数学建模第四章(微分方程).ppt

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1、 当我们描述实际对象的某些特性随时间（空当我们描述实际对象的某些特性随时间（空间）而演变的过程、分析它的变化规律、预测它间）而演变的过程、分析它的变化规律、预测它的未来形态、研究它的控制手段时，通常要建立的未来形态、研究它的控制手段时，通常要建立对象的动态模型对象的动态模型 在许多实际问题中，当直接导出变量之间的在许多实际问题中，当直接导出变量之间的函数关系较为困难，但导出包含未知函数的导数函数关系较为困难，但导出包含未知函数的导数或微分的关系式较为容易时，可用建立或微分的关系式较为容易时，可用建立微分方程微分方程模型模型的方法来研究该问题的方法来研究该问题第四章第四章 微分方程建模微分方程建

2、模动态动态问题问题 描述对象特征随时间描述对象特征随时间(空间空间)的演变过程的演变过程 分析对象特征的变化规律分析对象特征的变化规律 预报对象特征的未来性态预报对象特征的未来性态 研究控制对象特征的手段研究控制对象特征的手段 根据函数及其变化率之间的关系确定函数根据函数及其变化率之间的关系确定函数微分微分方程方程建模建模 根据建模目的和问题分析作出简化假设根据建模目的和问题分析作出简化假设 按照内在规律或用类比法建立微分方程按照内在规律或用类比法建立微分方程一般处理动态连续问题一般处理动态连续问题 微分方程应用问题大多是物理或几何方面的典型微分方程应用问题大多是物理或几何方面的典型问题，假设

3、条件已经给出，只需用数学符号将已知规律问题，假设条件已经给出，只需用数学符号将已知规律表示出来，即可列出方程，求解的结果就是问题的答案，表示出来，即可列出方程，求解的结果就是问题的答案，答案是唯一的，已经确定的而本章主要讨论实际问题，答案是唯一的，已经确定的而本章主要讨论实际问题，要分析具体情况或进行类比才能给出假设条件作出不要分析具体情况或进行类比才能给出假设条件作出不同的假设，就得到不同的方程，所以是事先没有答案的同的假设，就得到不同的方程，所以是事先没有答案的求解的结果还要用来解释实际现象并接受检验求解的结果还要用来解释实际现象并接受检验 微分方程建模是数学建模的重要方法之一，在自然微分

4、方程建模是数学建模的重要方法之一，在自然科学以及工程、经济、军事、社会等学科中，许多实际科学以及工程、经济、军事、社会等学科中，许多实际问题的数学描述将导致求解微分方程的定解问题问题的数学描述将导致求解微分方程的定解问题.1.1.根据实际要求确定要研究的量（自变量、根据实际要求确定要研究的量（自变量、未知函数、必要的参数等）并确定坐标系未知函数、必要的参数等）并确定坐标系 2.2.找出这些量所满足的动态特征和基本找出这些量所满足的动态特征和基本规律规律 3.3.运用这些规律列出方程和定解条件，运用这些规律列出方程和定解条件，从而建立微分方程模型从而建立微分方程模型 把各种实际问题化成微分方程的

5、定解问把各种实际问题化成微分方程的定解问题，建立微分方程模型，可按以下步骤：题，建立微分方程模型，可按以下步骤：在工程实际问题中在工程实际问题中 *“改变改变”、“变化变化”、“增加增加”、“减少减少”等关键等关键词提示我们注意什么量在变化词提示我们注意什么量在变化.关键词关键词“速率速率”、“增长增长”“衰变衰变”，“边边际的际的”，常涉及到导数，常涉及到导数.建建立立方方法法常常用用微微分分方方程程运用已知规律列方程运用已知规律列方程 利用平衡与增长式利用平衡与增长式 运用微元分析法运用微元分析法模拟近似法模拟近似法1.根据规律列方程利用数学、力学、物理、化学根据规律列方程利用数学、力学、

6、物理、化学等学科中的定理或许多经过实践或实验检验的规律等学科中的定理或许多经过实践或实验检验的规律和定律，如牛顿第二定律、放射性物质的放射性规和定律，如牛顿第二定律、放射性物质的放射性规律等建立问题的微分方程模型律等建立问题的微分方程模型 2.微元分析法自然界中的许多现象所满足的规微元分析法自然界中的许多现象所满足的规律是通过变量的微元之间的关系式来表达的。对于律是通过变量的微元之间的关系式来表达的。对于这类问题，不能直接列出自变量和未知函数及其变这类问题，不能直接列出自变量和未知函数及其变化率之间的关系式，而是通过微元分析法，利用已化率之间的关系式，而是通过微元分析法，利用已知规律建立变量的

