直线平面垂直的判定及性质.ppt
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1、8.5 8.5 直直线线、平、平面垂面垂直直的的判判定及性定及性质质要点梳理要点梳理1.1.直线与平面垂直直线与平面垂直 (1 1)判定直线和平面垂直的方法)判定直线和平面垂直的方法 定义法定义法.利用判定定理:一条直线和一个平面内的两条利用判定定理:一条直线和一个平面内的两条 直线都垂直,则该直线和此平面垂直直线都垂直,则该直线和此平面垂直.推论:如果在两条平行直线中,有一条垂直推论:如果在两条平行直线中,有一条垂直 于一个平面,那么另一条直线也于一个平面,那么另一条直线也 于这个平面于这个平面.相交相交垂直垂直基础基础知识知识 自主自主学习学习 (2)(2)直线和平面垂直的性质直线和平面垂
2、直的性质 直线垂直于平面,则垂直于平面内直线垂直于平面,则垂直于平面内 直线直线.垂直于同一个平面的两条直线垂直于同一个平面的两条直线 .垂直于同一直线的两平面垂直于同一直线的两平面 .2.2.斜线和平面所成的角斜线和平面所成的角 斜线和它在平面内的射影所成的锐角,叫斜线斜线和它在平面内的射影所成的锐角,叫斜线 和平面所成的角和平面所成的角.3.3.二面角的有关概念二面角的有关概念 (1 1)二面角:从一条直线出发的)二面角:从一条直线出发的 所所 组成的图形叫做二面角组成的图形叫做二面角.任意任意平行平行平行平行两个半平面两个半平面 (2 2)二面角的平面角:以二面角的棱上任一点)二面角的平
3、面角:以二面角的棱上任一点 为端点,在两个半平面内分别作为端点,在两个半平面内分别作 的两的两 条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平 面角面角.4.4.平面与平面垂直平面与平面垂直 (1)(1)平面与平面垂直的判定方法平面与平面垂直的判定方法 定义法定义法.利用判定定理:一个平面过另一个平面的利用判定定理:一个平面过另一个平面的 ,则这两个平面垂直,则这两个平面垂直.(2)(2)平面与平面垂直的性质平面与平面垂直的性质 两平面垂直,则一个平面内垂直于两平面垂直,则一个平面内垂直于 的直线的直线 垂直于另一个平面垂直于另一个平面.垂直于棱垂直于棱一条垂
4、线一条垂线交线交线基础自测基础自测1.1.设设l l、m m、n n均为直线,其中均为直线,其中m m、n n在平面在平面内,内,则则“l l”是是“l lm m且且l ln n”的的()()A.A.充分不必要条件充分不必要条件 B.B.必要不充分条件必要不充分条件 C.C.充要条件充要条件 D.D.既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件 解析解析 当当l l时,时,l lm m且且l ln n.但当但当l lm m,l ln n 时,若时,若m m、n n不是相交直线,则得不到不是相交直线,则得不到l l.A2.2.若若P P是平面是平面外一点外一点,则下列命题正确的是则下列命题正确的是(
5、)()A.A.过过P P只能作一条直线与平面只能作一条直线与平面相交相交 B.B.过过P P可作无数条直线与平面可作无数条直线与平面垂直垂直 C.C.过过P P只能作一条直线与平面只能作一条直线与平面平行平行 D.D.过过P P可作无数条直线与平面可作无数条直线与平面平行平行 解析解析 过过P P点存在一平面与点存在一平面与平行,则该平面内平行,则该平面内 过过P P的直线有无数条都与的直线有无数条都与平行平行.D3.3.(20092009广东理,广东理,5 5)给定下列四个命题给定下列四个命题:若一个平面内的两条直线与另一个平面都若一个平面内的两条直线与另一个平面都 平行,那么这两个平面相互
6、平行;平行,那么这两个平面相互平行;若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这 两个平面相互垂直;两个平面相互垂直;垂直于同一直线的两条直线相互平行;垂直于同一直线的两条直线相互平行;若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的 交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.其中,为真命题的是其中,为真命题的是()()A.A.和和 B.B.和和 C.C.和和 D.D.和和解析解析 当两个平面相交时,一个平面内的两条直当两个平面相交时,一个平面内的两条直线可以平行于另一个平面,故线可以平行于另一个平面,
