东北大学数值分析总复习+习题.ppt

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1、总总 复复 习习一、绪论一、绪论 1.掌握绝对误差、绝对误差限、相对误差、相对误差限及有效数字的概念。掌握误差限和有效数字之间的关系。会计算误差限和有效数字。2.了解数值计算中应注意的一些问题.一般地,凡是由精确值经过四舍五入得到的近似值,其绝对误差限等于该近似值末位的半个单位。定义定义1 1 设数x是数x*的近似值，如果x的绝对误差限是它的某一数位的半个单位，并且从x左起第一个非零数字到该数位共有n位，则称这n个数字为x的有效数字有效数字，也 称用x近似x*时具有具有n n位有效数字位有效数字。二、解线性方程组的直接法二、解线性方程组的直接法 1.了解Gauss消元法的基本思想,知道适用范围

2、 2.掌握矩阵的直接三角分解法。顺序Gauss消元法:矩阵A A的各阶顺序主子式都不为零.主元Gauss消元法:矩阵A A的行列式不为零.定理定理 设n阶方阵A的各阶顺序主子式不为零,则存在唯一单位下三角矩阵L和上三角矩阵U使A=LU.会对矩阵进行Doolittle分解(LU)、LDM分解、Crout分解(TM)及Cholesky分解(GGT)。了解它们之间的关系。熟练掌握用三角分解法求方程组的解。了解平方根法和追赶法的思想。3.了解向量和矩阵的范数的定义,会判定范数(三要素非负性、齐次性、三角不等式);会计算几个常用的向量和矩阵的范数；了解范数的等价性和向量矩阵极限的概念。4.了解方程组的性

3、态，会计算简单矩阵的条件数。三、解线性方程组的迭代法三、解线性方程组的迭代法 1.会建立J-法、G-S法、SOR法的迭代格式；会判定迭代方法的收敛性。（1）迭代法收敛迭代矩阵谱半径小于1.（2）迭代法收敛的充分条件是迭代矩阵的范数小于1.（3）A严格对角占优,则J法,GS法,SOR法(01)收敛.（4）A对称正定,则GS法,SOR法(02)收敛.2.掌握并会应用迭代法的误差估计式。四、解非线性方程的迭代法四、解非线性方程的迭代法 1.了解二分法的思想,误差估计式|xk-|2-(k+1)(b-a).2.会建立简单迭代法迭代格式；会判定迭代方法的收敛性。定理定理 若(x)为I上的压缩映射,则对任何

4、x0I,迭代格式xk+1=(xk)均收敛于(x)在I上的唯一不动点.推论推论 若1.a(x)b;2.|(x)|L1,xa,b.则xk+1=(xk),x0a,b都收敛于方程的唯一根.3.了解迭代法收敛阶的概念,会求迭代法收敛的阶.了解Aitken加速技巧.4.会建立Newton迭代格式；知道Newton迭代法的优缺点.了解Newton迭代法的变形.(1)xkp阶收敛于是指:推论推论 若(x)在附近具有一阶连续导数,且|()|1,则对充分接近的初值x0,迭代法xk+1=(xk)收敛.(2)若()0,则迭代法线性收敛.局部平方收敛.五、矩阵特征值问题五、矩阵特征值问题 1.了解Gerschgorin

5、圆盘定理,会估计特征值.1.了解差商的概念和性质.2.了解乘幂法、反幂法的思想及加速技巧.3.了解Jacobi方法的思想以及平面旋转矩阵的构造.六、插值与逼近六、插值与逼近 Lagrange、Newton、Hermite插值多项式；基函数法及待定系数法。2.会建立插值多项式并导出插值余项.3.了解分段插值及三次样条插值的概念及构造思想。4.了解正交多项式的概念，会求简单的正交多项式。1.了解求积公式的一般形式及插值型求积公式的构造.掌握梯形公式和Simpson公式及其误差。5.掌握最小二乘法的思想，会求拟合曲线及最佳均方误差.2.掌握求积公式的代数精度的概念，会用待定系数法确定求积公式。七、数

6、值积分七、数值积分 3.了解复化求积公式的思想和Romberg公式的构造。5.了解微分公式建立形式，会求简单的微分公式。4.了解Gauss公式的概念，会建立简单的Gauss公式。1.了解构造数值解法的基本思想及概念。八、常微分方程数值解法八、常微分方程数值解法 2.掌握差分公式局部截断误差和阶的概念，会求差分公式的局部截断误差。3.会判断单步方法的收敛性和稳定性，求稳定区间。一、填空题（每空3分,共30分)考试题解析考试题解析 解解 由于得特征值:又A-1=2.设矩阵A=,当a取_值时,A可以唯一分解为GGT,其中G为下三角矩阵.1.设矩阵A=,则(A)=_,Cond(A)1=_.,所以A1=