7、微元之间的关系式，再通过取极知规律建立变量的微元之间的关系式，再通过取极限的方法得到微分方程模型限的方法得到微分方程模型与第一种方法不同的与第一种方法不同的是对微元而不是直接对函数及其导数应用规律是对微元而不是直接对函数及其导数应用规律 3.3.模拟近似法模拟近似法在生物、经济等学科的实际问在生物、经济等学科的实际问题中，许多现象的规律性不很清楚，即使有所了题中，许多现象的规律性不很清楚，即使有所了解也是极其复杂的，建模时解也是极其复杂的，建模时常常需要根据实际资料或大量的实验数据，提出各种假设，根据假设，在不同的假设下去模拟实际现象所满足的规律，然后利用适当的数学方法建立微分方程模型型然然后

8、从数学上求解或分析所建方程及其解的性质，后从数学上求解或分析所建方程及其解的性质，再去同实际情况对比，检验此模型能否刻画、模再去同实际情况对比，检验此模型能否刻画、模拟某些实际现象拟某些实际现象 4.4.利用平衡与增长式利用平衡与增长式许多研究对象在数量上常许多研究对象在数量上常常表现出某种常表现出某种不变的特性不变的特性，利用变量间的平衡与增，利用变量间的平衡与增长特性，可分析和建立有关变量间的相互关系长特性，可分析和建立有关变量间的相互关系.例例1 一个较热的物体置于室温为一个较热的物体置于室温为180c的的房间内，该物体最初的温度是房间内，该物体最初的温度是600c，3分钟以后分钟以后降

9、到降到500c.想知道它的温度降到想知道它的温度降到300c 需要多少时需要多少时间？间？10分钟以后它的温度是多少？分钟以后它的温度是多少？牛顿冷却（加热）定律：牛顿冷却（加热）定律：将温度为将温度为T的物体的物体放入处于常温放入处于常温 m 的介质中时，的介质中时，T的变化的变化速率速率正正比于比于T与周围介质的温度差与周围介质的温度差.分析分析：假设房间足够大，放入温度较低或较：假设房间足够大，放入温度较低或较高的物体时，室内温度基本不受影响，即室温高的物体时，室内温度基本不受影响，即室温分布均衡分布均衡,保持为保持为m m，采用牛顿冷却定律是一个，采用牛顿冷却定律是一个相当好的近似相当

10、好的近似 建立模型建立模型：设物体在冷却过程中的温度为：设物体在冷却过程中的温度为T(t)，t0，“T的变化速率正比于的变化速率正比于T与周围介质的温度差与周围介质的温度差”翻译为翻译为数学语言数学语言建立微分方程建立微分方程其中参数其中参数k 0，m=18.求得通解为求得通解为代入条件，求得代入条件，求得c=42，k=,最后得最后得 T(t)=18+42 ,t 0.结果结果：T(10)=18+42 =25.870，该物体温度降至该物体温度降至300c 需要需要8.17分钟分钟.例例2 2、车间空气的清洁问题、车间空气的清洁问题 问题问题：已知一个车间体积为V立方米，其中有一台机器每分钟能产生

11、r立方米的二氧化碳（CO2），为清洁车间里的空气，降低空气中的CO2含量，用一台风量为K立方米/分钟的鼓风机通入含CO2为m%的新鲜空气来降低车间里的空气的CO2含量假定通入的新鲜空气能与原空气迅速地均匀混合，并以相同的风量排出车间又设鼓风机开始工作时车间空气中含x0%的CO2.问经过t时刻后，车间空气中含百分之几的CO2?最多能把车间空气中CO2的百分比降到多少？设t时刻（单位为分钟）车间每立方米空气含CO2的百分比为x(t)%,考虑时间区间并利用质量守恒定律：内车间空气含CO2量的“增加”等于 时间内进入的新鲜空气中含CO2的量加上机器产生的CO2的量减去排出空气中CO2的量用数学公式表示

12、出来就是分析和建模分析和建模于是，令得其中，解为这就是t时刻空气中含CO2的百分比。通常否则含CO2的量只会增加。令得这表明车间空气中含CO2的量最多只能降到讨论：如果设V=10000立方米，r=0.3立方米/分钟，K=1500立方米/分钟，m=0.04%，x0=0.12%。试问：（1）需多少分钟后，车间空气中含CO2的百分比低于0.08%?（2）车间空气中含CO2的百分比最多只能降到多少？此外，许多饲养场也要在限定的时间内使牲畜或此外，许多饲养场也要在限定的时间内使牲畜或家禽增肥到一定重量出售，取得最大利润他们应该家禽增肥到一定重量出售，取得最大利润他们应该怎么办？怎么办？对于人类来说，肥胖

13、症或减肥问题越来越引起人对于人类来说，肥胖症或减肥问题越来越引起人们的广泛关注一时间，爱美的人，害怕肥胖的人面们的广泛关注一时间，爱美的人，害怕肥胖的人面对各种减肥食品、药物或疗法简直无所从适从对各种减肥食品、药物或疗法简直无所从适从试从数学上讨论减肥问题（即科学减肥的数学）试从数学上讨论减肥问题（即科学减肥的数学）分析分析：用：用热量平衡方程热量平衡方程来解此问题来解此问题4.1 减肥问题的数学模型减肥问题的数学模型热量热量B，活动消耗热量，活动消耗热量C体重体重，并且理想假定增，并且理想假定增重、减重的重、减重的热量主要由脂肪提供，每公斤脂肪量主要由脂肪提供，每公斤脂肪转化化的的热量量为D