7、故不对;由平面与不对;由平面与平面垂直的判定可知平面垂直的判定可知正确;空间中垂直于同一正确;空间中垂直于同一条直线的两条直线可以相交也可以异面,故条直线的两条直线可以相交也可以异面,故不对;若两个平面垂直,只有在一个平面内与它不对;若两个平面垂直,只有在一个平面内与它们的交线垂直的直线才与另一个平面垂直,故们的交线垂直的直线才与另一个平面垂直,故正确正确.答案答案 D D4.4.(20082008湖南文,湖南文,5 5)已知直线已知直线m m、n n和平面和平面、满足满足m mn n,m m,则,则()()A.A.n n B.B.n n,或,或n n C.C.n n D.D.n n,或或n
8、n 解析解析 n n与与的位置关系各种可能性都有,的位置关系各种可能性都有,A A、B B都不对都不对.当当n n时,作时,作n nn n,且且n nm m =O O,则则n n与与m m确定平面确定平面,设设=l l,则有则有m ml l,又又m mn n,所以所以l ln n,l ln n,n n;当当n n 时,显然成立时,显然成立.故故C C不对,不对,D D正确正确.D5.5.下列命题中,下列命题中,m m、n n表示两条不同的直线,表示两条不同的直线,、表示三个不同的平面表示三个不同的平面.若若m m,n n,则则m mn n;若若,则则;若若m m,n n,则则m mn n;若若
9、,m m,则则m m.正确的命题是正确的命题是()()A.B.C.D.A.B.C.D.解析解析 中平面中平面与与可能相交,可能相交,中中m m与与n n可以可以 是相交直线或异面直线是相交直线或异面直线.故故错,选错,选C.C.C题型一题型一 直线与平面垂直的判定与性质直线与平面垂直的判定与性质 如图所示如图所示,已知已知PAPA矩形矩形ABCDABCD所在平面所在平面,MM,N N分别是分别是ABAB,PCPC的中点的中点.(1)(1)求证:求证:MNMNCDCD;(2)(2)若若PDAPDA=45.=45.求证:求证:MNMN平面平面PCDPCD.(1)(1)因因MM为为ABAB中中点点,
10、只要证只要证ANB ANB 为等为等 腰三角形腰三角形,则 则利利用用等腰三角形的性等腰三角形的性质可质可得得MNMNAB.AB.(2)(2)已知已知MNMNCDCD,只只需需再证再证MNMNPCPC,易看易看出出 PMCPMC为等腰三角形,利为等腰三角形,利用用N N为为PCPC的的中中点,点,可可 得得MNMNPCPC.题题型分类型分类 深度深度剖剖析析证明证明 (1 1)连接)连接ACAC,ANAN,BNBN,PAPA平面平面ABCDABCD,PAPAACAC,在在RtRtPACPAC中,中,N N为为PCPC中点,中点,PAPA平面平面ABCDABCD,PAPABCBC,又,又BCBC
11、ABAB,PAPAABAB=A A,BCBC平面平面PABPAB,BCBCPBPB,从而在从而在RtRtPBCPBC中,中,BNBN为斜边为斜边PCPC上的中线,上的中线,ANAN=BNBN,ABNABN为等腰三角形,为等腰三角形,又又MM为底边为底边ABAB的中点,的中点,MNMNABAB,又又ABABCDCD,MNMNCDCD.(2)(2)连接连接PMPM、CMCM,PDAPDA=45,=45,PAPAADAD,APAP=ADAD.四边形四边形ABCDABCD为矩形,为矩形,ADAD=BCBC,PAPA=BCBC.又又MM为为ABAB的中点,的中点,AMAM=BMBM.而而PAMPAM=C
12、BMCBM=90,=90,PMPM=CMCM.又又N N为为PCPC的中点,的中点,MNMNPCPC.由(由(1 1)知,)知,MNMNCDCD,PCPCCDCD=C C,MNMN平面平面PCDPCD.垂垂直直问问题题的的证证明,明,其一其一般规律般规律是是“由已由已知知想性想性质质,由由求求证证想想判判定定”,也也就就是说是说,根据,根据已已知条知条件件去思考有去思考有关的性关的性质质定理;根据定理;根据要要求求证证的结的结论去思考有论去思考有关的关的判判定定理,往往需定定理,往往需要要将分析将分析与综与综合的合的思思路结合起来路结合起来.知能迁移知能迁移1 1 RtRtABCABC所在平面
