二次函数图像与性质(一).ppt

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1、二次函数二次函数y=ax2的图象与性质的图象与性质1.在上届珠海航空节中，某飞行员在特在上届珠海航空节中，某飞行员在特技飞行表演过程中，表演了一个俯冲技飞行表演过程中，表演了一个俯冲动作，飞机飞行的路线近似于二次函动作，飞机飞行的路线近似于二次函数数y=x2，你能画出飞机飞行的路线图，你能画出飞机飞行的路线图吗？吗？引入引入13在同一直角坐标系中，画出二次函数在同一直角坐标系中，画出二次函数y=x2与与y=-x2的图象的图象.例例 题题xy=x2y=-x2.0-2-1.5-1-0.511.50.52函数图象画法函数图象画法列列表表描描点点连连线线00.2512.2540.2512.254 描点

2、法描点法描点法描点法用光滑曲线连结时要用光滑曲线连结时要自左向右顺次连结自左向右顺次连结0-0.25-1-2.25-4-0.25-1-2.25-4想一想想一想观察并比观察并比较这两个图较这两个图象，你发现象，你发现有什么共同特有什么共同特和不同点？各自和不同点？各自有什么特征，对有什么特征，对应着的性质怎应着的性质怎么样？么样？观察图象观察图象,回答问题串回答问题串w(1)(1)你能描述图象的形状吗你能描述图象的形状吗?与同伴进行交流与同伴进行交流.w(2)图象是轴对称图形吗？如果是图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什它的对称轴是什么么?请你找出几对对称点请你找出几对对称点,并与同伴交流

3、并与同伴交流.w(3)图象图象与与x轴有交点吗？如果有轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么交点坐标是什么?w(4)当当x0呢？呢？w(5)当当x取什么值时取什么值时,y的值最小的值最小?最小值是什么？你是如何最小值是什么？你是如何知道的？知道的？xy0 0-4-3-2-11234108642-21y=x2 2二次函数二次函数y=axy=ax2 2的图象形如物体抛射时的图象形如物体抛射时所经过的路线，我们把它叫做所经过的路线，我们把它叫做抛物线抛物线。这条抛物线关于这条抛物线关于y轴轴对称，对称，y轴就是它的轴就是它的对称轴。对称轴。对称轴与抛物线的交点对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点叫做抛物

4、线的顶点.当当x0(在对称轴的在对称轴的右侧右侧)时时,y随着随着x的增大而的增大而增大增大.当当x=-2时，时，y=4当当x=-1时，时，y=1当当x=1时，时，y=1当当x=2时，时，y=4抛物线抛物线y=x2在在x轴的轴的上方上方(除顶点外除顶点外),顶点顶点是它的最低点是它的最低点,开口开口向上向上,并且向上无限并且向上无限伸展伸展;当当x=0时时,函数函数y的值最小的值最小,最小值是最小值是0.当当x0(在对称轴在对称轴的右侧的右侧)时时,y随着随着x的增大而减小的增大而减小.y当当x=-2时时,y=-4当当x=-1时时,y=-1当当x=1时时,y=-1当当x=2时时,y=-4抛物线

5、抛物线y=-x2在在x轴的轴的下方下方(除顶点外除顶点外),顶点顶点是它的最高点是它的最高点,开口开口向下向下,并且向下无限并且向下无限伸展伸展;当当x=0时时,函数函数y的值最大的值最大,最大值是最大值是0.二次函数二次函数y=ax2的性质的性质.顶点坐标与对称轴顶点坐标与对称轴.位置与开口方向位置与开口方向.增减性与最值增减性与最值抛物线抛物线顶点坐标顶点坐标对称轴对称轴位置位置开口方向开口方向增减性增减性最值最值y=x2y=-x2（0，0）（0，0）y轴轴y轴轴在在x轴的上方轴的上方(除顶点外除顶点外)在在x轴的下方轴的下方(除顶点外除顶点外)向上向上向下向下当当x=0时时,最小值为最小

6、值为0.当当x=0时时,最大值为最大值为0.在对称轴的左侧在对称轴的左侧,y随着随着x的增大而减小的增大而减小.在对称轴的右侧在对称轴的右侧,y随着随着x的增大而增大的增大而增大.在对称轴的左侧在对称轴的左侧,y随着随着x的增大而增大的增大而增大.在对称轴的右侧在对称轴的右侧,y随着随着x的增大而减小的增大而减小.根据图形填表：根据图形填表：例1 在同一直角坐标系中，画出函数y=x2，y=2x2的图象。x-4-3-2-101234y=x202288x-2-1.5-1-0.500.511.52y=2x202288-1-6-4-2246x987654321yy=2x2y=x20-6-4-2246x