14、，记W(t)为体重，于是有下述平衡方程体重，于是有下述平衡方程得得微分方程微分方程设每天的饮食可产生热量设每天的饮食可产生热量A，用于新陈代谢消耗，用于新陈代谢消耗其中常数其中常数 与食量、新陈代谢有关，与食量、新陈代谢有关，与活动量有关与活动量有关.为初始体重为初始体重.解得解得分析分析：1.理论上增重，减肥都是可能的，因为当理论上增重，减肥都是可能的，因为当 时，时，调节调节a与与b可得到你所愿望的可得到你所愿望的那个值近代科技发展表明新陈代谢也是可调节的，那个值近代科技发展表明新陈代谢也是可调节的，但如何调节但如何调节a，b要靠医生、营养师、生物学家等一要靠医生、营养师、生物学家等一起来

15、做起来做同时可以看出，通过减小同时可以看出，通过减小 a 或增大或增大 b 可达减肥目的可达减肥目的(1)减小减小即少吃，可以控制体重的增加（少吃热量大的食即少吃，可以控制体重的增加（少吃热量大的食物，如糖、冰淇淋等）物，如糖、冰淇淋等）(2)增大增大即增加运动量可减轻体重即增加运动量可减轻体重反之，通过增大反之，通过增大 a 或减小或减小b 可达增肥目的即可达增肥目的即“多多吃少动，易肥胖吃少动，易肥胖”美国养牛场作法：安装电网，使牛不动，来增肥美国养牛场作法：安装电网，使牛不动，来增肥2.只吃维持生命所需的那部分新陈代谢的热量是不行的，因为A=B使得a=0，要导致死亡3.只吃不活动也不行，

16、因为这时b=0，.说明要得肥胖症，很危险，也要导致死亡（当然体重不会无限变大）4.举重运动员控制体重数学问题：已知 ，要达到的值为 ，其期限为t，求a，b的最佳组合，使 成立但解决这个问题还要靠教练，医生与运动员4.2 为什么要用三级火箭发射人造卫星为什么要用三级火箭发射人造卫星问题提出问题提出随着科学技术的不断发展，多级火箭早已取代了原随着科学技术的不断发展，多级火箭早已取代了原始的早期火箭的框架，可为什么不能用一级火箭而始的早期火箭的框架，可为什么不能用一级火箭而必须用多级火箭来发射人造卫星？为什么一般都采必须用多级火箭来发射人造卫星？为什么一般都采用三级火箭系统？用三级火箭系统？建立数学

17、模型解决这个问题建立数学模型解决这个问题.一些关于火箭的图片一些关于火箭的图片发动机的功力发动机的功力火箭的结构外型涉及到强度与阻力火箭的结构外型涉及到强度与阻力火箭的控制系统火箭的控制系统 运载火箭是一个十分复杂的系统，影响它飞行运载火箭是一个十分复杂的系统，影响它飞行的因素：的因素：问题分析问题分析（1 1）我们考虑卫星的运行速度、火箭的推力和火）我们考虑卫星的运行速度、火箭的推力和火箭与卫星的质量箭与卫星的质量.假设：假设：（3 3）卫星轨道为过地球中心的某一平面上卫星轨道为过地球中心的某一平面上的圆，卫星在此轨道上作匀速圆周运动的圆，卫星在此轨道上作匀速圆周运动.（4 4）地球是固定于

18、空间中的均匀球体，其它）地球是固定于空间中的均匀球体，其它星球对卫星的引力忽略不计星球对卫星的引力忽略不计.（2 2）火箭的结构、外形与控制等问题能满足保）火箭的结构、外形与控制等问题能满足保 证火箭正常运行的需要证火箭正常运行的需要.r卫星R设卫星质量是设卫星质量是m,地球质量是地球质量是M,地球对卫星的引力地球对卫星的引力:在地面有在地面有:故引力故引力:卫星所受到的引力也就是它作卫星所受到的引力也就是它作匀速圆周运动的向心力匀速圆周运动的向心力故又有故又有:1 1、为什么不能用一级火箭发射人造卫星、为什么不能用一级火箭发射人造卫星?（1 1）卫星能在轨道上运动的最低速度卫星能在轨道上运动

19、的最低速度 设设g=9.8=9.8m/s2 2，（2 2）火箭推进力及速度的分析）火箭推进力及速度的分析 假设：假设：将火箭简化为燃料仓将火箭简化为燃料仓+发动机，发动机，空气阻力不计空气阻力不计 记火箭在时刻记火箭在时刻 t 的质量和速度分别为的质量和速度分别为m(t)和和v(t)火箭喷出的气体相对于火箭的速度为火箭喷出的气体相对于火箭的速度为u（常数），（常数），由动量守恒定理：由动量守恒定理：v0 0和和m0 0一定，火箭速度一定，火箭速度v(t)由喷发速度由喷发速度u及质量比决定及质量比决定由此解得：由此解得：现将火箭现将火箭卫星系统的质量分成三部分：卫星系统的质量分成三部分：（1 1

