电网络分析选论第五章动态电路的时域方程.ppt

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1、第五章第五章 动态电路动态电路的时域方程的时域方程l线性时不变线性时不变系统为重点介系统为重点介绍绍状态方程状态方程的的列写列写和和求解求解l电网络分析的电网络分析的状态变量法状态变量法就就是是状态方程法状态方程法，是一种，是一种系统系统或或电路电路分析的分析的有效方法有效方法。这种方法这种方法列方程列方程容容易易，不必不必化为化为一个变一个变量的量的函数函数，状状态态变变量的量的变变化率化率可以用可以用状状态态变变量来量来表示表示，物物理理意意义义清楚清楚，很适合用，很适合用数值法数值法求求解，而且以状态方程为基础的解，而且以状态方程为基础的状状态空间态空间分析对分析对非线性非线性和和时变时

2、变系统系统也也很有效很有效。目前目前线性非时变问题线性非时变问题的状态的状态方程，方程，理论上理论上都都已解决已解决，你，你们已学过的们已学过的“矩阵论矩阵论及其应及其应用用”第四章第四章矩阵微分方程矩阵微分方程就就有专门的论述。有专门的论述。状态状态变量分析的变量分析的基本概念基本概念状态状态方程方程的的建立建立线性状态方程的线性状态方程的解析解法解析解法状态方程的状态方程的小信号小信号分析分析建立建立状态状态方程方程的五种方法的五种方法主要主要内容内容 建立建立状态状态方程方程的五种方法的五种方法 直观法直观法 系统法（系统法（特有特有树）树）稀疏稀疏表格法表格法 改进改进节点法节点法 端

3、口端口分析法分析法5-15-1状态变量状态变量分析的分析的基本基本概念概念 一、一、状态状态、状状态态变变量、量、状状态态方方程程状态状态是一个是一个抽象抽象的概念。在的概念。在自然界自然界和和工程技术领域工程技术领域中，中，状态是状态是事物的事物的一种一种客观存在客观存在(P184)(P184)。事实上，对系统和事实上，对系统和电路来说，所谓电路来说，所谓状态状态就是就是系统或电路系统或电路的的能量状态能量状态，下面给出定义。，下面给出定义。l电路的状态：电路的状态：一组最少数据一组最少数据1.对于某一对于某一任意任意时刻时刻t t0 0，可以，可以根据根据t t0 0时刻的时刻的状态状态及

4、及t tt t0 0时的时的输入输入波形来波形来唯一唯一地地确定确定t t t t0 0的的任一任一时刻的时刻的状态状态；2.根据在根据在t t时刻的时刻的状态状态及及t t时时刻的刻的输入输入(或者输入的导数或者输入的导数)能够能够唯一唯一地确定在地确定在t t时刻时刻的的任一任一电路电路变量变量的的值值。*电路的电路的状态状态实质上是指电实质上是指电路的路的储能储能(量量)状况状况。状态状态变量变量、状态、状态向量向量和状态和状态空间空间 l状态变量：描述状态变量：描述状态状态的变量的变量动态电路的动态电路的状状态态变变量是确定量是确定动态动态电路电路运动运动行为行为的的一组最少变量一组最

5、少变量。记作记作 x x1 1(t t),x x2 2(t t),),x xn n (t t)是是一组独立完备变量一组独立完备变量。l初始初始状态状态:电路在电路在初始时刻初始时刻t tt t0 0的状态的状态l状态状态向量向量:n n个状个状态态变变量量x1 1(t t)x2 2(t t)、xn n (t t)构成的构成的向量向量x(t t)l状态状态空间空间：以状态：以状态向量向量的各的各个分量个分量x1 1、x2 2、xn n为轴为轴所构成的所构成的n n维欧氏空间维欧氏空间。(1)(1)线性线性时不变时不变网络网络A为系数系数矩阵，B为控制控制矩阵(2)线性时变时变网络(3)非非线性性

6、网络时变时变网络网络时不变时不变网络网络状状 态态 方方 程程状状态态方方程程若不是标准形式，若不是标准形式，可可以以变变换换成成标准标准形式形式 规范化，规范化，变变换成换成标准形式标准形式变换，令变换，令例如例如输出方程输出方程：联系联系输出输出与与状态变量状态变量和和输入输入之间的之间的关系式关系式y为为输输出出向向量量,x为为状状态态向向量量,u为为输输入入向向量量,C和和D为为仅仅与与电电路路结结构构和和元件值元件值有关的有关的系数矩阵系数矩阵。(2)线线性性时变时变网络网络(3)非线非线性网络性网络输出输出方程方程(1)(1)线线性性时不变时不变网络网络规范规范型状态方程的型状态方

