现代控制理论-2控制系统的状态空间模型.ppt
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1、现代控制理论现代控制理论第一章 控制系统的状态空间模型1-1 1-1 状态及状态空间状态及状态空间表达式表达式1-2 1-2 由由微分方程求状态空间表达式微分方程求状态空间表达式1-3 1-3 由传递函数求状态空间表达式由传递函数求状态空间表达式1-4 1-4 状态方程的线性变换状态方程的线性变换1-1.状态及状空间表达式 在现代理论当中,由于引入了状态变量,从在现代理论当中,由于引入了状态变量,从而形成了一整套新的理论而形成了一整套新的理论 。它的数学模型就是。它的数学模型就是状态空间表达式。状态空间表达式。一一.状态及状态空间状态及状态空间1.1.状态:什么叫系统的状态呢?状态:什么叫系统
2、的状态呢?定义:能够定义:能够完全描述完全描述系统时域行为的一个系统时域行为的一个最小变最小变量组量组,称为系统的状态,而上述这个最小变量组,称为系统的状态,而上述这个最小变量组中的每个变量称为系统的状态变量。中的每个变量称为系统的状态变量。注意:注意:完全描述:若给定完全描述:若给定 t=tt=t0 0 时刻这组变量的值(初时刻这组变量的值(初始状态)又已知始状态)又已知t ttt0 0 时系统的输入时系统的输入u u(t t),则系,则系统在统在 t ttt0 0 时,任何瞬时的行为就完全且唯一时,任何瞬时的行为就完全且唯一被确定。被确定。最小变量组:即这组变量应是线性独立的。最小变量组:
3、即这组变量应是线性独立的。例:例:RCRC网络如下图所示,试选择系统的状网络如下图所示,试选择系统的状态变量态变量u(t)RC2C1C3i1i2i3 在在t=tt=t0 0时,若已知时,若已知u uc c1 1(t t0 0),),u uc c2 2(t t0 0),),u uc3c3(t t0 0)和和u u(t t),),则可求得输出则可求得输出y y(t t),(),(t tt t0 0)故可选故可选u uc1c1(t t),),u uc2c2(t t),),u uc3c3(t t)作为状态变量。作为状态变量。但因但因uc1+uc2+uc3=0显然他们是线性相关的,因显然他们是线性相关的
4、,因此,最小变量组的个数应是二。此,最小变量组的个数应是二。一般的:一般的:状态变量个数状态变量个数=系统含有独立储能元件的个数系统含有独立储能元件的个数 =系统的阶数系统的阶数 状态变量是具有非唯一性的:如上例中,最小变状态变量是具有非唯一性的:如上例中,最小变量组是量组是2个独立变量,可在个独立变量,可在 uc1,uc2,uc3中任选中任选2个,个,选法不唯一。选法不唯一。3.3.状态空间:状态空间:定义:由系统的定义:由系统的n n个状态变量个状态变量x x1 1(t t),),x x2 2(t t),),x xn n(t t)为坐标轴,构成的为坐标轴,构成的n n维欧氏空间,称为维欧氏
5、空间,称为n n维状态空间。维状态空间。引入状态空间,即可把引入状态空间,即可把n n个状态变量用矢量形式表示个状态变量用矢量形式表示出来,称为状态矢量出来,称为状态矢量又表示为:又表示为:x x(t t)R Rn n x x(t t)属于属于n n维状态空间维状态空间 4.4.状态轨线:状态轨线:定义:系统状态矢量定义:系统状态矢量的端点的端点在状态空间中所在状态空间中所移动的路径,称为系统的状态轨线,代表了状态移动的路径,称为系统的状态轨线,代表了状态随时间变化的规律。随时间变化的规律。例如:三阶系统应是三维状态空间,初始状例如:三阶系统应是三维状态空间,初始状态是态是x x1010,x
6、x2020,x x30 30。在。在u u(t t)作用下作用下 ,系统的状态开,系统的状态开始变化,运动规律如下:始变化,运动规律如下:引入状态矢量后,则状态矢量的端点就表示了引入状态矢量后,则状态矢量的端点就表示了系统在某时刻的状态。系统在某时刻的状态。二二.状态空间表达式状态空间表达式 它是一组一阶微分方程组和代数方程组成,它是一组一阶微分方程组和代数方程组成,分别表示系统内部和外部行为,是一种完全描述。分别表示系统内部和外部行为,是一种完全描述。1.1.建立方法:建立方法:例例1-1.1-1.试建立机械位移系统的状态空间表达式试建立机械位移系统的状态空间表达式.y(t)F(t)Kf弹簧
7、弹簧-质量质量-阻尼器系统阻尼器系统解:列基本方程:解:列基本方程:选择状态变量:取:选择状态变量:取:故得:故得:将以上方程组写矩阵形式将以上方程组写矩阵形式即即 系统的完整描述,必须具有两部分内容,前系统的完整描述,必须具有两部分内容,前者刻画出系统运动的内部过程,后者则表达系统者刻画出系统运动的内部过程,后者则表达系统内部运动与外部的联系。内部运动与外部的联系。结论:列写系统的状态空间表达式的一般方法结论:列写系统的状态空间表达式的一般方法 1.1.首先根据基本规则列基本方程;首先根据基本规则列基本方程;2.2.选择系统的状态变量;(按状态定义选)选择系统的状态变量;(按状态定义选)3.