20、）mP（有效负载，如卫星）（有效负载，如卫星）（2 2）mF（燃料质量）（燃料质量）（3 3）mS（结构质量（结构质量如外壳、燃料容器及推进器）如外壳、燃料容器及推进器）最终质量为最终质量为mP+mS，初始速度为，初始速度为0，所以末速度：，所以末速度：根据目前的技术条件和燃料性根据目前的技术条件和燃料性能，能，u只能达到只能达到3公里公里/秒，即使秒，即使发射空壳火箭，其末速度也不发射空壳火箭，其末速度也不超过超过6.6公里公里/秒。秒。目前根本不目前根本不可能用一级火箭发射人造卫星可能用一级火箭发射人造卫星火箭推进力在加速整个火箭时，其火箭推进力在加速整个火箭时，其实际效益越来越低。如果将

21、结构质实际效益越来越低。如果将结构质量在燃料燃烧过程中量在燃料燃烧过程中不断减少，那不断减少，那么末速度能达到要求吗？么末速度能达到要求吗？2 2、理想火箭模型、理想火箭模型 得到：得到：解得：解得：由动量守恒定理：由动量守恒定理：喷出气体动量喷出气体动量丢弃的结构部分的动量丢弃的结构部分的动量 记结构质量记结构质量mS在在mS+mF中占的比例为中占的比例为 ，假设，假设火箭理想地好，它能随时抛弃无用的结构，即结构火箭理想地好，它能随时抛弃无用的结构，即结构质量与燃料质量以质量与燃料质量以 与与 的比例同时减少的比例同时减少.理想火箭与一级火箭最大区别在于，当火箭燃理想火箭与一级火箭最大区别在

22、于，当火箭燃料耗尽时，结构质量也逐渐抛尽，最终质量为料耗尽时，结构质量也逐渐抛尽，最终质量为mP，所以最终速度为：所以最终速度为：只要只要m0足够大，我们可以足够大，我们可以使卫星达到我们希望它具使卫星达到我们希望它具有的任意速度。有的任意速度。考虑到空气阻力和重力等因素，估考虑到空气阻力和重力等因素，估计（按比例的粗略估计）发射卫星计（按比例的粗略估计）发射卫星要使要使v=10.5公里公里/秒才行，则可推秒才行，则可推算出算出m0/mp约为约为51,即发射一吨重的即发射一吨重的卫星大约需要卫星大约需要50吨重的理想火箭吨重的理想火箭 3 3、理想过程的实际逼近、理想过程的实际逼近多级火箭卫星

23、系统多级火箭卫星系统 记火箭级数为记火箭级数为n，当第，当第i级火箭的燃料烧尽时，第级火箭的燃料烧尽时，第i+1+1级火箭立即自动点火，并抛弃已经无用的第级火箭立即自动点火，并抛弃已经无用的第i级火级火箭用箭用mi表示第表示第i级火箭的质量，级火箭的质量，mP表示有效负载表示有效负载 为简单起见，先作如下假设：为简单起见，先作如下假设：（iiii）设燃烧级初始质量与其负载质量之比）设燃烧级初始质量与其负载质量之比保持不变，并记比值为保持不变，并记比值为k （i i）设各级火箭具有相同的）设各级火箭具有相同的 ,即即i级火箭中级火箭中 为结构质量，为结构质量，为燃料质量为燃料质量.考虑二级火箭：

24、考虑二级火箭：其末速度为：其末速度为：当第二级火箭燃尽时，末速度为：当第二级火箭燃尽时，末速度为：第二级火箭点火第二级火箭点火.由由中情形中情形(2)(2)的分析，的分析，当第一级火箭燃烧完时当第一级火箭燃烧完时 又由假设（又由假设（ii），），m2=kmP，m1=k(m2+mP)，代入上式并，代入上式并仍设仍设u=3km/s，且为了计算方便，近似取，且为了计算方便，近似取=0.1，可得：，可得：要使要使v2=10.5公里公里/秒，则应使秒，则应使:即即k11.2，而，而:类似地，可以推算出三级火箭：类似地，可以推算出三级火箭：在同样假设下在同样假设下:要使要使3=10.5公里公里/秒，则秒，