7、程的特征特征l规范规范型状态方程的型状态方程的特征特征:(1)(1)每每个个方方程程式式的的左左端端只只有有一一个个状状态态变变量对时间的量对时间的一阶导一阶导数数;(2)(2)每每个个方方程程式式右右端端是是激激励励函函数数与与状状态态变变量量的的某某种种函函数数关关系系,但但不不出现出现对时间的对时间的导数导数项。项。l l半状态半状态描述描述 E为为奇异奇异矩阵矩阵l定义定义网络中网络中独立初始条件独立初始条件的的数目数目,即即独立完备独立完备的的状状态态变变量量数目数目。l线性线性时不变时不变网络的复杂度网络的复杂度uC(或或qC)和和iL(或或L)选作电路的选作电路的状态变量状态变量

8、的的个数个数。二、网络的二、网络的复杂度复杂度(校外校外不讲！不讲！)(OrderofComplexity)常态网常态网络络对于仅由对于仅由电阻、电感、电容电阻、电感、电容和和独立独立电源电源组成的网络组成的网络,如果不存在如果不存在仅由仅由电容电容和和独立电压源独立电压源组成的组成的回路回路(称称为为C-E回路回路)和和仅由电感仅由电感和和独立电独立电流源流源构成的构成的割集割集(称为称为L-J割集割集),),则则称为称为常态网常态网络络。C-E回路回路l非常态非常态网络网络 含含有有C-E回回路路和和或或L-J割割集集的的网网络络称为称为非常态非常态网络网络,又又叫叫蜕化网络蜕化网络。C-

9、E回路回路:仅由电容和仅由电容和/或电压源组成的回路或电压源组成的回路C-E回路回路又称为又称为纯电容纯电容回路或回路或全电容回路全电容回路L-J割集割集L-J割集割集:仅由仅由电感电感和和/或或电流源电流源组成的割集组成的割集常态常态网络的网络的复杂度复杂度就等于网络中的就等于网络中的储储能元件能元件的的数目数目。L-J割集又称为割集又称为纯电感割集纯电感割集或或全电感割集全电感割集独立电容独立电容电压电压C-E回路中回路中一个电容电压一个电容电压不独立不独立独立电感独立电感电流电流非常态网络非常态网络的复杂度的复杂度L-J割集中割集中一个电感电流一个电感电流不独立不独立广义常态广义常态网络

10、及其网络及其复杂度复杂度对对于于电电阻阻、电电感感、电电容容、D D型型元元件件、E E型型元元件件和和独独立立电电源源组组成成的的网网络络,如如果果不不存存在在仅仅由由电电容容、D D型型元元件件和和独独立立电电压压源源组组成成的的回回路路(广广义义C-EC-E回回路路)和和仅仅由由电电感感、E E型型元元件件和和独独立立电电流流源源构构成成的的割割集集(广广义义L-JL-J割割集集),),则则称称为为广广义义常常态网络态网络,否则称为广义否则称为广义非常态非常态网络。网络。广义常态网络广义常态网络的复杂度的复杂度l广义常态广义常态网络网络l广义广义非非常态网络的常态网络的复杂度复杂度当网络

11、中当网络中不存不存在在仅由仅由D D型元件型元件和和独立电独立电压源压源组成的回路和仅组成的回路和仅由由E E型元件和独立型元件和独立电流源电流源组成的割集时组成的割集时,等号成立。等号成立。广义广义非常态非常态网络的网络的复杂复杂度若存在，若存在，则：？则：？其中其中 为第为第k k个广义个广义C-E回路中回路中所含电容和所含电容和D D型元件中型元件中最低阶元件最低阶元件的阶的阶数（电容的阶数为数（电容的阶数为1 1）；）；其中其中 为第为第k k个广义个广义L-J回路中回路中所含电感和所含电感和E E型元件中型元件中最低阶元件最低阶元件的的阶数（电感的阶数为阶数（电感的阶数为1 1）。）

12、。研究网络研究网络复杂度（独立完备复杂度（独立完备的的状状态态变变量量数数目目）的的意义意义l对系统进行对系统进行分析分析、预测预测和故障和故障诊断诊断l工程工程实际中实际中得到的系统的信号大多以离散得到的系统的信号大多以离散采样值采样值的形式给出，即的形式给出，即时间序列时间序列。时间序列时间序列（timeseries）是是按时间顺序按时间顺序的的一组数一组数字序列字序列。时间序列分析。时间序列分析（timeseriesanalysis）就是利用这就是利用这组数列组数列，应用数理统计方法应用数理统计方法加以处加以处理，以理，以预测未来预测未来事物的事物的发展发展。时间序列分析是。时间序列分析