8、3.列写系统的状态方程和输出方程,即得状态列写系统的状态方程和输出方程,即得状态空间表达式。空间表达式。2.2.一般形式:一般形式:对于一般的对于一般的n n阶线性定常系统(阶线性定常系统(n n个状态,个状态,r r个输个输入,入,m m个输出)个输出)多输入多输出系统多输入多输出系统对象对象输出输出元件元件u1 u2 urx1 x2 xny1 y2 ym 其中:其中:C-输输出矩出矩阵阵 mn阶阶常数矩常数矩阵阵D-直直连连矩矩阵阵 mr阶阶常数矩常数矩阵阵3.一般线性时变系统:一般线性时变系统:区别在于:上述矩阵是时间区别在于:上述矩阵是时间t t的函数的函数(变系数微分变系数微分方程方
9、程)4.非线性定常系统非线性定常系统:6.6.线性系统状态空间表达式的简便写法:线性系统状态空间表达式的简便写法:对任意阶次的线性系统,其状态空间表达式对任意阶次的线性系统,其状态空间表达式的基本形式是一样的,区别在于四个矩阵不同,的基本形式是一样的,区别在于四个矩阵不同,故可用四联矩阵来简单表示故可用四联矩阵来简单表示:=(=(A A,B B,C C,D D)定常定常=(=(A A(t t),),B B(t t),),C C(t t),),D D(t t)时变时变5.5.非线性时变系统:非线性时变系统:三三.线性系统的结构图线性系统的结构图根据线性系统的状态空间表达式的一般形式根据线性系统的
10、状态空间表达式的一般形式 :按单变量系统的结构图绘制原则,一般线性按单变量系统的结构图绘制原则,一般线性系统可用这种图形象的表达出来。系统可用这种图形象的表达出来。A(t)D(t)C(t)B(t)dt+XY(t)u(t)结构图:结构图:在采用模拟计算机对系统模拟时,必须根据实在采用模拟计算机对系统模拟时,必须根据实际的状态空间表达式,画出各分量间的结构图际的状态空间表达式,画出各分量间的结构图例:单输入单输出系统例:单输入单输出系统a11c1b1b2a22a21a12c2dtdt+x1x2y 由图可见,无论系统阶次多高,按图都完全可由图可见,无论系统阶次多高,按图都完全可用模拟计算机模拟。所以
11、上图又称计算机模拟图。用模拟计算机模拟。所以上图又称计算机模拟图。下面举例说明:下面举例说明:例:例:试建立电枢控制的直流电动机的状态空间表试建立电枢控制的直流电动机的状态空间表达式,并画出其结构图。达式,并画出其结构图。M Ra ua La ia Uf=const EaJ:电动机轴上的转动惯量电动机轴上的转动惯量f:负载的阻尼摩擦性质负载的阻尼摩擦性质解:由基本规律列写原始方程:解:由基本规律列写原始方程:电路方程:电路方程:选状态变量选状态变量:故得状态方程:故得状态方程:而输出方程为:而输出方程为:最后根据上述状态方程和输出方程可画出结构图最后根据上述状态方程和输出方程可画出结构图11+
12、u(t)x1x2x3+Y(t)小结:状态空间表达式以状态变量为基本出发点,小结:状态空间表达式以状态变量为基本出发点,阐明了状态变量对系统的影响,比简单的输入阐明了状态变量对系统的影响,比简单的输入输出描述更近了一步。输出描述更近了一步。1.1.把输入到输出的控制过程分成了两阶段:把输入到输出的控制过程分成了两阶段:即即 u(t)状态方程状态方程输出方程输出方程x(t)Y=CX+DuY(t)2.2.状态变量的个数等于系统的阶数,但状态变量状态变量的个数等于系统的阶数,但状态变量的选取不是唯一的。则描述系统的状态方程也的选取不是唯一的。则描述系统的状态方程也不唯一。不唯一。3.3.由于状态变量的
13、个数与系统独立储能元件的个由于状态变量的个数与系统独立储能元件的个数相对立,一般取储能元件的变量作为状态变数相对立,一般取储能元件的变量作为状态变量。状态初值与储能元件的初始状态相对应。量。状态初值与储能元件的初始状态相对应。4.4.状态空间表达式地数学模型形式不随变量的增状态空间表达式地数学模型形式不随变量的增加变复杂加变复杂 ,其形式是一致的。,其形式是一致的。1-2.微分方程与状态空间表达式之间的变换 对于单输入单输出系统,描述其运动规律的数学模型有三种常用形式:这三种形式是可以相互转换的,下面讨论它们与状态空间表达式之间的相互转换,本节讨论微分方程与状态空间表达式的相互转换。一.输入项
