【高中数学】二项分布与超几何分布（课件） 高二数学同步课堂（人教A版2019选择性必修第三册）.pptx

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1、7.4二项分布与超几何分布（含2个课时）第7章 随机变量及其分布投掷一枚硬币，设正面向上的概率为p，连续投掷3次，则3次都出现正面向上的概率为多少？分析：设Ai=”第i次正面朝上“(i=0,1,2,3)B3=”3次都正面朝上”，则B3=A1A2A3.连续投掷3次硬币，每次结果相互独立，因此事件A1,A2,A3相互独立.则P(B3)=P(A1A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3).问题引入投掷一枚硬币，设正面向上的概率为p，连续投掷3次，则只出现1次正面向上的概率为多少？分析：设Ai=”第i次正面朝上“(i=0,1,2,3)探究新知投掷一枚硬币，设正面向上的概率为p，连续投掷3次，出现k(k

2、=0,1,2,3)次正面向上的概率为多少？分析：设Ai=”第i次正面朝上“(i=0,1,2,3)Bk=”出现k次正面朝上”，则探究新知思考：上述问题求解概率有何规律？若用随机变量X表示连续投掷一枚硬币3次，出现正面朝上的次数，则拓展：若用随机变量X表示连续投掷一枚硬币n次，出现正面朝上的次数，则探究新知把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验.伯努利试验n重伯努利试验的特征：将一次伯努利试验独立的重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验.1、同一个伯努利试验重复做n次；2、各次试验的结果相互独立.探究新知思考：下面3个随机试验是否为n重伯努利试验?如果是，那么其中的伯努利试验是什么?对于

3、每个试验，定义“成功”的事件为A，那么A的概率是多大？重复试验的次数是多少?(1)抛掷一枚质地均匀的硬币10次.(2)某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8,连续射击3次.(3)一批产品的次品率为5%,有放回地随机抽取20件.探究新知随机试验是否是n重伯努利试验伯努利试验P(A)重复试验的次数(1)是抛掷一枚质地均匀的硬币1/210(2)是某飞碟运动员进行射击0.83(3)是从一批产品中随机抽取一件0.0520在伯努利试验中，我们关注某个事件A是否发生.而在n重伯努利试验中,我们关注事件A发生的次数X.进一步，因为X是一个离散型随机变量，所以我们实际关心的是X的分布列.探究新知探究：某飞碟运动

4、员每次射击中靶的概率为0.8.连续3次射击，中靶次数X的概率分布列是怎样的？用Ai表示“第i次射击中靶”(i=1，2，3)，用如下图的树状图表示试验的可能结果：探究新知试验结果X的值32212110探究新知由分步乘法计数原理，3次独立重复试验共有23=8种可能结果，它们两两互斥，每个结果都是3个相互独立事件的积，由概率的加法公式和乘法公式得：中靶次数X的分布列为：探究新知思考:如果连续射击4次，类比上面的分析，表示中靶次数X等于2的结果有哪些?写出中靶次数X的分布列.表示中靶次数X等于2的结果中靶次数X的分布列探究新知二项分布一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0p1

5、)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作XB(n,p)由二项式定理可知，探究新知二项分布的判断1、在一次试验中，事件A发生与不发生二者必居其一2、事件A在每次的试验中发生的概率相同3、试验重复的进行了n（n2）次，且每次试验结果相互独立，互不影响探究新知例1：将一枚质地均匀的硬币重复抛掷10次，求：（1）恰好出现5次正面朝上的概率（2）正面朝上出现的频率在0.4，0.6内的概率典型例题例2：如图是一块高尔顿板的示意图，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻

6、璃，将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为0，1，2，.，10，用X表示小球最后落入格子的号码，求X的分布列。典型例题典型例题确定二项分布模型的步骤：1、明确伯努利试验及事件A的意义，确定事件A发生的概率p；2、明确重复试验的次数n，并判断各次试验的独立性；3、设X为n次独立重复试验中事件A发生的次数，则XB(n,p)探究新知思考：假设随机变量X服从二项分布XB(n,p)，则X的均值和方差各是什么？分析：（1）当n=1时，X服从两点分布，分布列为：P(X=0)=1-p，P(X=1)=p均值和方差分别为E(X)=