13、是根据系统观测得到的根据系统观测得到的时间序列数据时间序列数据，通过曲线通过曲线拟合拟合和和参数估计参数估计来建立来建立数学模型数学模型的理论和方法。的理论和方法。时间序列时间序列分析主要用途，系统分析主要用途，系统描述描述、系、系统统分析分析、预测预测未来、未来、决策决策和和控制控制。20032003年年度诺贝尔经济学奖获得者及其度诺贝尔经济学奖获得者及其时时间序列间序列模型。模型。20032003年诺贝尔经济学奖年诺贝尔经济学奖授予授予美国美国经济学经济学家罗伯特家罗伯特恩格尔恩格尔(RobertF.Engle)和和英国英国经济学家克莱夫经济学家克莱夫格兰杰格兰杰(CliveW.J.Gra

14、nger)，以以表彰表彰他们在他们在“分析经分析经济济时间数列时间数列”研究领域所作出的研究领域所作出的突破性突破性贡献。贡献。罗伯特罗伯特恩格尔上世纪恩格尔上世纪8080年代创立了年代创立了 “自动递减条件下自动递减条件下的的易方差性易方差性”(又称又称“自回归条件异方差过程自回归条件异方差过程”-autoregressiveconditional heteroskedasticprocess,简称简称ARCHARCH模型模型)理论模式，并提出了理论模式，并提出了根据时间变化根据时间变化的的变变易率易率(time-varyingvolatility)进行进行经济经济时间数列分析时间数列分析的

15、的方式。方式。具有具有“重大重大的的突突破破性性意义意义”。克莱夫克莱夫格兰杰上个世纪格兰杰上个世纪8080年代年代发现发现非非稳定稳定(non-stationary)时间数列时间数列的的特别组特别组合合可以可以呈现出稳定性，呈现出稳定性，从而可以从而可以得出正得出正确确的的统计推理。统计推理。他称此是一种他称此是一种“共合体共合体”(学术上译为学术上译为协整协整cointegration)现象，现象，并提出了根据并提出了根据同趋势同趋势(commontrends)进进行行经济时间序列经济时间序列(timeseries)分析分析的的方方式式。格兰杰还发现格兰杰还发现协整后协整后的的变量交互动态

16、变量交互动态(jointdynamics)可以用一个可以用一个所谓的所谓的误误差修正差修正(error-correction)模型模型来来表示表示。格兰杰和恩格尔格兰杰和恩格尔在在19871987年共同发表年共同发表了了一一篇具有广泛影响篇具有广泛影响的的论文论文,在这篇论文中在这篇论文中他们介绍了这些方法。包括对他们介绍了这些方法。包括对误差修正误差修正模型模型的的两步法参数估计两步法参数估计和和对非稳定变量对非稳定变量没有协整关系没有协整关系的的假设检验假设检验。这些方法经梭伦这些方法经梭伦.约翰逊约翰逊(SrenJohansen)改进改进后发展后发展成为现在的成为现在的标准方法标准方法。

17、这对研究这对研究财富财富与与消费消费、汇率汇率与与价格价格以及以及短期利率短期利率与与长期利率长期利率之间的关系之间的关系具有非常重要意义具有非常重要意义。lARMA模型模型ARMA模型模型（Auto-RegressiveandMovingAverageModel）是是研究研究时间时间序列序列的重要方法，由的重要方法，由自回自回归归模型模型（简简称称AR模型）与模型）与滑滑动动平均模型平均模型（简简称称MA模型）模型）为为基基础础“混合混合”构成。构成。有有三种三种基本形式基本形式 （1 1）自回自回归归模型模型（AR：Auto-regressive）其中其中t 是是独立同分布独立同分布的的随

18、机随机变变量量序列，序列，且且满满足：足：E E(t t)=)=0 0，,则则称称时间时间序列序列为为y yt t服服从从p p阶阶的的自回自回归归模型。模型。t=1，2，n自回自回归归模型模型AR(pAR(p)：如果：如果时间时间序序列列y yt t满满足足（2）移移动动平均平均模型模型（MA：Moving-Average）移移动动平均平均模型模型MA(q):如果如果时时间间序列序列y yt t满满足足 则则称称时间时间序列序列为为yt服从服从q阶阶移移动动平均模型平均模型 t=1，2，n（3）混合模型混合模型（ARMA：Auto-regressiveMoving-Average）ARMA(

19、p,q)模型：模型：如果如果时间时间序列序列y yt t满满足足 t=1，2，n则则称称时间时间序列序列为为yt服从服从(p,q)阶阶自回自回归归滑滑动动平均平均混合模型。特殊情况：混合模型。特殊情况：q=0，模型即模型即为为AR(p)，p=0，模型即，模型即为为MA(q)。l从从系系统的角度的角度来看来看波形（波形（数据数据）变化化越越剧烈烈，系，系统的的模式模式越多越多（阶数数越高），系越高），系统网网络函数函数的的极点极点也越也越多多。例如，例如，试判判别图示示时间序列序列的的阶数数。（a a）（b b）（c）（b b）的）的阶数数 （a a）的）的阶数数 （c c）的）的阶数数 （d

