人大微积分课件6-2定积分在几何上的应用.ppt

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1、第二节第二节 定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用一一 平面图平面图形形的面积的面积二二 空间立体的体积空间立体的体积三三 平面曲线的弧长平面曲线的弧长四四 小结小结xyo曲边梯形的面积穿针法或微元素法曲边梯形的面积被积函数上-下、右-左一、平面图形的面积1 直角坐标系情形解 两曲线的交点，两曲线的交点，面积元素面积元素选选 为积分变量为积分变量解方程组解方程组注注 被积函数为上被积函数为上-下，上为下，上为 下为下为解两曲线的交点两曲线的交点选选 为积分变量为积分变量注注 被积函数为被积函数为“右右-左左”右为直线，左为抛物线右为直线，左为抛物线如果曲边梯形的曲边为参数方程如果曲边梯形的

2、曲边为参数方程曲边梯形的面积曲边梯形的面积解椭圆的参数方程椭圆的参数方程由对称性知总面积等于由对称性知总面积等于4 4倍第一象限部分面积倍第一象限部分面积面积元素面积元素曲边扇形的面积曲边扇形的面积 2.极坐标系情形解于是于是解利用对称性知利用对称性知解由对称性知总面积由对称性知总面积=4=4倍第倍第一象限部分面积一象限部分面积圆柱圆柱圆锥圆锥圆台圆台二 空间立体的体积 旋转体就是由一个平面图形绕这平面内旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴旋转轴1 旋转体的体积xyo旋转体的体积为旋转体的体积为变化范围变化范围解解直线

3、方程为直线方程为过原点过原点 及点及点解f x)()(22p pp pp p+dxxfxxfdxxdV(2)(=-=证明：如图，体积元素：如图，体积元素利用公式，利用公式，可知上例中可知上例中2、平行截面面积为已知的立体的体积从计算旋转体体积的过程可以看出：如果一个从计算旋转体体积的过程可以看出：如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算也可用定积分来计算.立体体积立体体积解建立坐标系，建立坐标系，底圆方程为底圆方程为截面面积截面面积立体体积立体体积取

4、平面与圆柱体的交取平面与圆柱体的交线为线为 轴，底面上过轴，底面上过圆心、且垂直于圆心、且垂直于 轴轴的直线为的直线为 轴轴解解建立坐标系建立坐标系，底圆方程为底圆方程为截面面积截面面积立体体积立体体积三 平面曲线的弧长1、平面曲线弧长的概念定理 光滑曲线弧是可求长的.简介 光滑曲线 当曲线上每一点处都具有切线，且切线当曲线上每一点处都具有切线，且切线随切点的移动而连续转动，这样的曲线称为随切点的移动而连续转动，这样的曲线称为光滑曲线。光滑曲线。就是弧长元素就是弧长元素弧长弧长由第三章的弧微分公式知由第三章的弧微分公式知2 直角坐标情形解x2,1y=因为因为(1dxxds2)12+=从而弧长元素从而弧长元素所以弧长为所以弧长为设曲线弧为设曲线弧为弧长弧长3 参数方程情形解的一拱的长度的一拱的长度.所以所以曲线弧为弧长4 极坐标情形从例 13 求阿基米德螺线求阿基米德螺线q qar=)0(a上相应于于q q0到到p p2的弧长.解1 求在直角坐标系下、参数方程形式下、极坐标系下平面图形的面积.2 旋转体的体积直角坐标系下参数方程情形下极坐标系下3 弧长的公式绕 轴旋转一周绕 轴旋转一周四 小结