示0 0，后来逐渐演，后来逐渐演变为现在通用的变为现在通用的“0 0”。巴克沙利手稿出现了完整的十进制数字瓜廖尔石碑记有明白无疑的数字“0”，用圆圈符号“0”表示零，可以说是印度数学的一大发明。阿耶波多（公元阿耶波多（公元476476约约550550年）年）印度的科学史上有重

4、要的影响的人物，最早印度的科学史上有重要的影响的人物，最早的印度数学家，的印度数学家，499499年天文学著作年天文学著作阿耶波多历数阿耶波多历数书书传世，最突出之处在于对希腊三角学的改进传世，最突出之处在于对希腊三角学的改进,制作正弦表和一次不定方程的解法。制作正弦表和一次不定方程的解法。阿耶波多获得了阿耶波多获得了的近似值的近似值3.14163.1416，建立了丢，建立了丢番图方程求解的番图方程求解的“库塔卡库塔卡”法。法。l 最早的印度数学家：阿耶波多（476约550年）l 499年阿耶波多历书“阿耶波多号”人造卫星（印度，1975）l 的近似值3.1416婆罗摩笈多（婆罗摩笈多（598

5、598约约665665年）年）婆多摩笈多在乌贾因天文台婆多摩笈多在乌贾因天文台工作，在望远镜出现之前，工作，在望远镜出现之前，它是东方最古老的天文台。它是东方最古老的天文台。628628年发表天文学著作年发表天文学著作婆罗摩修正体系婆罗摩修正体系，这是，这是一部有一部有2121章的天文学著作，其中第章的天文学著作，其中第1212、1818章讲的是章讲的是数学，分数成就十分可贵，比较完整地叙述了零的数学，分数成就十分可贵，比较完整地叙述了零的运算法则，丢番图方程求解的运算法则，丢番图方程求解的“瓦格布拉蒂瓦格布拉蒂”法。法。婆什迦罗（婆什迦罗（1114111411881188年）年）印度古代和中

6、世纪最伟大的数学家、天文学家，印度古代和中世纪最伟大的数学家、天文学家，出生于印度的比德尔，成年后来到乌贾因天文出生于印度的比德尔，成年后来到乌贾因天文台工作，成为婆多摩笈多的继承者，后来还做台工作，成为婆多摩笈多的继承者，后来还做了这家天文台的台长。了这家天文台的台长。古印度数学最高成就古印度数学最高成就天文系统之冠天文系统之冠，其中，其中有两部婆什迦罗的重要数学著作有两部婆什迦罗的重要数学著作算法本源算法本源、莉拉沃蒂莉拉沃蒂。由于印度屡被其他民族征服，使印度古代天文学和数由于印度屡被其他民族征服，使印度古代天文学和数学受外来文化影响较深，但印度数学始终保持东方数学以学受外来文化影响较深，

7、但印度数学始终保持东方数学以计算为中心计算为中心的实用化特点。的实用化特点。现代初等算术运算方法的发展，现代初等算术运算方法的发展，起始于印度，后被阿起始于印度，后被阿拉伯人采用拉伯人采用，后来传到欧洲，在那里它们被改造成现在的，后来传到欧洲，在那里它们被改造成现在的形式。形式。与算术和代数相比，印度人在几何方面的工作则显得与算术和代数相比，印度人在几何方面的工作则显得薄弱。他们的著作含糊而神秘，且多半是经验的，很少给薄弱。他们的著作含糊而神秘，且多半是经验的，很少给出推导和证明。出推导和证明。阿拉伯数学 9 91515世纪阿拉伯科学繁荣了世纪阿拉伯科学繁荣了600600年，创立了文年，创立了

8、文化中心巴格达。公元化中心巴格达。公元830830年，在巴格达建造了智慧年，在巴格达建造了智慧宫，这里面有巨大的图书馆、观象台、研究院，是宫，这里面有巨大的图书馆、观象台、研究院，是一个集图书馆、科学院和翻译局于一体的联合机构，一个集图书馆、科学院和翻译局于一体的联合机构，掀起了著名的翻译运动，包括掀起了著名的翻译运动，包括原本原本、圆锥曲圆锥曲线线和和天文学大成天文学大成等在内的希腊天文、数学经等在内的希腊天文、数学经典先后被译成了阿拉伯文，很快它就成为世界的学典先后被译成了阿拉伯文，很快它就成为世界的学术中心。术中心。早期阿拉伯数学（早期阿拉伯数学（8 8世纪中叶世纪中叶9 9世纪）世纪）