25、则(k+1)/(0.1k+1)3.21，k3.25，而，而（m1+m2+m3+mP）/mP77。三级火箭比二级火箭三级火箭比二级火箭几乎节省了一半几乎节省了一半 是否三级火箭就是最省呢是否三级火箭就是最省呢？最简单的方法就是对四？最简单的方法就是对四级、五级等火箭进行讨论。级、五级等火箭进行讨论。考虑考虑n n级火箭：级火箭：记记n级火箭的总质量（包含有效负载级火箭的总质量（包含有效负载mP）为）为m0，在，在相同的假设下可以计算出相应的相同的假设下可以计算出相应的m0/mP的值，见下表的值，见下表n（级数）（级数）1 2 3 4 5 （理想）（理想）火箭质量火箭质量(吨吨)/149 77 6

26、5 60 50表由于工艺的复杂性及每节火箭由于工艺的复杂性及每节火箭都需配备一个推进器，所以使都需配备一个推进器，所以使用四级或四级以上火箭是不合用四级或四级以上火箭是不合算的，三级火箭提供了一个最算的，三级火箭提供了一个最好的方案。好的方案。当然若燃料的价钱很便宜当然若燃料的价钱很便宜而推进器的价钱很贵切且而推进器的价钱很贵切且制作工艺非常复杂的话，制作工艺非常复杂的话，也可选择二级火箭。也可选择二级火箭。4 4、火箭结构的优化设计、火箭结构的优化设计 将将3 3中的假设中的假设(ii)(ii)去掉，在各级火箭具有相同去掉，在各级火箭具有相同的粗的粗糙假设下，来讨论火箭结构的最优设计。糙假设

27、下，来讨论火箭结构的最优设计。W1=m1+mn+mP W2=m2+mn+mPWn=mn+mPWn+1=mP记记应用（应用（*）可求得末速度：）可求得末速度：记记则则又又问题化为，在问题化为，在n一定的条件下，求使一定的条件下，求使k1 k2kn最小最小 解条件极值问题：解条件极值问题：或等价地求解无约束极值问题：或等价地求解无约束极值问题：可以解出最优结构设计应满足：可以解出最优结构设计应满足：火箭结构优化设计讨论中火箭结构优化设计讨论中我们得到与假设（我们得到与假设（ii）相）相符的结果，这说明前面的符的结果，这说明前面的讨论都是有效的！讨论都是有效的！附：不采用4级火箭的原因1：多级火箭采

28、用发动机与1、2级火箭不同，级数越多，要求的技术越高。2：需要解决发动机的高空启动技术。3：发射时的故障率以级数成几何增长。例子：长征3号火箭一共发射12次，其中，第1、8、11次失败，原因就是第3级火箭的发动机发动失败及出现故障。为了保持自然资料的合理开发与利用，人类必为了保持自然资料的合理开发与利用，人类必须保持并控制生态平衡，甚至必须控制人类自身的须保持并控制生态平衡，甚至必须控制人类自身的增长增长 本节将建立简单的人口增长模型，以简略分析本节将建立简单的人口增长模型，以简略分析一下这方面的问题一下这方面的问题.一般生态系统的分析可以通过一般生态系统的分析可以通过一些简单模型的复合来研究

29、一些简单模型的复合来研究美丽的大自然美丽的大自然 人口的数量本应取离散值，但由于人口的数量本应取离散值，但由于人口数量一般较大，为建立微分方程模人口数量一般较大，为建立微分方程模型，可将人口数量看作连续变量，甚至型，可将人口数量看作连续变量，甚至允许它为可微变量，由此引起的误差将允许它为可微变量，由此引起的误差将是十分微小的是十分微小的离散化为连续，方离散化为连续，方便研究便研究4.3 人口增长模型人口增长模型一一、问题的提出问题的提出二 人口、工业化的资金、粮食、不可再生资人口、工业化的资金、粮食、不可再生资源、环境污染是人类在地球上生存所面临的五大问源、环境污染是人类在地球上生存所面临的五

30、大问题，而人口问题是这五大问题之首题，而人口问题是这五大问题之首.三三 人口在不断的增长，人口在不断的增长，其增长有无规律可循？其增长有无规律可循？四四 目标：预测人口发展趋势；控制人口增长目标：预测人口发展趋势；控制人口增长.二二、建模准备建模准备三三 资料报告，公元前世界人口已接近资料报告，公元前世界人口已接近3亿（粗略估计）亿（粗略估计）四四 近一千年人口统计比较精细看下图近一千年人口统计比较精细看下图背景背景 年年 1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999人口人口(亿亿)5 10 20 30 40 50 60世界人口增长概况世界人口增长概况中国人口增长概况中

31、国人口增长概况 年年 1908 1933 1953 1964 1982 1990 1995 2000人口人口(亿亿)3.0 4.7 6.0 7.2 10.3 11.3 12.0 13.0联合国从联合国从1988年起，把年起，把7月月11日定为世界人口日日定为世界人口日模型假设模型假设人口自然增人口自然增长长率率 r（r=b-d,b为出为出生率，生率，d为死亡率）为死亡率）为常数为常数即：即：单单位位时间时间内人口的增内人口的增长长量与量与当当时时的人口呈正比的人口呈正比模型建立模型建立1.指数增长模型指数增长模型(Malthus 模型模型)三三 、建立模型建立模型马尔萨斯马尔萨斯(Malthu