20、d）的）的阶数数（d d）（a a）（b b）（C C）（a a）的）的阶数数 （b b）的）的阶数数 （c c）的）的阶数数确定确定C-E回路和回路和L-J割集的割集的拓扑拓扑方法方法确定确定C-E回路和回路和L-J割集的割集的拓扑拓扑方法方法(1)(1)用开路方法确定用开路方法确定(广义广义)C-E回路回路数数:开路开路is RLE型元件型元件在开路操作后的在开路操作后的子网络子网络NCD中任中任选一个树选一个树,C-E回路数回路数(广义广义)等于等于NCD中的中的连支数连支数。用用拓扑法拓扑法决定独立的决定独立的(广义广义)C-E回路和回路和(广义广义)L-J割集割集(2)(2)用用短路

21、短路方法确定方法确定(广义广义)L-J割集数：割集数：短路短路us RCD型型元件元件在短路操作后的在短路操作后的子网络子网络NLE中中任选一个树任选一个树,L-J割集数割集数(广义广义)等于等于NLE中的中的树支数树支数。C-E回路和回路和L-J割集可通割集可通过网络的等效变换消去过网络的等效变换消去对于含有对于含有受控源受控源和和负元件负元件的网络复杂度与网络中的的网络复杂度与网络中的元件值元件值有关。有关。设网络有一个设网络有一个树树T。T中中含有所有含有所有的的电压源、尽可能多电压源、尽可能多的的电容电容元件、电元件、电阻元件、阻元件、尽可能少尽可能少的的电电感感元件元件等。等。三、三

22、、C-E回路和回路和L-J割集的割集的消去消去树中树中的电压源、电容元件和的电压源、电容元件和补树补树中中的的电容电容元件组成元件组成C-E回路回路；树中树中的的电感电感元件和元件和补树补树中的中的电感电感元件和电元件和电流源元件组成流源元件组成L-J割集割集。（1 1）如如果果该该回回路路中中连连支支电电容容是是压压控控的的，树树支支电电容容要要么么都都是是压压控控的的要要么么都都是是荷荷控控的的，则则可可开开路路连连支支电电容容,其其它它电电容容用用等等效效的的荷控电容代替荷控电容代替。(2)(2)如如果果该该割割集集中中树树支支电电感感是是流流控控的的,连连支支电电感感要要么么都都是是流

23、流控控的的要要么么都都是是链链控控的的，则则可可用用短短路路线线代代替替树树支支电电感感,其其它它电电感感用用等等效效链链控控电感代替电感代替。5-2 5-2 状状态态方方程的建立程的建立直接直接编写法编写法 直直观观列列写法写法 系系统统列列写法写法 网络网络拓扑拓扑法法 间接间接编写法编写法 由由输入输入输出输出方程编方程编写写 由由转移函数转移函数编写编写 由信号由信号流图流图(或系统或系统框图框图)编写编写 状状态态方方程的程的建立建立方法方法直直接法接法 间间接法接法1 1、线性线性动态电路的状态方程动态电路的状态方程列写列写步骤步骤(1)选取所有的选取所有的独立电容电压独立电容电压

24、和和独独立电感电流立电感电流作为作为预选预选状态变量；状态变量；一、状态方程的一、状态方程的直直观观列列写法写法(2)对每个对每个独立的电容独立的电容，选用一个，选用一个割集，并依据割集，并依据KCLKCL和电容的和电容的VARVAR列写列写节点节点方程方程；(3)将上述方程中将上述方程中除输入除输入以以外外的的非状非状态态变量变量用用状状态态变量变量和和输入输入表示表示，并从方程中消去，然后，并从方程中消去，然后整理成标准形整理成标准形。对对每个独立的电感每个独立的电感，选用一个，选用一个回路，并依据回路，并依据KVLKVL和电感的和电感的VARVAR列写列写回路回路方程方程；例例1 1一、

25、状态方程的一、状态方程的直直观观列列写法（续）写法（续）借助借助拓扑图拓扑图的列写步骤的列写步骤(1)包含包含所有所有的的独独立立电压源电压源；不不包包含独立电流源含独立电流源；(2)包含包含尽可能多尽可能多的电容和的电容和压控压控型型高阶元件高阶元件；(3)包含包含尽可能少尽可能少的电感和的电感和流控型流控型高阶元件高阶元件；1.选择树（选择树（propertree）2.选选树支树支上上电容电压电容电压、压压控控型型高阶高阶元件元件电压电压和和连连支上支上电电感感电电流流、流流控型控型高阶高阶元元件件电流电流为为预选预选状态变量状态变量3.对对电容树支电容树支的基本割集列写的基本割集列写KC