7、987654321yy=2x2y=x20当当a0，图象开口向上，图象开口向上顶点是抛物线的最低顶点是抛物线的最低点，点，a越大开口越小越大开口越小反之越大反之越大对称轴1-1-2-3-4-5-6-7-8-9-8-6-4-22468yx0y=-x2 y=-x2 y=-2x2当当a0时，图时，图象开口向下，象开口向下，顶点是抛物线顶点是抛物线的最高点，的最高点，a越大，抛物线越大，抛物线的开口越大。的开口越大。a a确定着抛物线确定着抛物线的的w2.当当a0时时,抛物线抛物线y=ax2在在x轴的上方（除顶点外）轴的上方（除顶点外）,它它的开口向上的开口向上,并且向上无限伸展；并且向上无限伸展；当当

8、a0时时,在对称轴的左侧在对称轴的左侧,y随着随着x的增的增大而减小；大而减小；在对称轴右侧在对称轴右侧,y随着随着x的增大而增大的增大而增大.当当x=0时函数时函数y的值最小的值最小.当当a0时时,在对称轴的左侧在对称轴的左侧,y随着随着x的增大而的增大而增大；增大；在对称轴的右侧在对称轴的右侧,y随着随着x增大而减小增大而减小,当当x=0时时,函数函数y的值最大的值最大.小结 拓展w1.抛物线抛物线y=ax2的顶点是原点的顶点是原点,对称轴是对称轴是y轴轴.n由二次函数y=xy=x2 2和和y=-xy=-x2 2知：当当a的绝对值越大，则函数图象越靠近的绝对值越大，则函数图象越靠近y轴轴.

9、4.抛物线抛物线y=ax2与与y=-ax2关于关于X轴对称轴对称,也关于原点对称也关于原点对称.1.不画图象，说出抛物线不画图象，说出抛物线y=-4x2和和y=x2的对称轴、顶点坐标和开口方向的对称轴、顶点坐标和开口方向.练一练练一练14根据左边已画好的函数图象填空根据左边已画好的函数图象填空：（1）抛物线）抛物线y=2x2的顶点坐标是的顶点坐标是,对称轴是对称轴是，在，在侧，侧，y随着随着x的增大而增大；在的增大而增大；在侧，侧，y随着随着x的增大而减小，当的增大而减小，当x=时，时，函数函数y的值最小，最小值是的值最小，最小值是,抛物抛物线线y=2x2在在x轴的轴的方（除顶点外）。方（除顶

10、点外）。（2）抛物线）抛物线在在x轴的轴的方（除顶点外），在对称轴的方（除顶点外），在对称轴的左侧，左侧，y随着随着x的的；在对称轴的右侧，；在对称轴的右侧，y随着随着x的的，当，当x=0时，函数时，函数y的值最大，最大值是的值最大，最大值是，当当x0时，时，y0的条件的条件.活动与探索活动与探索已知二次函数已知二次函数y=mxm+m当当m取何值时它的图象开口向上。取何值时它的图象开口向上。（1）当）当x取何值时取何值时y随随x的增大而的增大而增大。增大。（2）当）当x取何值时取何值时y随随x的增大而的增大而减小。减小。练习练习2、已知函数、已知函数是二次函数，且开口向上。是二次函数，且开口向

11、上。求求m的值及二次函数的解析式，并回答的值及二次函数的解析式，并回答y随随x的变化的变化规律规律1、已知、已知y=（k+2）x 是二次函数，是二次函数，且当且当x0时时，y随随X增大而增大，增大而增大，则则k=；k2+k-4已知抛物线已知抛物线y=ax2经过点经过点A（-2，-8）。）。（1）求此抛物线的函数解析式；）求此抛物线的函数解析式；（2）判断点）判断点B（-1，-4）是否在此抛物线上。）是否在此抛物线上。（3）求出此抛物线上纵坐标为）求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标。的点的坐标。解（解（1）把（）把（-2，-8）代入）代入y=ax2,得得-8=a(-2)2,解出解出a=-2,所求函数解析式为所求函数解析式为y=-2x2.（2）因为）因为，所以点，所以点B（-1，-4）不在此抛物线上。不在此抛物线上。（3）由）由-6=-2x2,得得x2=3,所以纵坐标为所以纵坐标为-6的点有两个，它们分别是的点有两个，它们分别是例例2 2 已知一次函数已知一次函数与函数与函数的图象如图所示，其中的图象如图所示，其中与与轴轴、轴交于轴交于A A（2 2，0 0）、）、B B（0 0，2 2）；与二次函数图象）；与二次函数图象的交点为的交点为P P、Q Q，P P、Q Q的纵坐标之比的纵坐标之比1414，求这两个函数解析式，求这两个函数解析式.