32、s 1766-1834)是英国的人是英国的人口学家他根据百余年的人口统计资料口学家他根据百余年的人口统计资料,于于1798年提出著名的年提出著名的人口指数增长模型人口指数增长模型.x(t)时刻时刻t的的人口，人口，模型分析模型分析人口将人口将按指数规律无限增长按指数规律无限增长！人口将人口将始终保持不变始终保持不变！人口将人口将按指数规律减少至绝灭按指数规律减少至绝灭！模型求解模型求解xtO 马尔萨斯模型的一个显著特点马尔萨斯模型的一个显著特点：人口数量翻一人口数量翻一番所需的时间是固定的番所需的时间是固定的令人口数量翻一番所需的时间为令人口数量翻一番所需的时间为T，则有：，则有：人口倍增时间

33、人口倍增时间模型分析模型分析将将t以年为单位离散化，模型表明人口以以年为单位离散化，模型表明人口以 为公比为公比的几何级数增长的几何级数增长所以可用近似关系所以可用近似关系 ,指数增长模型离散化的近似表示指数增长模型离散化的近似表示因为这时因为这时r表示年增长率表示年增长率,通常通常 比较历年的人口统计资料，比较历年的人口统计资料，十九世纪以前的欧十九世纪以前的欧洲人口增长的实际情况与马尔萨斯模型的预报结果洲人口增长的实际情况与马尔萨斯模型的预报结果基本相符，例如，基本相符，例如，19611961年世界人口数为年世界人口数为30.6 30.6（即（即3.061093.06109），人口增长率约

34、为），人口增长率约为2%2%，人口数大约每，人口数大约每3535年增加一倍。检查年增加一倍。检查17001700年至年至19611961的的260260年人口实际数年人口实际数量，发现两者几乎完全一致，且按马尔萨斯模型计量，发现两者几乎完全一致，且按马尔萨斯模型计算，人口数量每算，人口数量每34.634.6年增加一倍，两者也几乎相同。年增加一倍，两者也几乎相同。但后人用他与十九世纪许多国家的人口资料比较时但后人用他与十九世纪许多国家的人口资料比较时发现与实际人口有相当大的差异。发现与实际人口有相当大的差异。模型检验模型检验Malthus模型预测美国人口模型预测美国人口模型预测模型预测 假如人口

35、数真能保持每假如人口数真能保持每34.6年增加一倍，那么人口数将年增加一倍，那么人口数将以几何级数的方式增长。例如，到以几何级数的方式增长。例如，到2510年，人口达年，人口达21014个，个，即使海洋全部变成陆地，每人也只有即使海洋全部变成陆地，每人也只有9.3平方英尺的活动范围，平方英尺的活动范围，而到而到2670年，人口达年，人口达3.61016个，只好一个人站在另一人的个，只好一个人站在另一人的肩上排成二层了。肩上排成二层了。故故马尔萨斯模型是不完善的。马尔萨斯模型是不完善的。MalthusMalthus模型模型实际上只有在群体总数实际上只有在群体总数不太大时才合理，到总数增大时，不太

36、大时才合理，到总数增大时，生物群体的各成员之间由于有限的生物群体的各成员之间由于有限的生存空间，有限的自然资源及食物生存空间，有限的自然资源及食物等原因，就可能发生生存竞争等现等原因，就可能发生生存竞争等现象。因此象。因此随着人口的增加，自然资随着人口的增加，自然资源、环境等因素对人口的继续增长源、环境等因素对人口的继续增长的阻滞作用愈来愈明显的阻滞作用愈来愈明显优点优点优点优点短期预报比较准确短期预报比较准确缺点缺点缺点缺点不适合中长期预报不适合中长期预报原因原因原因原因预报时假设人口增长率预报时假设人口增长率 r 为常数没有为常数没有考虑环境对人口增长的制约作用考虑环境对人口增长的制约作用

37、模型评价模型评价所以所以MalthusMalthus模型假设的人口模型假设的人口净净增长率不可能始终保持常数，增长率不可能始终保持常数，它应当与人口数量有关。它应当与人口数量有关。2.2.阻滞增长模型阻滞增长模型(Logistic模型模型)在马尔萨斯后，荷兰生物学家威赫尔斯特在马尔萨斯后，荷兰生物学家威赫尔斯特（Verhulst）提出一个新的假设：）提出一个新的假设：人口的净增长率人口的净增长率r随着人口随着人口 的增加而减少的增加而减少人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用模型假

38、设模型假设人口净增长率人口净增长率 r(t)是是 x(t)的线性减函数的线性减函数.xm 为为考考虑虑到受自然到受自然资资源和源和环环境条件限制所能容境条件限制所能容纳纳的最大人口数量的最大人口数量（称（称最大人口容量最大人口容量最大人口容量最大人口容量）.当当 时时净增长率趋于零净增长率趋于零.模型建立模型建立阻滞增长模型阻滞增长模型(Logistic模型模型)模型求解模型求解模型分析（定性分析）模型分析（定性分析）人口将人口将递减并趋于递减并趋于xm！人口将人口将始终保持始终保持xm不变不变！人口将人口将递增并趋于递增并趋于xm！无论在哪种情况下，人口最终将趋向于最大人口容量！无论在哪种情