26、L方程；对方程；对电感连支电感连支的基本的基本回路列写回路列写KVL方程。方程。4.借助未使用的借助未使用的基基本本割割集和集和基基本本回回路将路将非状态变量用状态变量非状态变量用状态变量和输入和输入表示表示，并从方程中消去，并从方程中消去，整理整理成成标准标准形式形式。例例2 2例例3 3例例4 4例例5 52.2.线性线性时变时变网络的状态方程网络的状态方程l对对时变电感时变电感元件元件 ，选，选磁链磁链(t t)作为状态变量作为状态变量 。状状态态变变量的选择量的选择l对对时变电容时变电容元件元件，选，选电荷电荷qC(t)作为状态变量作为状态变量。例例6 6非线非线性电路性电路状状态态方

27、方程程标准形式标准形式为为x为为n维状态变量向量，维状态变量向量，F是是x的某的某种种非线性函数非线性函数向量。向量。3.3.非线非线性动态电路性动态电路状状态态方方程列写程列写状状态态变变量的选择量的选择压控电容压控电容的电压、的电压、荷控荷控电电容的容的电荷电荷流控流控电感的电流、电感的电流、链控链控电电感的感的磁链磁链一般取元件特性的一般取元件特性的控制量控制量元件元件特性条件特性条件表表先先选选树树，再建方程，再建方程拓扑拓扑条件条件类类 型型树树 支支连连 支支电电 容容荷荷控控压压控控电电 感感电电 阻阻忆忆 阻阻流流控控流流控控荷控荷控 链控链控 链链控控压压控控荷控荷控 链控链

28、控非非线线性动态电路性动态电路状状态态方方程的列写示例程的列写示例例例7 7例例8 8例例9 9例例1010JumpJump输入输出输入输出方程到方程到状状态态方方程程 （校外（校外不讲！不讲！）线性状态方程的解析方法（线性状态方程的解析方法（矩阵矩阵函数法、复频域解法函数法、复频域解法都很有用，都很有用，课件都有，请自学！）课件都有，请自学！）二、从二、从输入输出输入输出方程到方程到状状态态方方程程 实现：由实现：由输入输出输入输出方程确定其方程确定其状状态空间态空间表示表示取取为为系统系统的的n个个状状态态变变量量,且设且设情形情形1 1 矩阵形式为即A为为友矩阵友矩阵系统的系统的输出输出

29、方程方程即2.设设x1、x2、xn为所讨论系统为所讨论系统的一组状态变量的一组状态变量,而而为该系统的为该系统的另一组状态变量另一组状态变量，则，则讨论讨论1.若若动态动态系统的系统的输入输入函数函数为零为零,那那么状态方程为么状态方程为2.设设x1、x2、xn为所讨论系统为所讨论系统的一组状态变量的一组状态变量,而而为该系统的为该系统的另一组状态变量另一组状态变量，则，则3.3.特征特征方程方程特征方程特征方程的的根根称为称为A的特征的特征值值或或本征值本征值，也称之为特征，也称之为特征方程的方程的特征根特征根。由由特征方程特征方程得得4.线线性变性变换换不改变不改变特征值特征值概括概括若系

30、统的若系统的输入为零输入为零,则有齐次状态方程则有齐次状态方程 一个一个n n阶线性阶线性时不变动态时不变动态系统系统,若若输入输入中中不含有导数项不含有导数项,则其状态方程为则其状态方程为若若 (a)(b)取取为为状状态态变变量量情形2(c)（1 1）如果沿用）如果沿用状状态态变变量量,则所则所得的得的n n个一阶微分方程个一阶微分方程为为(2)(2)当采用式当采用式(b)(b)所表示的一组所表示的一组状状态态变变量时量时,可以得到可以得到(d)再根据式再根据式(b)(b)和式和式(c)(c),可得可得 即即A仍为仍为友矩阵友矩阵如果矩阵如果矩阵A A的的特征矩阵特征矩阵的的不变因子不变因子

31、为为矩阵论矩阵论P76P76！则称A为属于 的相伴矩阵相伴矩阵(或友矩阵友矩阵)的的Smith标准型为标准型为A A就是就是一个一个友矩阵友矩阵！动态系统的动态系统的输出方程输出方程为为即一个线性动态系统的一个线性动态系统的输入中含有导输入中含有导数项数项并并不不会会影响影响矩阵矩阵A中各元素中各元素,只只会会影影响矩阵响矩阵B中各元素。中各元素。若通过定义通过定义适当适当的的辅助辅助函数函数，向量形式向量形式情形情形3 3（非线非线性系统）性系统）如果该如果该非线性动态非线性动态系统为系统为多多输输入入系统系统,则有则有5-3 5-3 线性线性状状态态方方程的程的解析解析方法方法（讲（讲矩阵

32、函数法矩阵函数法！拉变（！拉变（S S域）域）l分类分类1 1：数值数值解法解法 解析解析解法解法l分类分类2：时域时域解法解法频域频域解法解法状状态态方方程的程的解法解法分类分类u为系统的为系统的输入输入，x和和u均为均为t的函数。的函数。一、一、线性线性状态方程的状态方程的时域解时域解法法1、线性时不变线性时不变网络状态方程的解法网络状态方程的解法（1）非齐次）非齐次标量微分方程解标量微分方程解的形式的形式线性线性时不变时不变网络状态方程的解法网络状态方程的解法在等式两边在等式两边乘以乘以从从0_到到t积分，得积分，得矩阵矩阵指数指数函数函数e eA At t 及其及其性质性质性质性质q定

