微积分(上)第2章极限与连续.ppt
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1、 第2章 二二、收敛数列的性质、收敛数列的性质 三三、极限存在准则、极限存在准则 一、数列极限的定义一、数列极限的定义 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第第2 2章数列与极限章数列与极限2.1数列的极限数列的极限定义定义 按着正整数的顺序排列起来的无穷多个数叫做数列.刘徽 目录 上页 下页 返回 结束 记作或叫做数列的项,第n个数叫数列的第第n项项或通项通项并把每个数若令则可以看出,数列实际上是自变量取正整数的函数.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例机动 目录 上页 下页 返回 结束 一般地,如果存在正数,使得对一切正整数n,都有则称 为数列 下界;(b为数列 上 界).单调数列:单
2、调数列:单调增加数列:单调增加数列:单调减少数列:单调减少数列:有界数列:有界数列:一个数列,如果存在正数,使得对一切正整数n都有则称数列 有界;否则称之无界.机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.1.1 数列极限的概念数列极限的概念 对于数列我们研究的主要问题是观察一般项随着n的增大的变化趋势一般项随着n的增大趋于0.一般项随着n的增大趋于0.一般项随着n的增大趋于2.一般项随着n的增大不趋于某一数.一般项随着n的增大无限增大.定义定义设数列及常数 a,如果对于任意给定当 n N 时,有记作此时也称数列 收敛,否则称数列发散.几何解释:即或则称该数列的极限为 a,机动 目录 上页 下页 返
3、回 结束 正数 ,总存在正整数N,例例2.1.2 已知证明数列的极限为2.证证:欲使即只要因此,取则当时,就有故机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2.1.3.设证明等比数列证证:欲使只要即亦即因此,取,则当 n N 时,就有故的极限为 0.机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.1.2 数列极限的性质数列极限的性质证证:用反证法.及且取因故存在 N1,从而同理,因故存在 N2,使当 n N2 时,有定理定理2.1.1.收敛数列的极限唯一收敛数列的极限唯一.使当 n N1 时,假设从而矛盾.因此收敛数列的极限必唯一.则当 n N 时,故假设不真!满足的不等式机动 目录 上页 下页 返回 结
4、束 定理定理2.1.2.收敛数列一定有界收敛数列一定有界.证证:设取则当时,从而有取 则有由此证明收敛数列必有界.说明说明:此性质反过来不一定成立.例如,虽有界但不收敛.有数列机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理2.1.3.收敛数列的保号性收敛数列的保号性.若且时,有证证:对 a 0,取推论推论:若数列从某项起(用反证法证明)机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、自变量趋于有限值时函数的极限一、自变量趋于有限值时函数的极限自变量变化过程的六种形式:二、自变量趋于无穷大时函数的极限二、自变量趋于无穷大时函数的极限本节内容本节内容:机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.2 函数的极限
5、1.时函数的极限时函数的极限引例引例.测量正方形面积.面积为A)边长为(真值:边长面积直接观测值间接观测值任给精度 ,要求确定直接观测值精度 :机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义定义2.2.1.设函数在点的某去心邻域内有定义,当时,有则称常数 A 为函数当时的极限,或即当时,有若记作几何解释几何解释:极限存在函数局部有界这表明:机动 目录 上页 下页 返回 结束 1.时函数的极限时函数的极限例例2.2.1.证明证证:欲使取则当时,必有因此只要机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2.2.2.证明证证:故取当时,必有因此机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义左极限与右极限定义左极限与右
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