39、况下，人口最终将趋向于最大人口容量！dx/dtx0 xmxm/2xmtx0 x(t)S形曲线形曲线,x增加先快后慢增加先快后慢x0 xm/2阻滞增长模型阻滞增长模型(Logistic模型模型)人口总数达到人口最大容量人口总数达到人口最大容量xm一一半以前加速增长，过了该点以后，半以前加速增长，过了该点以后，增长率增长率r逐渐减小，并且趋于零逐渐减小，并且趋于零.tm人口增长最快点人口增长最快点参数估计参数估计用指数增长模型或阻滞增长模型作人口用指数增长模型或阻滞增长模型作人口预报，必须先估计模型参数预报，必须先估计模型参数 r 或或 r,xm 利用统计数据用最小二乘法作拟合利用统计数据用最小二

40、乘法作拟合例：美国人口数据（单位例：美国人口数据（单位百万）百万）1860 1870 1880 1960 1970 1980 1990 31.4 38.6 50.2 179.3 204.0 226.5 251.4专家估计专家估计阻滞增长模型阻滞增长模型(Logistic模型模型)r=0.2557,xm=392.1模型检验模型检验用模型计算用模型计算2000年美国人口，与实际数据比较年美国人口，与实际数据比较实际为实际为281.4(百万百万)模型应用模型应用预报美国预报美国2010年的人口年的人口加入加入2000年人口数据后重新估计模型参数年人口数据后重新估计模型参数Logistic 模型在经济

41、领域中的应用模型在经济领域中的应用(如耐用消费品的售量如耐用消费品的售量)阻滞增长模型阻滞增长模型(Logistic模型模型)r=0.2490,xm=434.0 x(2010)=306.0优点优点中期预报比较准确中期预报比较准确缺点缺点理论上很好，实用性不强理论上很好，实用性不强原因原因预报时假设固有人口增长率预报时假设固有人口增长率 r 以及最大以及最大人口容量人口容量 xm 为定值为定值实际上这两个参数（特别是实际上这两个参数（特别是 xm）很难）很难确定，而且会随着社会发展情况变化而确定，而且会随着社会发展情况变化而变化变化模型评价模型评价Malthus模型和模型和Logistic模型的

42、总结模型的总结 Malthus模型和模型和Logistic模型模型均为模拟近似方程均为模拟近似方程前一模型假设了种群增长率前一模型假设了种群增长率r为一常数（为一常数（r称为该称为该种群的内增长率）后一模型则假设环境只能供种群的内增长率）后一模型则假设环境只能供养一定数量的种群，从而引入了一个竞争项养一定数量的种群，从而引入了一个竞争项 用模拟近似法建立微分方程来研究实际问题时用模拟近似法建立微分方程来研究实际问题时必须对求得的解进行检验，看其是否与实际情况必须对求得的解进行检验，看其是否与实际情况相符或基本相符相符性越好则模拟得越好，否相符或基本相符相符性越好则模拟得越好，否则找出不相符的主

43、要原因，对模型进行修改则找出不相符的主要原因，对模型进行修改 MalthusMalthus模型与模型与LogisticLogistic模型虽然都是为了研究模型虽然都是为了研究人口增长情况而建立的，但它们也可用来研究其他人口增长情况而建立的，但它们也可用来研究其他实际问题，只要这些实际问题的数学模型有相同的实际问题，只要这些实际问题的数学模型有相同的微分方程即可微分方程即可 一、一、问题的提出问题的提出 第一次世界大战期间，战争给第一次世界大战期间，战争给 人们带来了许多灾难一场战争的结人们带来了许多灾难一场战争的结 局怎样，是人们关心的问题，同样也局怎样，是人们关心的问题，同样也 引起了数学家

44、们的注意，能用数量关系来预测战争引起了数学家们的注意，能用数量关系来预测战争 的胜负吗？的胜负吗？兰彻斯特兰彻斯特()首先提出了首先提出了 一些预测战争结局的数学模型，后来人们对这些模一些预测战争结局的数学模型，后来人们对这些模 型作了改进和进一步的解释，用以分析历史上一些型作了改进和进一步的解释，用以分析历史上一些 著名的战争，如二次世界大战中的美日硫黄岛之战著名的战争，如二次世界大战中的美日硫黄岛之战 和和19751975年结束的越南战争年结束的越南战争LanchesterLanchester作战模型虽作战模型虽 然比较简单，对局部战争还是有参考价值，为研究然比较简单，对局部战争还是有参考

