不定积分积分法.ppt

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1、 一元函数积分学涉及三种积分一元函数积分学涉及三种积分:不定积分、定积分、反常积分（广义积分）。不定积分、定积分、反常积分（广义积分）。这三种积分含义不同，但它们之间有密切联系。这三种积分含义不同，但它们之间有密切联系。微积分学是微分学和积分学的统称微积分学是微分学和积分学的统称,它是高等数它是高等数学的核心内容学的核心内容,导数和微分又构成了微分学的总体。导数和微分又构成了微分学的总体。第四章第四章 不定积分不定积分 第一节第一节 不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质 第二节第二节 换元积分法换元积分法 第三节第三节 分部积分法分部积分法 已知一个函数的导数已知一个函数的导数 求该函数求

2、该函数 ,积分学中讨论的问题积分学中讨论的问题.已知函数已知函数 求其导数求其导数 ,微分学中讨论的问题微分学中讨论的问题;（求导数的方法称为微分法求导数的方法称为微分法）（求求 的方法称为积分法的方法称为积分法）1 1、原函数的概念、原函数的概念一、原函数与不定积分一、原函数与不定积分 第一节第一节 不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质 2、不定积分、不定积分积积分分常常数数积积分分号号被被积积函函数数被被积积表表达达式式积积分分变变量量例例例例1 1 求求解解 求不定积分与求导（或微分）互为逆运算求不定积分与求导（或微分）互为逆运算解解例例2 2 求求 如果在每一条曲线上横坐标如果在每

3、一条曲线上横坐标相同的点处作切线，则这些切线相同的点处作切线，则这些切线都具有相同的斜率即互相平行。都具有相同的斜率即互相平行。不定积分的几何意义：不定积分的几何意义：如果函数如果函数F(x)为为f(x)的一个的一个原函数，则称原函数，则称F(x)的图像是的图像是f(x)的一条积分曲线。的一条积分曲线。函数函数f(x)的不定积分表示的不定积分表示f(x)的某一条积分曲线沿纵轴方向任的某一条积分曲线沿纵轴方向任意地平行移动所得到的所有积分意地平行移动所得到的所有积分曲线组成的曲线族。曲线组成的曲线族。F(x)例例 设曲线通过点（设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的），且其上任一点处的 切线斜

4、率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.解解设曲线方程为设曲线方程为根据题意知根据题意知由曲线通过点（由曲线通过点（1，2）所求曲线方程为所求曲线方程为即为曲线族方程。即为曲线族方程。二、不定积分的性质和基本积分公式二、不定积分的性质和基本积分公式 求不定积分与求导（或微分）互求不定积分与求导（或微分）互为逆运算，因此可以根据求导公式得出为逆运算，因此可以根据求导公式得出积分公式积分公式.（1）（2）不定积分的性质：不定积分的性质：证证等式成立等式成立.（此性质可推广到有限个函数的情况）（此性质可推广到有限个函数的情况）例例 求积分求积分解解基基本本积积

5、分分公公式式说明说明：（7）（8 8）积分法积分法:求不定积分的方法称为积分法求不定积分的方法称为积分法.介绍三种积分法介绍三种积分法:直接积分法直接积分法,换元积分法换元积分法,分部积分法分部积分法.直接积分法直接积分法:利用不定积分运算性质和基本积分公式利用不定积分运算性质和基本积分公式可以求一些简单函数的不定积分。这种利用可以求一些简单函数的不定积分。这种利用不定积分运算性质和积分基本公式计算不定不定积分运算性质和积分基本公式计算不定积分的方法称为直接积分法。积分的方法称为直接积分法。例例1例例2例例3例例4第二节第二节 换元积分法换元积分法一、一、第一第一换元积分法换元积分法二、二、第

6、二第二换元积分法换元积分法一、第一一、第一换元积分法换元积分法 这是一个凑微分的过程，因此第一换元积分法也称为凑微分法。这是一个凑微分的过程，因此第一换元积分法也称为凑微分法。定理定理使用第一换元积分法求不定积分的过程如下：使用第一换元积分法求不定积分的过程如下：例例1 1 求求解解（一）（一）（二）（二）（三）（三）例例2 2 求求解解例例3 3 求求解解例例4 4 求求解解例例5 5 求求解解说明说明 当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分次项去凑微分.例例6 6 求求解解例例7 7 求求解解（一）（一）解解（二）（二）类似地可推出类似地可推出二、

7、第二二、第二换元积分法换元积分法存在。存在。定理定理应用第二换元积分法计算不定积分的过程如下：应用第二换元积分法计算不定积分的过程如下：例例1例例2例例3也可用：也可用：补充说明补充说明:可以证明可以证明(介绍定积分时介绍介绍定积分时介绍):只要被积函数只要被积函数 连续，连续，其原函数其原函数 总是存在的。此时称总是存在的。此时称 是是“可积的可积的”。有些初等函数的原函数虽然存在，但不能表示为初等函有些初等函数的原函数虽然存在，但不能表示为初等函数，我们称这种类型的函数的积分为数，我们称这种类型的函数的积分为“积不出的积不出的”。例。例如如 等，都属于这种类型。均称为等，都属于这种类型。均

8、称为“积不出积不出”的积分。的积分。故：初等函数在其定义区间内均连续，其原函数故：初等函数在其定义区间内均连续，其原函数 一定存在，但不一定都是初等函数。一定存在，但不一定都是初等函数。分部积分公式分部积分公式 利用两个函数乘积的求导法则，可以得出利用两个函数乘积的求导法则，可以得出分部分部积分公式积分公式,利用利用分部积分公式分部积分公式求积分的方法求积分的方法分部分部积分法积分法.第三节第三节 分部积分法分部积分法例例2 2 求积分求积分解解例例3 3 求积分求积分解解例例4 4 求积分求积分解解例例5 5 求积分求积分解解综合题：综合题：求积分求积分解解 第第 四四 章章 结结 束束 ！