9、花拉子米，花拉子米，813813年来到巴格达，年来到巴格达，后成为智慧宫的领头学者。后成为智慧宫的领头学者。820820年出版年出版还原与对消概要还原与对消概要，以其逻辑严密、系统性强、被奉以其逻辑严密、系统性强、被奉为为“代数教科书的鼻祖代数教科书的鼻祖”。11401140年年被被罗罗伯伯特特（英英）译译成成拉拉丁丁文文传传入入欧欧洲洲，成成为为欧欧洲洲延延用用几几个个世世纪纪标标准准的的代代数数学学教教科科书书，这这也也使使得得花花拉拉子子米米成成为为中中世世纪纪对对欧欧洲洲数数学学影影响响最最大大的的阿阿拉拉伯伯数学家，这对东方数学家来说十分罕见。数学家，这对东方数学家来说十分罕见。正如

10、埃及人发明了几何学，阿拉伯人命名了代数学。正如埃及人发明了几何学，阿拉伯人命名了代数学。代数学代数学所讨论的数学问题本身比较简单，但它探所讨论的数学问题本身比较简单，但它探讨了一般性解法，因而更接近于近代初等代数。讨了一般性解法，因而更接近于近代初等代数。花拉子米的另一本书花拉子米的另一本书印度计算法印度计算法，系统介绍，系统介绍了印度数码和十进制记数法，了印度数码和十进制记数法，1212世纪，这本书便传入世纪，这本书便传入欧洲并广为传播，所以欧洲一直称这种数码为阿拉伯欧洲并广为传播，所以欧洲一直称这种数码为阿拉伯数码。用较少的符号，最方便地表示一切数和运算，数码。用较少的符号，最方便地表示一

11、切数和运算，给数学的发展带来很大的方便，是一一项卓越的伟大给数学的发展带来很大的方便，是一一项卓越的伟大贡献。贡献。后期阿拉伯数学（后期阿拉伯数学（13131515世纪）世纪）纳西尔丁纳西尔丁图西（图西（1201120112741274年）年）最重要的数学著作最重要的数学著作论完全四边形论完全四边形是流传至今最早的三角学专著。是流传至今最早的三角学专著。在此以前，三角学知识只出现于天文学的论著在此以前，三角学知识只出现于天文学的论著中，是附属于天文学的一种计算方法，纳西尔丁的中，是附属于天文学的一种计算方法，纳西尔丁的工作使得三角学成为纯粹数学的一个独立分支，对工作使得三角学成为纯粹数学的一个

12、独立分支，对1515世纪欧洲三角学的发展起重要的作用。正是在这世纪欧洲三角学的发展起重要的作用。正是在这部书里，首次陈述了著名的正弦定理。部书里，首次陈述了著名的正弦定理。与希腊人三角术的几何性质相比，阿拉伯人的三角术与印度人一样是算术性的例如由正弦值求余弦值时，他们利用恒等式作代数运算而求解，而不是利用几何关系来推算，这是一种进步 阿拉伯人在几何方面的工作主要是对希腊几何的翻译与保存，并传给了欧洲，但希腊几何学对阿拉伯数学的严格性也产生一定的作用，并激发出思想的火花三、高速的印度数学印度数学被美国人誉为“速算数学”，它最大的特点就是速度快，快得益于其简便巧妙的运算方法。印度数学第一式印度数学