33、义定义左左乘与乘与右右乘乘相等相等满足满足交交换律换律！e eA At t又称为又称为状态转移矩阵状态转移矩阵 的性质对于对于线性时不变线性时不变网络网络状状态态方方程的程的解析解解析解非齐次非齐次状态方程的矩阵形式状态方程的矩阵形式等式两边左乘等式两边左乘矩阵指数函数矩阵指数函数零零输入输入响应响应零状态零状态响应响应两边取两边取0-t的的积分积分得得输出输出方程的解方程的解如果系统运行的如果系统运行的初始初始时间为时间为t t0 0,则则输出输出方程方程其解为其解为零零输入输入响应响应零零状态状态响应响应冲激冲激响应矩阵响应矩阵定义定义零状态零状态响应为响应为称为称为冲激响应冲激响应矩阵矩

34、阵单位阵单位阵E E冲击函数冲击函数的的筛分筛分作作用用!矩阵矩阵指数指数函数函数的计算的计算凯莱凯莱-哈密顿哈密顿(CayleyHamilton)定理定理(i)化化为为有限项之和有限项之和进行计进行计算算一个一个n阶方阵阶方阵必必定定满足满足于它于它自身自身的的特征方程特征方程一个一个n阶阶方阵方阵A必必定定满足满足于它于它自身自身的的特征方程特征方程n阶方阵阶方阵A的的特征方程特征方程为为情况情况1 1 A A的的特征值特征值各各不相同不相同特征根特征根为单根为单根的的转置转置称为称为范德蒙范德蒙矩阵矩阵矩阵形式范德蒙矩阵范德蒙矩阵例题例题特征根特征根有重根有重根情情况况2 2 A A的的

35、特特征征根根1 1为为m m阶阶重重根根,其其它它特特征征根根均均为为单单根根。则则重重根根部分部分方程为方程为例题例题（iiii）化化A A为为对角阵对角阵进行计算进行计算当当A为友为友矩矩阵阵时，时，P可取可取范德蒙范德蒙矩矩阵阵。或者或者设设A A有有n n个彼此相异的个彼此相异的实实特征根特征根1 1,2 2,n n。定义 diag1,2,n；若P P(1),(2),(n)，则(k)满足 A A(k)k(k)(k1,2,n)取取代入状态方程代入状态方程例题例题实例实例解耦解耦状态方程状态方程系统输电系统输电线路实例线路实例2.2.线性线性时变时变网络状态方程的解法网络状态方程的解法 状

36、态方程为状态方程的解为状态方程的解为 输出方程为输出方程为其解为其解为二二 状态方程的状态方程的复频域解法复频域解法线性时不变线性时不变网络的状态方程为网络的状态方程为令对对状状态态方方程两边取程两边取拉氏变换拉氏变换状态方程的状态方程的复频域复频域解解零输入零输入响应象函数响应象函数零状态零状态响应象函数响应象函数状态方程的状态方程的时域解为时域解为矩阵矩阵(s1A)1称为称为预解矩阵预解矩阵输出输出方程方程 称为称为网络函数矩阵网络函数矩阵例题例题式中式中零输入零输入响应响应象象函数函数 零状态零状态响应响应象象函数函数Jump5-45-4状状态态方方程的程的小信号小信号分析分析一、一、自

37、治自治网络的小信号分析网络的小信号分析U代表电路中m维直流电源向量。平衡点平衡点自治自治网络的状态方程网络的状态方程 对于任一点对于任一点xQ,如果如果在在xQ处处为零为零,则则把把xQ称为称为自治自治状态方程的状态方程的平衡点平衡点。平衡点平衡点对于任一点对于任一点xQ,如果如果在在xQ处处为零为零,则则把把xQ称为自治状态方程的称为自治状态方程的平衡点平衡点。或者一、一、自治自治网络的小信号分析网络的小信号分析以状态方程为基础的以状态方程为基础的非线性非线性动态动态电路的小信号分析法电路的小信号分析法 必须必须满足满足设设F对x和 存在一阶偏导数并且在所有时间,足够小；二、二、非自治非自治

38、网络的小信号分析网络的小信号分析设 相应于相应于时变时变偏置源偏置源的状态的状态,x(t)相应于相应于小信号输入小信号输入u(t)的状态的状态摄动。当摄动。当u(t)=0时，时，x(t)=0。在在时变偏置时变偏置源和源和小信号输入小信号输入作用下作用下小信号小信号等效网络的状态方程为等效网络的状态方程为qq 对于非线非线性动态动态电路 对于对于流控流控电感电感 对于压控压控电容 对于线性动态电路线性动态电路,以p表示微分算子则则5-5 5-5 稀疏稀疏表格法表格法对于对于荷荷控电容控电容和和链控电感链控电感 对于含有对于含有高阶高阶元元件的电路件的电路 对于对于忆阻忆阻元件元件 l对于对于线性