7、p，D(X)=p(1-p)（2）当n=2时，X的分布列为：P(X=0)=(1-p)2，P(X=1)=2p(1-p)，P(X=2)=p2，均值和方差分别为：E(X)=0 x(1-p)2+1x2p(1-p)+2xp2=2pD(X)=02x(1-p)2+12x2p(1-p)+22xp2-(2p)2=2p(1-p)一般地，如果XB(n,p)，那么E(X)=np，D(X)=np(1-p)探究新知探究点一n重伯努利试验概率的求法【例1】甲、乙两人各射击一次,击中目标的概率分别是,假设每次射击是否击中目标,相互之间没有影响.(结果需用分数作答)(1)求甲射击3次,至少有1次未击中目标的概率;(2)若两人各射

8、击2次,求甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标1次的概率.探究新知探究新知变式探究1在本例(2)的条件下,求甲、乙均击中目标1次的概率.探究新知变式探究2在本例(2)的条件下,求甲未击中,乙击中2次的概率.探究新知规律方法n重伯努利试验概率求法的三个步骤(1)判断:依据n重伯努利试验的特征,判断所给试验是不是n重伯努利试验.(2)分拆:将复杂事件表示成若干个互斥事件的并.(3)计算:就每个事件依据n重伯努利试验的概率公式求解,最后利用互斥事件概率加法公式计算.探究新知变式训练1某气象站天气预报的准确率为80%,计算:(1)“5次预报中恰有2次准确”的概率;(2)“5次预报中至少有2次准确”的概率

9、.解(1)5次预报相当于5次伯努利试验.“恰有2次准确”的概率为因此5次预报中恰有2次准确的概率为0.0512.探究新知(2)“5次预报中至少有2次准确”的对立事件为“5次预报全部不准确或只有1次准确”.所以所求概率为1-P=1-0.00672=0.99328.所以“5次预报中至少有2次准确”的概率为0.99328.探究新知探究点二两点分布与二项分布【例2】某运动员投篮命中率为p=0.6.(1)求投篮1次时命中次数X的均值;(2)求重复5次投篮时,命中次数Y的均值.解(1)投篮1次,命中次数X的分布列如下表.X01P0.40.6则E(X)=0.6.(2)由题意,重复5次投篮,命中的次数Y服从二

10、项分布,即YB(5,0.6),则E(Y)=50.6=3.探究新知规律方法常见的两种分布的均值设p为一次试验中成功的概率,则(1)两点分布E(X)=p;(2)二项分布E(X)=np.熟练应用上述公式可大大减少运算量,提高解题速度.探究新知变式训练2(2022重庆期末)某射击队对9位运动员进行射击测试,每位运动员进行3次射击,至少命中2次则通过测试,已知每位运动员每次射击命中的概率均为,各次射击是否命中相互独立,且每位运动员本次测试是否通过相互独立,设9位运动员中有X人通过本次测试,则E(X)=.探究新知探究点三二项分布的应用【例3】高二(1)班的一个研究性学习小组在网上查知,某珍稀植物种子在一定

11、条件下发芽成功的概率为,该研究性学习小组又分成两个小组进行验证性试验.(1)第一小组做了5次这种植物种子的发芽试验(每次均种下一粒种子),求他们的试验中至少有3次发芽成功的概率.(2)第二小组做了若干次发芽试验(每次均种下一粒种子),如果在一次试验中种子发芽成功就停止试验,否则将继续进行下次试验,直到种子发芽成功为止,但试验的次数最多不超过5次.求第二小组所做种子发芽试验的次数的分布列.探究新知解(1)至少有3次发芽成功,即有3次、4次、5次发芽成功.设5次试验中种子发芽成功的次数为随机变量X,探究新知探究新知所以的分布列为探究新知规律方法1.二项分布的简单应用是求n重伯努利试验中事件A恰好发

12、生k次的概率.解题的一般思路是:根据题意设出随机变量分析出随机变量服从二项分布找到参数n,p写出二项分布的分布列将k值代入求解概率.2.利用二项分布求解“至少”“至多”问题的概率,其实质是求在某一取值范围内的概率,一般转化为几个互斥事件发生的概率的和,或者利用对立事件求概率.探究新知变式训练3在一次抗洪抢险中,相关人员准备用射击的办法引爆从上游漂流而下的一个巨大汽油罐,已知只有5发子弹,第一次命中只能使汽油流出,第二次命中才能引爆,每次射击是相互独立的,且命中的概率都是.(1)求油罐被引爆的概率;(2)如果引爆或子弹打光则停止射击,设射击次数为X,求X不小于4的概率.探究新知探究新知7.4.2