13、外一点所在平面外一点S S,且且SASA=SBSB=SCSC,D D为斜边为斜边ACAC中点中点.(1 1)求证:)求证:SDSD面面ABCABC;(2 2)若)若ABAB=BCBC,求证:,求证:BDBD面面SACSAC.证明证明 (1 1)如图所示,取)如图所示,取ABAB中点中点E E,连结连结SESE,DEDE,在在RtRtABCABC中,中,D D、E E分别为分别为ACAC、ABAB的中点,故的中点,故DEDEBCBC,且,且DEDEABAB,SASA=SBSB,SABSAB为等腰三角形,为等腰三角形,SESEABAB.SESEABAB,DEDEABAB,SESEDEDE=E E,
14、ABAB面面SDESDE.而而SDSD面面SDESDE,ABABSDSD.在在SACSAC中,中,SASA=SCSC,D D为为ACAC中点,中点,SDSDACAC.SDSDACAC,SDSDABAB,ACACABAB=A A,SDSD面面ABCABC.(2 2)若)若ABAB=BCBC,则,则BDBDACAC,由(由(1 1)可知,)可知,SDSD面面ABCABC,而,而BDBD面面ABCABC,SDSDBDBD,SDSDBDBD,BDBDACAC,SDSDACAC=D D,BDBD面面SACSAC.题型二题型二 面面垂直的判定与性质面面垂直的判定与性质 如图所示,在四棱锥如图所示,在四棱锥
15、P PABCDABCD 中,平面中,平面PADPAD平面平面ABCDABCD,ABABDCDC,PADPAD是等边三角形是等边三角形,已知已知BDBD=2=2ADAD=8=8,AB AB=2=2DCDC=4 .=4 .(1)(1)设设MM是是PCPC上的一点,上的一点,证明:平面证明:平面MBDMBD平面平面PADPAD;(2)(2)求四棱锥求四棱锥P PABCDABCD的体积的体积.(1)(1)因因为两为两平平面垂面垂直与直与MM点位点位置置无无 关,所关,所以在平以在平面面MBDMBD内内一一定定有一条直有一条直线垂线垂直于直于 平平面面PADPAD,考考虑虑证证明明BDBD平平面面PAD
16、PAD.(2)(2)四四棱棱锥锥底面为底面为一梯一梯形形,高为高为P P到面到面ABCDABCD的距离的距离.(1)(1)证明证明 在在ABDABD中中,ADAD=4,=4,BDBD=8,=8,ABAB=4 ,=4 ,ADAD2 2+BDBD2 2=ABAB2 2.ADADBDBD.又又面面PADPAD面面ABCDABCD,面,面PADPAD面面ABCDABCD=ADAD,BDBD面面ABCDABCD,BDBD面面PADPAD.又又BDBD面面BDMBDM,面面MBDMBD面面PADPAD.(2)(2)解解 过过P P作作POPOADAD,面面PADPAD面面ABCDABCD,POPO面面AB
17、CDABCD,即即POPO为四棱锥为四棱锥P PABCDABCD的高的高.又又PADPAD是边长为是边长为4 4的等边三角形,的等边三角形,POPO=在底面四边形在底面四边形ABCDABCD中,中,ABABDCDC,ABAB=2=2DCDC,四边形四边形ABCDABCD为梯形为梯形.在在RtRtADBADB中,斜边中,斜边ABAB边上的高为边上的高为此即为梯形的高此即为梯形的高.当两个当两个平平面垂面垂直时直时,常,常作作的辅的辅助助线线是是在其中一在其中一个面内个面内作作交线的垂线交线的垂线.把面面垂把面面垂直转直转化为化为线面垂线面垂直直,进而,进而可以证可以证明线线垂明线线垂直直,构,构
18、造 造二面角二面角的的平平面角或得到点到面的距离等面角或得到点到面的距离等.知能迁移知能迁移2 2 在斜三棱柱在斜三棱柱A A1 1B B1 1C C1 1ABCABC中,底面是等腰中,底面是等腰 三角形,三角形,ABAB=ACAC,侧面,侧面BBBB1 1C C1 1C C底面底面ABCABC.(1)(1)若若D D是是BCBC的中点,求证:的中点,求证:ADADCCCC1 1;(2)(2)过侧面过侧面BBBB1 1C C1 1C C的对角线的对角线BCBC1 1的平面交侧棱于的平面交侧棱于 MM,若若AMAM=MAMA1 1,求证:截面求证:截面MBCMBC1 1侧面侧面BBBB1 1C
19、C1 1C C.证明证明 (1)(1)ABAB=ACAC,D D是是BCBC的中点的中点,ADADBCBC.底面底面ABCABC平面平面BBBB1 1C C1 1C C,面面ABCABC面面BBBB1 1C C1 1C C=BCBC,ADAD侧面侧面BBBB1 1C C1 1C C.CCCC1 1面面BBBB1 1C C1 1C C,ADADCCCC1 1.(2 2)延长)延长B B1 1A A1 1与与BMBM交于交于N N,连结,连结C C1 1N N.AMAM=MAMA1 1,NANA1 1=A A1 1B B1 1.A A1 1B B1 1=A A1 1C C1 1,A A1 1C C