39、线性动态网络动态网络对于对于非线非线性性高阶元件高阶元件对于对于非线非线性性动态动态电路电路 例题例题1例题例题25-6 5-6 改进节点法改进节点法线性线性动态电路动态电路时域的改进节点电压方程时域的改进节点电压方程式中式中Yn1、C和和D中中可能含有一阶微可能含有一阶微分算符分算符这是由网络中的这是由网络中的储能储能元元件、件、忆阻忆阻元件和元件和高阶高阶元件引起的。元件引起的。例题1例题2 常态常态网络网络 5-7 5-7 端口端口分析法分析法一、一、线性动态线性动态网络的端口法网络的端口法多口多口网络方程为网络方程为对于仅由对于仅由电阻、电感、电容电阻、电感、电容和和独立独立电源电源组

40、成的网络组成的网络,如果不存在如果不存在仅由仅由电容电容和和独立电压源独立电压源组成的组成的回路回路(称称为为C-EC-E回路回路)和和仅由电感仅由电感和和独立电流独立电流源源构成的构成的割集割集(称为称为L-JL-J割集割集),),则称则称为为常态网络常态网络。对对于于电电阻阻、电电感感、电电容容、D D型型元元件件、E E型型元元件件和和独独立立电电源源组组成成的的网网络络,如如果果不不存存在在仅仅由由电电容容、D D型型元元件件和和独独立立电电压压源源组组成成的的回回路路(广广义义C-EC-E回回路路)和和仅仅由由电电感感、E E型型元元件件和和独独立立电电流流源源构构成成的的割割集集(

41、广广义义L-JL-J割割集集),),则则称称为为广广义义常常态态网网络络,否否则则称称为为广广义义非非常常态态网网络。络。或者或者一、线性一、线性动态动态网络的端口法网络的端口法l对于电容组成的对于电容组成的p p口网络口网络p阶矩阵阶矩阵C在仅由二端线性电容在仅由二端线性电容组成的情况下为一对角矩阵组成的情况下为一对角矩阵,q阶方阵阶方阵L在仅由二端线性电感在仅由二端线性电感组成的情况下为一对角矩阵组成的情况下为一对角矩阵,l对于电感组成的对于电感组成的q口网络口网络 r阶方阵阶方阵E在仅由二端线性在仅由二端线性E型元型元件组成的情况下为一对角矩阵件组成的情况下为一对角矩阵,l l对于对于E

42、 E型元件组成的型元件组成的r r口网络口网络设设第第k k个个E E型型元件的元件的阶数为阶数为mk，需要需要补充补充(mk-1)-1)个个状态方程，状态方程，这样的方程这样的方程共有共有r r个个！l对于对于D D型元件型元件组成的组成的s s口网络口网络s阶方阵阶方阵D在仅由二端线性在仅由二端线性D型元型元件组成的情况下为一对角矩阵件组成的情况下为一对角矩阵,设第设第k k个个D D型型元件的元件的阶阶数为数为nk，需要需要补充补充(nk-1)-1)个个状态方程，状态方程，这样的方程这样的方程共有共有s s个个！(a)(b)(c)端口端口电电压压与电与电流流之间的之间的关系关系为为l对于

43、对于RLCRLC非常态非常态网络网络抽出的抽出的端口数目最少端口数目最少,连支电容连支电容和和树支电感树支电感不单独形不单独形成端口！成端口！图中图中多口电阻网络多口电阻网络,对应全部对应全部连连支电容开路支电容开路和全部和全部树支电感短树支电感短路路的等效的等效多端口网络！多端口网络！二、二、非线非线性性动态动态网络的端口法网络的端口法对于对于非线性时不变非线性时不变RLCRLC网络一网络一般网络结构为般网络结构为YR和和XR为为非线性电阻非线性电阻p口口网络的网络的端口变量端口变量；YD和和ZD为为储能元件储能元件构成的构成的q口口网络的网络的端口变端口变量量；v1(t)和和v2(t)表示

44、网络的输入电源。表示网络的输入电源。设线性设线性(p+qp+q)口口电阻网络电阻网络具有下列的混合描述具有下列的混合描述(p+qp+q)口口电阻电阻网络！网络！（-）XD为电容为电容电荷电荷和电感和电感磁链磁链组成的组成的列向量列向量设设非线性电阻非线性电阻的赋定关系为的赋定关系为储能元件储能元件的赋定关系为的赋定关系为THEEND非线非线性网络的方程为性网络的方程为例例1 1 列写如图所示电路的列写如图所示电路的状状态态方方程。程。解解对接有电容对接有电容C的节点的节点a列写节点方程，得列写节点方程，得选电容电压选电容电压uC和电感电流和电感电流i1、i2为状态变量为状态变量例题集对对含含有