14、中不含有导数项:假设单输入单输出线性系统的微分方程为:其中:为一种规范形称为友矩阵友矩阵,输入矩阵的特点是,其最后一行元素与方程系数对应,而其余各元皆为零。D=0无直联通道,二.输入项中包含有导数项:以上问题导致系统的运动在所选状态空间中会出现无穷大跳变:将是高阶脉冲函数,从而不能唯一确定系统的状态,因此在这种情况下,不能用相变量来求解该系统运动,而应寻求一种方法,使方程中不含输入u的导数项。方法很多,下面介绍一种常用方法:方法二:首先引入中间变量z z,令:这种形式的状态空间表达式中A,B,所具有的特殊形式,称为能控标准型。注:以上D-E的规定形式中左端,首项系数为1,变换时应注意整理。例例
15、 将以下高阶微分方程:试用方法二写出其状态空间表达式。解:解:按方法二可得:1.3 由传递函数求状态空间表达式 T-F D-E S-E 传递函数是经典理论中数学模型的主要形式。传递函数可由实验的方法来确定。根据前面介绍的 微分方程与状态空间表达式之间的变换关系,若已知传递函数,可首先把传递函数变成微分方程,然后由微分方程与状态空间表达式的变换关系。求出状态空间表达式。一、传递函数中没有零点时的变换一、传递函数中没有零点时的变换传递函数为:系统的微分方程为:则根据上节公式,可直接写出状态空间表达式。即:传递函数也可分解成下图所示的结构。选状态变量为:对应的状态空间表达式为:其中阵和阵为规范形式,
16、这是能控标准形实现。它的模拟电路图如下图所示:能控标准形实现的模拟图 二、传递函数中有零点时的变换二、传递函数中有零点时的变换传递函数为:微分方程为:则根据上节公式,可直接写出能控标准形。即:从传递函数的角度分析,这实际上是一种分子与分母直接分离分解法。设中间变量,可得:式中 分解式第一部分是系统结构决定的。描述系统的自由运动规律。当选中间变量z及z的各阶导数为一组相变量形式时。得到的状态方程是能控标准形实现。即式中的A和B阵。显然这是与系统结构相对应的一种规范形实现。分解式第二部分表示状态变量与输出的关系,输出y等于相变量组各变量与输入的线性组合,即式中的C和D阵。若传递函数等效为:式中此时
17、,式中的C阵和D阵可直接写成:由此画出的系统计算机模拟图如图所示。能控标准形实现模拟图例例:已知系统的传递函数:试按能控标准形实现写出状态空间表达式。解:由公式写出能控标准形为:1若将传递函数化成严格真有理分式,则 按简化公式可得:,一般情况下,系统输出的阶次高于输入的阶次,则 b0=0,传递函数为严格真有理分式形式,即,式中 是任意常系数。同样按以上方法C阵可以写成此时,输出仅是状态变量的线性组合,与输入无直接关系。1试按能控标准形实现写出状态空间表达式。解:将传递函数整理成标准形式 按上式写出能控标准为:例:例:已知系统的传递函数 1.4 1.4 由传递函数部分分式法求状态空间由传递函数部
18、分分式法求状态空间表达式表达式 本节主要介绍如何由传递函数的分解构造状态空间表达式的方法。这种方法称为部分分式法。下面根据传递函数极点的两种不同情况分别加以讨论。1.传递函数无重极点的情况:给出T-F:其中:拉氏反变换得:令状态变量的拉氏变换为:而由输出可得:所以:反变换得:可见,各状态积分器是并联的。这种方法又称并联分解。对应的状态结构图如下:注意:若对于m=n时的一般真有理分式。需要将T-F化为严格真有理分式的形式后再进行变换。即:则:存在输出到输入的直连通道。例:已知 求S-E解:先化为真有理式 2.传递函数有重极点时 设n阶系统只有一个独立的n重极点s1.则G(s)由部分分式法展开为:
19、其中:即:设状态变量为:又 3.对于即有单根,又有重根的情况:可根据以上两种情况写出矩阵A.B.C.例:设T-F为 解:得:1-5.1-5.由结构图建立状态空间表达式:由结构图建立状态空间表达式:一、若已知闭环系统的结构图,则由结构图直接建立系统的状态空间表达式。举例说明建立方法:例:已知某系统的结构图如下:试建立系统状态空间表达式。解:(1)首先将结构图中每个方框的T-F分解为单环节的组合。即仅由惯性环节 和积分 环节的简单形式组合:方框图分解为:(2)将每一个基本环节的输出设为状态变量(如上图)(3)写状态空间表达式。反变换二、基本环节结构图分解1、一阶环节 U(s)Y(s)2、二阶环节、
20、二阶环节 U(s)Y(s)U(s)Y(s)根据分子分母分离法 按图中状态变量显然输出方程为:U(s)Y(s)前面介绍了由D-E,T-F S-E的方法。作为数学模型的各种形式,是可以相互转换的。下面介绍一种简便的由S-E D-E,T-F的方法:拉氏变换法:设单变量系统的状态空间表达式为:零初始条件下,取拉氏变换,对S-E.1.6由状态空间表达式转换为传递函数:P54 再对输出方程取拉氏变换.1.求T-F.2.求D-E由对上式进行反变换即得D-E。显然 是方程的特征多项式。例:已知:试求:D-E和T-F解:故:T-F 又反变换得D-E:注:这种方法是根据状态方程和输出方程两部分共同来写D-E和T-
21、F的。U1-7 状态方程的线性变换状态方程的线性变换 P40 如前所述,一个n n阶系统必有n n个状态变量。然而,这n n个状态变量的选择却不是唯一的。但它们之间存在着线性变换关系。一.线性变换的概念 1.定义:状态 与 的变换,称为状态的线性变换 由于状态变量是状态空间中的一组基底。因此,状态变换的实质就是状态空间基底(坐标)的变换。线性变换关系为:其中为任何非奇异 阵。2.基本关系式:设一个n阶系统,状态矢量为x x,其状态空间表达式为 现取线性变换为 ,其中:是 阶非奇异阵。代入上述表达式,得比较可得:可见,满足上述条件的变换矩阵P有无穷多。故状态变量不是唯一的。例:试建立下面RLC网
22、络的状态空间表达式:解:根据电路原理,得基本方程4.验证两状态空间表达式的变换关系 经变换后的状态为:对应的变换矩阵为:二.状态变换的基本性质 1.系统的特征值:对于线性定常系统,系统的特征值是一个重要的概念,它决定了系统的基本特性。有关特征值的概念是从线性代数中提出的。下面复习一下线性代数的几个定义。-矩阵用参数的多项式做元的矩阵叫做 -矩阵。常数可看做的零次多项式。叫做A的特征矩阵特征矩阵设常数矩阵 那么-矩阵特征多项式特征矩阵的行列式 是首项系数为1的的n次多项式,叫做A的特征多项式,其中特征根叫做A的特征根。显然:n 阶矩阵有n个特征根(实根和共轭虚根)因为多项式的常数项为 若A是降秩
23、的 ,特征根中有零根。用以上概念讨论下列齐次线性方程组:其有非零解的充要条件是则 又称为矩阵A的特征方程,其根的特征值下面给出系统特征值的定义定义:线性定常系统的状态方程为系统矩阵A的特征值,称为系统的特征值。2.基本性质:定理:状态变换不改变系统的特征值。证明:若能证明 则可以证出矩阵A和 的特征值必然相等 由于线性定常系统,系统的特征值决定了系统的基本特性。因此,线性变换不能改变系统的基本特性。例:试求系统矩阵 的特征值。并说明 经过线性变换后,其特征值的不变性。解:若取变换矩阵 和 分别为三.一类重要的线性变换化A阵为对角形或约当标准形条件:设系统的特征值为 1.若 互不相同:定理:线性
24、定常系统,若其特征值互不相同,则必存在一非奇异矩阵P P,通过线性变换,使A A阵化为对形。即:注:A A 阵转化为 对角形以后。状态方程 中,各状变量间的耦合关系即随之消除,称之为状态解耦。由定理知,将A A阵化为对角形的关键就是求转化阵P P。下面介绍两种求P P 阵的方法:例:设系统的状态方程为:试求将A A阵变换为对角阵后的状态方程.3.由各特征矢量构成P P阵:解方法二:对正则形式下矩阵A的变换阵 定理:线性定常系统,若A阵具有以下形式:2例:例:系统状态空间表达式为:试变换为对角线标准形。特征值为:系统矩阵A为友矩阵,则变换阵P可取范德蒙阵,即:,解解:系统特征方程为:经线性变换后
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