13、第一式：任意数和任意数和1111相乘相乘解法步骤：解法步骤：1 1、把和、把和1111相乘的数的首位和末位数字拆开，中间留出若干空位；相乘的数的首位和末位数字拆开，中间留出若干空位；2 2、把这个数各个数位上的数字依次相加；、把这个数各个数位上的数字依次相加；3 3、把步骤、把步骤2 2求出的和依次填写在步骤求出的和依次填写在步骤1 1留出的空位上。留出的空位上。例例1 1：1211=1211=？印度数学第二式：个位是印度数学第二式：个位是5 5的两位数乘方运算的两位数乘方运算解法步骤：解法步骤：1 1、十位上的数字乘以比它大一的数；、十位上的数字乘以比它大一的数；2 2、在上一步得数后面紧接

14、着写上、在上一步得数后面紧接着写上2525。例：1515=？印度数学第三式：十位数相同，个位数相加得印度数学第三式：十位数相同，个位数相加得1010的两位数乘法的两位数乘法解法步骤：解法步骤：1 1、十位上的数字乘以比它大、十位上的数字乘以比它大1 1的数；的数；2 2、个位数相乘；、个位数相乘；3 3、将步骤、将步骤2 2的得数直接写在步骤的得数直接写在步骤1 1的得数后面。的得数后面。例1：6367=？印度数学第四式：十位数相同，个位数任意的两印度数学第四式：十位数相同，个位数任意的两位数乘法位数乘法解法步骤：解法步骤：1 1、被乘数加上乘数个位上的数字之和乘以十位、被乘数加上乘数个位上的

15、数字之和乘以十位的整十数（的整十数（119119段的就乘以段的就乘以1010，21292129段的就乘段的就乘以以2020）；）；2 2、个位数相乘；、个位数相乘；3 3、将前两步得数相加。、将前两步得数相加。例：1517=？印度数学第五式：十位数相同，个位数任意的印度数学第五式：十位数相同，个位数任意的两位数乘法两位数乘法解法步骤：解法步骤：1 1、两个数十位的整十数相乘；、两个数十位的整十数相乘；2 2、个位数相加的和乘以十位的整十数；、个位数相加的和乘以十位的整十数；3 3、个位数相乘；、个位数相乘；4 4、把前三步的得数相加。、把前三步的得数相加。例：1517=？印度数学第六式：印度数

16、学第六式：100110100110之间的整数乘法之间的整数乘法解法步骤：解法步骤：1 1、被乘数加上乘数个位上的数字；、被乘数加上乘数个位上的数字；2 2、个位上的数字相乘；、个位上的数字相乘；3 3、将步骤、将步骤2 2的得数直接写在步骤的得数直接写在步骤1 1的得数后面。的得数后面。例：105109=？印度数学第七式：需要进位的加法运算印度数学第七式：需要进位的加法运算解法步骤：解法步骤：1 1、两个加数中更接近整十、整百、整千诸如此类、两个加数中更接近整十、整百、整千诸如此类的那个加上它的补数；的那个加上它的补数；2 2、从另一个加数中减去这个补数；、从另一个加数中减去这个补数；3 3、

17、前两步的得数相加。、前两步的得数相加。例：28+53=？印度数学第八式：需要借位的减法运算印度数学第八式：需要借位的减法运算解法步骤：解法步骤：1 1、将被减数分解成两部分：整十、整百、整、将被减数分解成两部分：整十、整百、整千（小于被减数）和余下的数；千（小于被减数）和余下的数；2 2、将减数分解成两部分：整十、整百、整千、将减数分解成两部分：整十、整百、整千（大于被减数）和补数；（大于被减数）和补数；3 3、将前两步中的整十、整百、整千数相减，、将前两步中的整十、整百、整千数相减，将余下的数和补数相加；将余下的数和补数相加；4 4、将步骤、将步骤3 3中的两个结果相加。中的两个结果相加。例

18、：113-59=？印度数学第九式：被乘数和乘数中间存在整十、整印度数学第九式：被乘数和乘数中间存在整十、整百或整千数的乘法运算百或整千数的乘法运算解法步骤：解法步骤：1 1、找到被乘数和乘数中间的中间数、找到被乘数和乘数中间的中间数也就数那也就数那个整十、整百或整千数，并将这个中间数乘二次方；个整十、整百或整千数，并将这个中间数乘二次方；2 2、求被乘数（或乘数）与中间数的差，并将其乘、求被乘数（或乘数）与中间数的差，并将其乘二次方；二次方；3 3、用步骤、用步骤1 1的得数减去步骤的得数减去步骤2 2的得数。的得数。例：1723=？印度数学第十式：至少有一个乘数接近印度数学第十式：至少有一个