45、有L1的的回回路路C-L1-uS和和含含有有L2的的回回路路C-L2-R-uS分分别别列列写写回回路路方方程程，对上述方程进行对上述方程进行整理整理并写并写成矩阵形式成矩阵形式，得，得 返回返回(back)例例2 2 列写如图所示电路的状态方程。列写如图所示电路的状态方程。解解每每个个元元件件作作为为一一条条支支路路，可可作作出出图图示示的的有向图有向图(实线实线为为树支树支)。对基本割集列写对基本割集列写KCL方程，得方程，得选选和和为状态变量。为状态变量。对基本回路列写对基本回路列写KVLKVL方程，得方程，得写成写成标准标准形式，得形式，得 返回返回(back)例例3 3 列写图示列写图

46、示电路电路的的状状态态方方程。程。解解对对C1、C3和和us组成组成全电容回路全电容回路,故故u1和和u3两个两个电容电容电压电压只能只能选其选其中之中之一一为状态变量；为状态变量；应用应用KVL得得对对L2、L4和和is构成构成全电感割集全电感割集,电路的有向图如图示电路的有向图如图示,故选故选u1和和i2为为状状态态变变量。量。故故i2和和i4两个两个电感电感电流电流只能只能选其选其中之中之一一为为状状态态变变量量。应用应用KCL得得对基本回路列写对基本回路列写KVLKVL方程，得方程，得对基本割集列写对基本割集列写KCLKCL方程，得方程，得消去消去u3和和i4 4，整理成整理成标准标准

47、形式形式状状态态方方程，有程，有 返回返回(back)例例4 4 列出图示电路的列出图示电路的状状态态方方程和程和输出输出方程。设输出为电阻电压方程。设输出为电阻电压u3 3和和u4 4。解解电路的有向图如图示。电路的有向图如图示。选取选取uc、i1和和i2为为状状态态变变量量 含电容的基本割集含电容的基本割集电流电流方程为方程为含电感的基本回路含电感的基本回路电压电压方程分别为方程分别为对基本割集列写对基本割集列写电流电流方程，得方程，得代入基本回路电压方程，得代入基本回路电压方程，得对基本回路列电压方程，得对基本回路列电压方程，得状态方程的矩阵形式为状态方程的矩阵形式为由和根据欧姆定律根据

48、欧姆定律返回返回(back)输出方程的矩阵形式为输出方程的矩阵形式为含含高阶元件高阶元件的电路例题的电路例题例例5 5 试列写如图所示网络的试列写如图所示网络的状状态态方方程。程。高阶元件高阶元件D D的赋定关系为的赋定关系为解解由由KVL和电感的和电感的VAR得得由由KCL和高阶元件赋定关系及电导和高阶元件赋定关系及电导VAR得得令令所求的所求的状状态态方方程为程为返回返回(back)线性线性时变时变网络例题网络例题例例6 6试写出图示时变网络的状态方程。试写出图示时变网络的状态方程。解解取电感电流取电感电流i和电容电荷和电容电荷q为状态变量为状态变量图中图中则则矩阵形式的状态方程为矩阵形式

49、的状态方程为返回返回(back)若取电感电流若取电感电流i和电容和电容电压电压uC为为状状态态变变量，则电路的状态方程为量，则电路的状态方程为非非线线性动态电路性动态电路例例7 7 列写图示电路的状态方程。列写图示电路的状态方程。解解选电容电压选电容电压uC和电感电流和电感电流iL作为状作为状态变量。态变量。由由KCL和电容的和电容的VAR得得由由KVL和线性电感的和线性电感的VAR 图中非线性电阻的伏安关系为图中非线性电阻的伏安关系为将非线性电阻的将非线性电阻的VAR代入上式代入上式,并注意并注意到到iRiL，得，得返回返回(back)电路的电路的状状态态方方程程例8试列写图示电路的状态方程

50、。其中,非线性电容的特性方程为uCh(q),非线性电感的特性方程为iLf()。解解取电容取电容电荷电荷q和电感和电感磁链磁链为为状状态态变变量。量。由KCL得由KVL得将将iLf()和和uCh(q)代入，代入，消去非状消去非状态变量态变量返回返回(back)电路的电路的状状态态方方程为程为(a)例例9 9 图(a)所示的电路是一个出现非物理现象的电路。图中,电感为线性元件,非线非线性电阻为压控电阻为压控的,其赋定关系为iRf(uR)uRu3R3。对图示电路,应选电感电感支路为连支连支,电阻电阻支路为树支树支。由于树支电阻为压控的,不满足元件特性条件不满足元件特性条件,故无法列出状态方程。但我们