二次型的标准型与规范型.ppt

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1、第二节第二节标准形的定义标准形的定义正交线性替换法正交线性替换法配方法配方法二次型的标准形与规范形二次型的标准形与规范形初等变换法初等变换法二次型的规范形二次型的规范形一、标准形的定义一、标准形的定义定义定义 二次型二次型 f(x1,x2,xn)经过非退经过非退化化线性替换线性替换 x=Cy所变成的如下形式所变成的如下形式(只含平方项只含平方项)yTBy=d1y12+d2y22+dryr2 (r n)(4.5)的二次型称为二次型的二次型称为二次型 f(x1,x2,xn)的的标准标准形形.不难看出，二次型不难看出，二次型(4.5)的矩阵的矩阵 B 为为 n 阶对阶对角角矩阵矩阵.即即B=CTAC

2、=diag(d1,d2,dr,0,0).二、用正交线性替换法二、用正交线性替换法化二次型为标准形化二次型为标准形任一任一(实实)二次型一定可以通过正交线性替换化二次型一定可以通过正交线性替换化为标准形为标准形.例例 1 用正交线性替换化下列二次型为标用正交线性替换化下列二次型为标准形准形,并求出所作的正交线性替换并求出所作的正交线性替换:一般地，用正交线性替换将二次型一般地，用正交线性替换将二次型f(x1,x2,xn)=xTAx(其中其中 AT=A)化为标准形的步骤如下化为标准形的步骤如下:Step1Step1 求出二次型矩阵求出二次型矩阵 A 的全部特征值的全部特征值 1,2,n;Step2

3、Step2 求出正交矩阵求出正交矩阵 P，使，使 PTAP=diag(1,2,n);Step3Step3 作正交线性替换作正交线性替换 X=PY，其中，其中Y=(x1,x2,xn)T Rn，则二次型，则二次型 f(x1,x2,xn)化为标准形化为标准形 1y12+2y22+nyn2.三、用配方法三、用配方法化二次型为标准形化二次型为标准形例例 2 用配方法把三元二次型用配方法把三元二次型化为标准形，并求所用的线性替换及变换矩阵化为标准形，并求所用的线性替换及变换矩阵.例例 3 用配方法化二次型用配方法化二次型为标准形为标准形.即任何一个对称矩阵都与一个对角矩阵合同即任何一个对称矩阵都与一个对角

4、矩阵合同.四、用初等变换法四、用初等变换法化二次型为标准形化二次型为标准形对对A施以一系列施以一系列行初等变换行初等变换对对施以一系列施以一系列同种列初等变换同种列初等变换PsTP2TP1TAP1P2PsP1P2Ps例例 4 用初等变换法化二次型用初等变换法化二次型为标准形为标准形.例例 5 用初等变换法化二次型用初等变换法化二次型为标准形为标准形.五、二次型的规范形五、二次型的规范形标准形唯一吗？标准形唯一吗？标准形不唯一标准形不唯一!如果二次型如果二次型 f(x1,x2,xn)=xTAx(其中其中 AT=A)通过可逆线性替换可以化为通过可逆线性替换可以化为y12+yp2 y2p+1 yr2

5、 (p r n)则称上式为该二次型的则称上式为该二次型的规范形规范形.规范形中规范形中,正项的个数正项的个数 p 称为二次型的称为二次型的正惯性指标正惯性指标,负项个数负项个数rp 称为二次型的称为二次型的负负惯性指标惯性指标.r 是二次型的秩是二次型的秩.p (r p)=2p r 称为二次型的称为二次型的符号差符号差定理定理 4.4 任一二次型任一二次型 f(x1,x2,xn)都可以通过可逆线性替换化为规范形，且规都可以通过可逆线性替换化为规范形，且规范形是唯一的范形是唯一的.推论推论1 任一实对称矩阵任一实对称矩阵A A都与对角矩阵都与对角矩阵合同合同,其中其中 1 和和1的个数的个数共有共有r个个,r 为二次型的秩为二次型的秩.推论推论 2 两个实对称矩阵合同的充分必要条件两个实对称矩阵合同的充分必要条件是它们具有相同的正惯指数和秩是它们具有相同的正惯指数和秩.