19、乘数接近100100的两位的两位数乘法数乘法解法步骤：解法步骤：1 1、以、以100100为基数，分别找到被乘数和乘数的补数；为基数，分别找到被乘数和乘数的补数；2 2、用被乘数减去乘数的补数（或者乘数减去被乘、用被乘数减去乘数的补数（或者乘数减去被乘数的补数）把差写下来；数的补数）把差写下来；3 3、两个补数相乘；、两个补数相乘；4 4、将步骤、将步骤3 3的得数直接写在步骤的得数直接写在步骤2 2的得数后面。的得数后面。印度数学第十一式：个位是印度数学第十一式：个位是5 5的数和偶数相乘的数和偶数相乘解法步骤：解法步骤：1 1、偶数除以、偶数除以2 2或或4 4或或8 8；2 2、个位是、

20、个位是5 5的数相应地乘以的数相应地乘以2 2或或4 4或或8 8；3 3、将前两步的结果相乘。、将前两步的结果相乘。例：2215=？印度数学第十二式：除数是两位，非整十数的除法印度数学第十二式：除数是两位，非整十数的除法解法步骤：解法步骤：1 1、将除数分解成整十数和补数；、将除数分解成整十数和补数；2 2、计算被除数除以整十数；、计算被除数除以整十数；3 3、步骤、步骤2 2求得的商乘以补数再加上上一步余数作为求得的商乘以补数再加上上一步余数作为下一步的被除数，这一过程不断交替，直至得出足下一步的被除数，这一过程不断交替，直至得出足够小的被除数；够小的被除数；4 4、新被除数除以原除数；、

21、新被除数除以原除数；5 5、将商一栏相同数位上的得数相加，不同数位的得、将商一栏相同数位上的得数相加，不同数位的得数顺次排列。数顺次排列。例：5413=？印度数学第十三式：在格子中做加法印度数学第十三式：在格子中做加法解法步骤：解法步骤：1、画好格子，填入加数；、画好格子，填入加数；2、从高位向低位依次将两个加数相同位数上的、从高位向低位依次将两个加数相同位数上的数字相加，答案写在交叉格子内，交叉格子里的数字相加，答案写在交叉格子内，交叉格子里的数字满十，须向前位进数字满十，须向前位进1；3、从高位向低位依次将各个数位上的数字和依、从高位向低位依次将各个数位上的数字和依次相加。次相加。例：35

22、+26=？印度数学第十四式：三角格子里的乘法运算印度数学第十四式：三角格子里的乘法运算解法步骤：解法步骤：1、画好格子，填入加数；、画好格子，填入加数；2、从高位向低位依次将两个乘数各个数位上的数、从高位向低位依次将两个乘数各个数位上的数字相乘，每个三角空格只填一个数字，十位数字在字相乘，每个三角空格只填一个数字，十位数字在上，各位数字在下；上，各位数字在下；3、把填入三角空格的数字斜向相加，和就是最终、把填入三角空格的数字斜向相加，和就是最终结果。结果。例：5425=？印度数学第十五式：三角格子里的乘法运算印度数学第十五式：三角格子里的乘法运算解法步骤：解法步骤：1 1、沿从左上到右下的方向，画若干组线段依次表、沿从左上到右下的方向，画若干组线段依次表示被乘数从高位到地位上的数字；示被乘数从高位到地位上的数字；2 2、沿从左下到右上的方向，画若干组线段依次表、沿从左下到右上的方向，画若干组线段依次表示被乘数从高位到地位上的数字；示被乘数从高位到地位上的数字；3 3、从从左往右数每一竖列上接点的个数，它们各、从从左往右数每一竖列上接点的个数，它们各自代表着乘积的一个数位，连在一起就是最终答案。自代表着乘积的一个数位，连在一起就是最终答案。例：1231=？