45、价值，为研究 社会科学领域中的实际问题提供了借鉴的示例社会科学领域中的实际问题提供了借鉴的示例4.4 战争模型战争模型分析：分析：1)1)影响战争的因素：影响战争的因素：2)2)兵员的多少，武器的配备，指挥员的艺术，兵员的多少，武器的配备，指挥员的艺术，地理位置的优劣，士气的高低，兵员素质的高低，地理位置的优劣，士气的高低，兵员素质的高低，后勤供应充分与否等后勤供应充分与否等.2)2)抓主要矛盾：抓主要矛盾：3)3)兵员的多少，武器的配备，指挥员的艺兵员的多少，武器的配备，指挥员的艺术术.若武器配备与指挥员水平相当，则重中之重若武器配备与指挥员水平相当，则重中之重便是兵员多少的问题便是兵员多少

46、的问题.问题：问题：两军对垒，甲军有两军对垒，甲军有m个士兵，乙军有个士兵，乙军有n个士兵，试计算战斗过程中双方的伤亡情况，个士兵，试计算战斗过程中双方的伤亡情况，并预测战斗的结局并预测战斗的结局.战争模型战争模型战争分类：正规战争，游击战争，混合战争战争分类：正规战争，游击战争，混合战争只考虑双方兵力多少和战斗力强弱只考虑双方兵力多少和战斗力强弱兵力因战斗及非战斗减员而减少，因增援而增加兵力因战斗及非战斗减员而减少，因增援而增加战斗力与射击次数及命中率有关战斗力与射击次数及命中率有关建模思路和方法为用数学模型讨论社会建模思路和方法为用数学模型讨论社会领域的实际问题提供了可借鉴的示例领域的实际

47、问题提供了可借鉴的示例一般模型一般模型 每方战斗减员率取决于双方的兵力和战斗力每方战斗减员率取决于双方的兵力和战斗力 每方非战斗减员率每方非战斗减员率(由疾病、逃跑等因素引由疾病、逃跑等因素引起起)与本方兵力成正比与本方兵力成正比 甲乙双方的增援率为甲乙双方的增援率为u(t),v(t)x(t)甲方兵力，甲方兵力，y(t)乙方兵力乙方兵力模型模型假设假设用用f(x,y)表示甲方的战斗减员率，表示甲方的战斗减员率，g(x,y)表表示乙方的战斗减员率示乙方的战斗减员率.一般模型一般模型f,g 取决于战争类型取决于战争类型x(t)甲方兵力，甲方兵力，y(t)乙方兵力乙方兵力模型模型 下面针对不同的战争

48、类型讨论战斗减员率下面针对不同的战争类型讨论战斗减员率f、g的的具体表示形式，并分析影响战争结局的因素具体表示形式，并分析影响战争结局的因素.正规战争模型正规战争模型双方均以正规部队作战双方均以正规部队作战 先分析甲方的战斗减员率先分析甲方的战斗减员率f(x,y).由由于于甲甲方方士士兵兵的的活活动动是是公公开开的的，当当一一个个甲甲方方士士兵兵被被杀杀伤伤，乙乙方方的的火火力力立立即即集集中中到到其其余余士士兵兵身身上上，所所以以甲甲方方的的战战斗斗减减员员率率只只与与乙乙方方兵兵力力有有关关，简简单单地地假假设设f与与y成成正正比比：f=ay，a表表示示乙乙方方每每个个士士兵兵对对甲甲方方

49、士士兵兵的的杀杀伤伤率率(单单位位时时间间的的杀杀伤伤数数)，称称乙乙方方的的战战斗斗有有效效系系数数.a可可进进一一步步分分解解为为a=ry py，其其中中ry是是乙乙方方的的射射击击率率(每每个个士士兵兵单单位位时时间间内内的的射射击击次次数数)，py是每次射击的命中率是每次射击的命中率.类似地有类似地有g=bx,b=rxpx.正规战争模型正规战争模型 甲方战斗减员率只取决于乙方的兵力和战斗力甲方战斗减员率只取决于乙方的兵力和战斗力双方均以正规部队作战双方均以正规部队作战 忽略非战斗减员忽略非战斗减员 假设没有增援假设没有增援f(x,y)=ay,a 乙方每个士兵的杀伤率乙方每个士兵的杀伤率

50、a=ry py,ry 射击率，射击率，py 命中命中率率0正规战争模型正规战争模型为判断战争的结局，不求为判断战争的结局，不求x(t),y(t)而在平面上讨论而在平面上讨论 x 与与 y 的关系的关系平方律平方律 模型模型乙方胜乙方胜 分分析析某某一一方方，譬譬如如乙乙方方，取取胜胜的的条条件件.由由平平方方率率模型知乙方获胜的条件是模型知乙方获胜的条件是 (y0/x0)2 b/a=rxpx/(rypy),这这说说明明双双方方初初始始兵兵力力之之比比以以平平方方关关系系影影响响战战争争结结局局.例例如如，当当甲甲方方兵兵力力不不变变，乙乙方方的的兵兵力力增增加加到到原原来来的的2倍倍，则则乙乙