药学高数12不定积分的概念.ppt

《药学高数12不定积分的概念.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《药学高数12不定积分的概念.ppt（23页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、第三章第三章 不不 定定 积积 分分 第一节第一节 不定积分的概念不定积分的概念 一、不定积分的概念一、不定积分的概念 二、基本积分公式二、基本积分公式 三、不定积分的性质三、不定积分的性质 一、不定积分的概念一、不定积分的概念 定义定义3-1 设函数设函数 F(x)和和 f(x)都在区间都在区间 I 上有定义，上有定义，如果满足如果满足 F (x)=f(x),x I 则称函数则称函数 F(x)为为 f(x)在区间在区间 I 上的一个原函数上的一个原函数(primitive funtion)。例如例如 ,x(-,+),故故 是是 x 在在区区间间(-,+)上的一个原函数，易见上的一个原函数，易

2、见（C 为任意常数）也是为任意常数）也是 x 在区间在区间(-,+)上的原函上的原函数。数。例如例如 ,x(-,+),故故 是是 e-2x 在区间在区间(-,+)上的原函数，易见上的原函数，易见（C 为任意常数）也是为任意常数）也是 e-2x 在区间在区间(-,+)上的原上的原函函数。数。问题：问题：(1)原函数是否唯一？原函数是否唯一？(2)若不唯一它们之间有什么联系？若不唯一它们之间有什么联系？(3)原函数的全体如何表示原函数的全体如何表示?定理定理3-1 设函数设函数 F(x)为在区间为在区间 I 上的一个原函数，上的一个原函数，则则 （1）F(x)+C 也是也是 f(x)的原函数，其中

3、的原函数，其中 C 为任意常为任意常数。数。（2）f(x)的任意两个原函数之间相差一个常数。的任意两个原函数之间相差一个常数。（3）f(x)的任意一个原函数都可以表示为的任意一个原函数都可以表示为 F(x)+C，其中，其中 C 是任意常数。是任意常数。定义定义3-2 设函数设函数 F(x)是是 f(x)在区间在区间 I 上的一个原函上的一个原函数数,f(x)在区间在区间 I 上的所有原函数上的所有原函数 F(x)+C 称为称为 f(x)的不定积分的不定积分(indefinite integral)。记作。记作 由此可知由此可知,求求 f(x)不定积分只需求出不定积分只需求出 f(x)一个原一个

4、原函函数数,再加上任意常数再加上任意常数 C。任任意意常常数数(不不可可丢丢)积积分分号号被被积积函函数数被被积积表表达达式式积积分分变变量量 不定积分的几何意义：不定积分的几何意义：如果如果函数函数 F(x)为为 f(x)的一个原函的一个原函数，则称数，则称 F(x)的图像是的图像是 f(x)的一条积分曲线的一条积分曲线(integral curve)。函数函数 f(x)的不定积分表示的不定积分表示 f(x)的某一条积分曲线沿纵轴的某一条积分曲线沿纵轴方向任意地平行移动所得到的方向任意地平行移动所得到的所有积分曲线组成的曲线族。所有积分曲线组成的曲线族。如果在每一条曲线上横坐标如果在每一条曲

5、线上横坐标相同的点处作切线，则这些切相同的点处作切线，则这些切线都具有相同的斜率即互相平线都具有相同的斜率即互相平行。行。-1O 1x y y=x2C1y=x2+C1C2y=x2+C2C3y=x2+C3 例例3-1 求求 解解 由于由于 ，故，故 是是 的原函数，由的原函数，由不定积分定义，得不定积分定义，得 例例3-2 求求 解解 由于由于(-cos x)=sin x,故故-cos x 是是 sin x 的原函的原函数，数，由不定积分定义，得由不定积分定义，得 例例3-3 求求 解解 由于由于 ，故，故 arcsin x 是是的原函数，由不定积分的定义，得的原函数，由不定积分的定义，得 例例

6、3-4 求过点求过点(1,4)且切线斜率为且切线斜率为 x 的曲线的方程。的曲线的方程。解解 设所求曲线方程为设所求曲线方程为 y=f(x)。依题意得。依题意得 f (x)=x由于由于 是是 x 的一个原函数，故的一个原函数，故把点把点(1,4)代入函数代入函数 中，得中，得 C=7/2所求曲线为所求曲线为 二、基本积分公式二、基本积分公式 (常简写为常简写为 )(-1,为任意常数为任意常数)三、不定积分的性质三、不定积分的性质 性质性质1 证证 由导数运算法则，得由导数运算法则，得因此因此 是是 的原函数。故的原函数。故 性质性质2 ，k 为常数。为常数。证证 因为因为因此因此 是是 的原函

7、数，即有的原函数，即有 性质性质 1 和性质和性质 2 称为不定积分的线性性质，综合性称为不定积分的线性性质，综合性质质 1 和性质和性质 2 可得下面式子：可得下面式子：例例3-5 求求 解解 例例3-6 求求 解解 例例3-7 求求 解解 例例3-8 求求 解解 例例3-9 求求 解解 例例3-10 求求 解解 例例3-11 求求 解解 例例3-12 求求 解解 例例3-13 求求 解解 例例3-14 求求 解解内容小结内容小结1.不定积分的概念不定积分的概念 原函数与不定积分的定义原函数与不定积分的定义 不定积分的性质不定积分的性质 基本积分表基本积分表2.直接积分法直接积分法:利用利用恒等变形恒等变形,及及 基本积分公式基本积分公式进行积分进行积分.常用恒等变形方法常用恒等变形方法分项积分分项积分加项减项加项减项利用三角公式利用三角公式,代数公式代数公式,积分性质积分性质1.若若提示提示:思考与练习思考与练习2.若若的导函数为的导函数为则则的一个原函数的一个原函数是是().提示提示:已知已知求求即即B?或由题意或由题意其原函数为其原函数为作业作业:习题三习题三 1-5