7、5,A-11=5/7.解解 令 解 只要取(x)=x3-a,或(x)=1-x3/a.5.设(x)=x3+x2-3,则差商3,32,33,34=_.3.向量x x=(x1,x2,x3)T,试问|x1|+|2x2|+|x3|是不是一种向量范数_,而|x1|+|2x2+x3|是不是一种向量范数_.是 不是 4.求 的Newton迭代格式为_.1 6.设l0(x),l1(x),l2(x),l3(x)是以x0,x1,x2,x3为互异节点的三次插值基函数,则 =_.(x-2)3 7.设S(x)=是以0,1,2为节 解解(1)因为0 x1时,(x)0,所以(x)仅在(1,2)内有零点,而当1x0,故(x)单

8、调.因此方程(x)=0有唯一正根,且在区间(1,2)内.点的三次样条函数,则b=_c=_.解解 由2=b+c+1,5=6+2b+c,8=12+2b,可得二、(13分)设函数(x)=x2-sinx-1 (1)试证方程(x)=0有唯一正根;(2)构造一种收敛的迭代格式xk+1=(xk),k=0,1,2,计算精度为=10-2的近似根;(3)此迭代法的收敛阶是多少?说明之.-2 3 (2)构造迭代格式:由于|(x)|=|1,故此迭代法收敛.(3)因为0/2,所以()取初值x0=1.5,计算得x1=1.41333,x2=1.40983,由于|x2-x1|=0.003510-2,故可取根的近似值x2=1.

9、40983.0故,此迭代法线性收敛(收敛阶为1).三、(14分)设线性方程组 (1)写出Jacobi法和SOR法的迭代格式(分量形式);(2)讨论这两种迭代法的收敛性.(3)取初值x(0)=(0,0,0)T,若用Jacobi迭代法计算时,预估误差x*-x(10)(取三位有效数字).(2)因为A是严格对角占优矩阵,但不是正定矩阵,故Jacobi法收敛,SOR法当01时收敛.解解 (1)(1)Jacobi法和SOR法的迭代格式分别为 (3)由(1)可见B=3/4,且取x(0)=(0,0,0)T,经计算可得x(1)=(1/4,-2/5,1/2)T,于是x(1)-x(0)=1/2,所以有四、(13分)

10、已知(0)=2,(1)=3,(2)=5,(1)=0.5,解解 (1)由y0=2,y1=3,y2=5,y1=0.5,得 H3(x)=20(x)+31(x)+52(x)+0.51(x)令0(x)=c(x-1)2(x-2),可得0(x)=-0.5(x-1)2(x-2),于是 H3(x)=-(x-1)2(x-2)-3x(x-2)+2.5x(x-1)2 0.5x(x-1)(x-2)(1)试建立一个三次插值多项式H3(x),使满足插值条件:H3(0)=2,H3(1)=3,H3(2)=5,H3(1)=0.5;(2)设y=(x)在0,2上四次连续可微,试确定插值余项R(x)=(x)-H3(x).令2(x)=c

11、x(x-1)2,可得2(x)=0.5x(x-1)2;令1(x)=x(x-2)(ax+b),可得1(x)=-x(x-2),令1(x)=cx(x-1)(x-2),可得1(x)=-x(x-1)(x-2),=x3-2.5x2+2.5x+2 由于,R(0)=R(1)=R(2)=R(1)=0,故可设五、(12分)试确定参数A,B,C及,使数值积分公式4=A+B+C,0=A-C,16/3=A2+C2,0=A3-C3有尽可能高的代数精度,并问代数精度是多少?它是否是Gauss公式?解解 令公式对(x)=1,x,x2,x3,x4都精确成立,则有 R(x)=C(x)x(x-1)2(x-2)构造函数(t)=(t)-

12、H3(t)-C(x)t(t-1)2(t-2)于是,存在x,使(4)(x)=0,即(4)(x)-4!C(x)=064/5=A4+C4 ,解得:A=C=10/9,B=16/9,=(12/5)1/2容易验证公式对(x)=x5仍精确成立，故其代数精度为5，是Gauss公式。六、(12分)设初值问题(1)试证单步法 解解 (1)由于是二阶方法.(2)以此法求解y=-10y,y(0)=1时,取步长h=0.25,所得数值解yn是否稳定?为什么?于是有而所以有当h=0.25时,有所以此单步方法为二阶方法.(2)此单步方法用于方程y=-10y,则有所以,所得数值解是不稳定的.七、(6分)设n阶矩阵A A=(aij)nn,试证实数为矩阵A A的一种范数.证明证明 对任意n阶方阵A,BA,B和常数,有 所以,实数A A是矩阵A A的范数.