向量组线性相关性.ppt

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1、线性表示。线性表示。可由可由ma aa aa a，或说或说21mmkkkna aa aa aa a使得使得，存在常数，存在常数，维向量组维向量组若对于若对于LLLLLL2121的一个线性组合，的一个线性组合，为为ma aa aa a，则称则称21a ammkkka aa aa aa a2211 线性表示的定义回顾线性表示的定义回顾4.2 4.2 向量组的线性相关性向量组的线性相关性线性相关的定义线性相关的定义1 定义定义1 1 设有设有m m个个n n维向量维向量1，2，m，如果存在一组如果存在一组不全为零的数不全为零的数 使使则称向量组则称向量组1 1 ，2 2 ，m m线性相关线性相关；否

2、则，否则，称向量组称向量组线性无关线性无关线性相关两种定义的等价性线性相关两种定义的等价性 向量组向量组a a1 1，a a2 2，a am m线性相关线性相关的充要条件是：的充要条件是：向量组中至少有一个向量可以由其余向量线性表示。向量组中至少有一个向量可以由其余向量线性表示。必要性：因为必要性：因为a a1，a a2，a am线性相关，故存在不全线性相关，故存在不全为零的数为零的数l l1，l l2，l lm，使，使 l l1a a1 l l2a a2 l lma am o。不妨设不妨设l l1 0，于是，于是即即a a1为为a a2，a a3，a am的线性组合。的线性组合。充分性：不妨

3、设充分性：不妨设a a1可由其余向量线性表示：可由其余向量线性表示：a a1 l l2a a2 l l3a a3 l lma am，则存在不全为零的数则存在不全为零的数 1，l l2，l l3，l lm，使，使 (1)a a1 l l2a a2 l l3a a3 l lma am o，即即a a1，a a2，a am线性相关。线性相关。证明：证明：1.1.含有零向量的向量组一定线性相关含有零向量的向量组一定线性相关。2 2.由一个向量构成的向量组线性相关当且仅当该向量为零向量。由一个向量构成的向量组线性相关当且仅当该向量为零向量。3.3.由两个向量构成的向量组线性相关当且仅当这两个向量的分量由

4、两个向量构成的向量组线性相关当且仅当这两个向量的分量 对应成比例。对应成比例。4.4.n n 维基本单位向量维基本单位向量e e1 1，e e2 2，e en n是线性无关的。是线性无关的。5.5.几何意义几何意义 定义定义1 1 设有设有m m个个n n维向量维向量1 1，2 2 ，m m，如果存在一组，如果存在一组不全为零的数不全为零的数 使使则称向量组则称向量组1 1 ，2 2 ，m m线性相关线性相关；否则，否则，称向量组称向量组线性无关线性无关思考题：给出线性无关的直接定义思考题：给出线性无关的直接定义 证明向量组证明向量组 线性无关线性无关.证证利用条件设法推出利用条件设法推出即可

5、即可.设设(1)(1)式左乘式左乘得得(1)式成式成为为(2)(2)式左乘式左乘同理推出同理推出例例3例例2设向量设向量 可由线性无关的向量组可由线性无关的向量组线性表示线性表示,证明表法是唯一的证明表法是唯一的.(p99定理定理3.2.2)证证证证 设有两种表示方法设有两种表示方法设有两种表示方法设有两种表示方法由由 线性无关线性无关所以方程组有非零解。所以方程组有非零解。21 x12 x13 x得方程组得方程组 由于由于 解:设使使所以所以 线性相关。线性相关。例例1 1 讨论向量组的线性相关性讨论向量组的线性相关性讨论向量组的线性相关性讨论向量组的线性相关性即存在一组不全为零即存在一组不

6、全为零0的数的数 21 x12 x13 x易见易见 向量组向量组a a1 1，a a2 2，a am m线性相关的线性相关的充分必要条件充分必要条件是：是：以以x x1 1，x x2 2，x xm m为未知量的齐次线性方程组为未知量的齐次线性方程组 x x1 1a a1 1 x x2 2a a2 2 x xm m a am m o o有非零解。有非零解。而上述方程组有非零解的充要条件是系数矩阵的秩小于未知量而上述方程组有非零解的充要条件是系数矩阵的秩小于未知量的个数的个数m m，即，即由此即得：由此即得：存在不全为零的数存在不全为零的数 使使即即有非零解有非零解.还是转换！转换线性无关还是转换

7、！转换线性无关还是转换！转换线性无关还是转换！转换线性无关向量组向量组线性相关线性相关(按定义按定义)(转化为方程组转化为方程组)齐次齐次方程组方程组(用矩阵的秩用矩阵的秩)把向量组排成矩阵，如果矩阵的秩等于向量的个数就线性把向量组排成矩阵，如果矩阵的秩等于向量的个数就线性无关，否则如果矩阵的秩小于向量的个数就线性相关。无关，否则如果矩阵的秩小于向量的个数就线性相关。定理定理定理定理3.2.33.2.3证明向量组线性相关性的基本方法证明向量组线性相关性的基本方法（向量方程）（向量方程）思考题：思考题：如向量个数如向量个数=向量维数，向量组线性相关向量维数，向量组线性相关及线性无关的条件是什么？

8、及线性无关的条件是什么？答案答案：线性相关当且仅当其构造的矩阵对应行列式的值为：线性相关当且仅当其构造的矩阵对应行列式的值为0 0；线性无关当且仅当其构造的矩阵对应行列式的值不为线性无关当且仅当其构造的矩阵对应行列式的值不为0 0。例例3 3t t取何值时向量组线性无关、线性相关？取何值时向量组线性无关、线性相关？取何值时向量组线性无关、线性相关？取何值时向量组线性无关、线性相关？1=（3，2，0），），2=（5，4，-1）3=（3，1，t）解解 由于由于 当当 2t-30 2t-30，即，即t3/2t3/2时，时，1 1，2 2，3 3 线性无关线性无关当当 2 t-3=0，即，即t=3/2

9、时，时，1，2，3 线性相关线性相关例例2、已知已知讨论向量组讨论向量组a a1 1，a a2 2，a a3 3及及向量组向量组a a1 1，a a2 2的线性相关性的线性相关性解：解：AA（a a1，a a2，a a3）=R（A）=2n,由表示不等式由表示不等式从而从而 B 必相关必相关.P.107 引理引理1 练习题 一填空题一填空题在一向量组在一向量组，n中，如果有中，如果有 部分向量组线性相关，则向量组必（部分向量组线性相关，则向量组必（）二、多选题：二、多选题：下列命题中正确的有（下列命题中正确的有（）非零向量组成的向量组一定线性无关非零向量组成的向量组一定线性无关 含零向量的向量组一定线性相关含零向量的向量组一定线性相关 由一个零向量组成的向量组一定线性无关由一个零向量组成的向量组一定线性无关 由零向量组成的向量组一定线性相关由零向量组成的向量组一定线性相关 线性相关的向量组一定含有零向量。线性相关的向量组一定含有零向量。三、分析判断题三、分析判断题：若若不能被不能被，r线性表出，线性表出，则向量则向量，r线性无关。（线性无关。（）四、证明题：四、证明题：设设可由可由，r线性表示，线性表示，但不能由但不能由，r线性表示，证明线性表示，证明r可可由由，r，线性表示线性表示例题例题7作业作业：P108：7，8