13、 超几何分布第7章 随机变量及其分布教师xxx探究新知超几何分布的概念理解超几何分布应注意的问题（1）超几何分布是概率分布的一种形式，一定要注意公式中字母的范围及其意义，N总体中的个体总数，M总体中的特殊个体总数（如次品总数），n样本容量，k样本中的特殊个体数（如次品数）.求分布列时可以直接利用组合数的意义列式计算，不必机械地记忆这个概率分布列.（2）超几何分布中，“任取n件，恰有z件次品”，是一次性抽取，不可理解成n次抽取，因此求概率用组合数列式，要熟练掌握组合数的性质及计算方法，以便简化计算.（3）超几何分布中，各对应项的概率和必须为1，可以由此验证分布列是否出错.探究新知超几何分布的均值

14、探究新知超几何分布与二项分布的关系二项分布和超几何分布都可以描述随机抽取的n件产品中次品数的分布规律，并且二者的均值相同.对于不放回抽样，当n远远小于N时，每抽取一次后，对N的影响很小，此时，超几何分布可以用二项分布近似.探究新知探究点一超几何分布概率公式的应用【例1】从放有10个红球与15个白球的暗箱中,随机摸出5个球,规定取到一个白球得1分,一个红球得2分,求某人摸出5个球,恰好得7分的概率.解设摸出的红球个数为X,则X服从超几何分布,其中N=25,M=10,n=5,由于摸出5个球,得7分,仅有恰好摸出两个红球、三个白球一种可能情况,那么探究新知规律方法1.解答此类问题的关键是先分析随机变

15、量是否满足超几何分布.2.注意公式中M,N,n的含义.探究新知变式训练1在30瓶饮料中,有3瓶已过了保质期.从这30瓶饮料中任取2瓶,则至少取到1瓶已过了保质期饮料的概率为.(结果用最简分数表示)解析从这30瓶饮料中任取2瓶,设至少取到1瓶已过了保质期饮料为事件A,探究新知探究点二超几何分布【例2】一个袋中装有6个形状、大小完全相同的小球,其中红球有3个,编号为1,2,3;黑球有2个,编号为1,2;白球有1个,编号为1.现从袋中一次随机抽取3个球.(1)求取出的3个球的颜色都不相同的概率;(2)记取得1号球的个数为随机变量X,求随机变量X的分布列.探究新知探究新知变式探究在本例条件下,若记取到

16、白球的个数为随机变量,求随机变量的分布列.解由题意可知=0,1,服从两点分布.探究新知规律方法超几何分布的求解步骤(1)辨模型:结合实际情境分析所求概率分布问题是否能转化为超几何分布模型.(2)算概率:可以直接借助公式P(X=k)=求解,也可以利用排列、组合及概率的知识求解,需注意借助公式求解时应理解参数M,N,n,k的含义.(3)列分布列:把求得的概率值通过表格表示出来.探究新知探究点三二项分布与超几何分布的区别与联系【例3】某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况,随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的质量(单位:克),质量的分组区间为(490,495,(495,500,(5

17、10,515,由此得到样本的频率分布直方图如图.(1)根据频率分布直方图,求质量超过505克的产品数量;(2)在上述抽取的40件产品中任取2件,设X为质量超过505克的产品数量,求X的分布列,并求其均值;(3)从该流水线上任取2件产品,设Y为质量超过505克的产品数量,求Y的分布列.探究新知解(1)质量超过505克的产品的频率为50.05+50.01=0.3,所以质量超过505克的产品数量为400.3=12(件).(2)质量超过505克的产品数量为12件,则质量未超过505克的产品数量为28件,X的可能取值为0,1,2,X服从超几何分布.探究新知X的分布列为探究新知探究新知探究新知规律方法不放回抽样服从超几何分布,放回抽样服从二项分布,求均值可利用公式代入计算.探究新知变式训练2在10件产品中有2件次品,连续抽3次,每次抽1件,求:(1)不放回抽样时,抽取次品数X的均值;(2)放回抽样时,抽取次品数Y的均值与方差.解(1)(方法一)由题意知X的可能取值为0,1,2.探究新知随机变量X的分布列为探究新知探究新知