20、1 1=A A1 1N N=A A1 1B B1 1.C C1 1N NC C1 1B B1 1.截面截面NBNB1 1C C1 1侧面侧面BBBB1 1C C1 1C C,面面NBNB1 1C C1 1面面BBBB1 1C C1 1C C=C C1 1B B1 1,C C1 1N N侧面侧面BBBB1 1C C1 1C C.C C1 1N N面面C C1 1NBNB,截面截面C C1 1NBNB侧面侧面BBBB1 1C C1 1C C.即截面即截面MBCMBC1 1侧面侧面BBBB1 1C C1 1C C.题型三题型三 线面角的求法线面角的求法 (1212分)如图所示,在四棱锥分)如图所示,
21、在四棱锥P P ABCDABCD中,底面为直角梯形,中,底面为直角梯形,ADADBCBC,BADBAD=90=90,PAPA底面底面ABCDABCD,且且 PAPA=ADAD=ABAB=2=2BCBC,MM、N N分别为分别为PCPC、PBPB的中点的中点.(1 1)求证:)求证:PBPBDMDM;(2 2)求)求BDBD与平面与平面ADMNADMN所成的角所成的角.(1 1)易证易证PBPB平平面面ADMNADMN.(2 2)构)构造直造直线和线和平平面所成的角,解三角形面所成的角,解三角形.(1 1)证明证明 N N是是PBPB的中点,的中点,PAPA=ABAB,ANANPBPB.BADB
22、AD=90=90,ADADABAB.PAPA平面平面ABCDABCD,PAPAADAD.PAPAABAB=A A,ADAD平面平面PABPAB,ADADPBPB.4.4分分又又ADADANAN=A A,PBPB平面平面ADMNADMN.平面平面ADMNADMN,PBPBDMDM.6.6分分(2 2)解解 连接连接DNDN,PBPB平面平面ADMNADMN,BDNBDN是是BDBD与平面与平面ADMNADMN所成的角,所成的角,8 8分分在在RtRtBDNBDN中,中,10 10分分BDNBDN=30,=30,即即BDBD与平面与平面ADMNADMN所成的角为所成的角为30.1230.12分分
23、求求直直线和线和平平面所成的角,关键面所成的角,关键是是利利用用定定义作义作出出直直线和线和平平面所成的角面所成的角.必必要时要时,可可利利用平用平行行线线与与同同一平一平面所成角相等,面所成角相等,平移直平移直线位线位置置,以以方方便寻便寻找直找直线线在 在该该平平面内的面内的射影射影.知能迁移知能迁移3 3 如图所示,四面体如图所示,四面体ABCSABCS中,中,SASA、SBSB、SCSC两两垂直,两两垂直,SBASBA=45=45,SBCSBC=60=60,MM为为ABAB的中点的中点.求:求:(1 1)BCBC与平面与平面SABSAB所成的角;所成的角;(2 2)SCSC与平面与平面
24、ABCABC所成的角的正切值所成的角的正切值.解解 (1 1)SCSCSBSB,SCSCSASA,SBSBSASA=S S,SCSC平面平面SABSAB,BCBC在平面在平面SABSAB上的射影为上的射影为SBSB.SBCSBC为为BCBC与平面与平面SABSAB所成的角所成的角.又又SBCSBC=60,=60,故故BCBC与平面与平面SABSAB所成的角为所成的角为60.60.(2 2)连结)连结MCMC,在,在RtRtASBASB中,中,SBASBA=45=45,ASBASB为等腰直角三角形,为等腰直角三角形,SMSMABAB,由(由(1 1)知)知ABABSCSC,ABABSMSM=MM
25、,ABAB平面平面SMCSMC,平面平面ABCABC平面平面SMCSMC平面平面ABCABC.过点过点S S作作SOSOMCMC于点于点O O,SOSO平面平面ABCABC.SCMSCM为为SCSC与平面与平面ABCABC所成的角所成的角.由(由(1 1)知)知SCSC平面平面SABSAB,又又 平面平面SABSAB,SCSCSMSM,SMCSMC为直角三角形为直角三角形.设设SBSB=a a,即即SCSC与平面与平面ABCABC所成的角的正切值为所成的角的正切值为 .题型四题型四 二面角的求法二面角的求法 如图所示,三棱锥如图所示,三棱锥P PABCABC中,中,D D是是ACAC的中点,的
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