隐函数组隐函数组的存在性连续性与可微性是函数方.ppt

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1、返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页2 隐 函 数 组 隐函数组的存在性、连续性与可微性,是函数方程组求解问题的理论基础.利用隐函数组的思想,又可进而讨论反函数组与坐标变换等特殊问题.一、隐函数组概念 二、隐函数组定理 三、反函数组与坐标变换返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页一、隐函数组概念 设有一组方程设有一组方程 使得对于任给的使得对于任给的 足方程组足方程组(1),则称由则称由(1)确定了隐函数组确定了隐函数组 有惟一的有惟一的 与之对应与之对应,且使且使满满其中函数其中函数 定义在区域定义在区域 若存在区域若存在区域 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前

2、页前页并有并有 关于隐函数组的一般情形关于隐函数组的一般情形(含有含有 m+n 个变量的个变量的 m 个方程所确定的个方程所确定的 n 个隐函数个隐函数)，将在第二十三，将在第二十三章采用向量函数的形式作进一步讨论章采用向量函数的形式作进一步讨论 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页首先来看看首先来看看,若由方程组若由方程组(1)能确定两个可微的能确定两个可微的隐隐 函数函数 ,则函数则函数 应满应满 足何种条件呢足何种条件呢?不妨先设不妨先设 都可微都可微,由复合求导法由复合求导法,通过对通过对(1)分别求关于分别求关于 x 与与 y 的偏导数的偏导数,得到得到 返回返回返回返回

3、后页后页后页后页前页前页前页前页能由能由(2)与与(3)惟一解出惟一解出 的充要的充要 条件是雅可比条件是雅可比(Jacobi)行列式不等于零，即行列式不等于零，即 由此可见，只要由此可见，只要 具有连续的一阶偏导数，且具有连续的一阶偏导数，且 其中其中 是满足是满足(1)的某一的某一 初始点初始点,则由保号性定理，则由保号性定理，使得在此邻域使得在此邻域 内内(4)式成立式成立 根据以上分析根据以上分析,便有下述隐函数组定理便有下述隐函数组定理.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页 雅可比（雅可比（Jacobi,C.G.J.1804-1851,德国德国 ）返回返回返回返回后页后页

4、后页后页前页前页前页前页定理定理 18.4(隐函数组定理隐函数组定理)设方程组设方程组(1)中的函中的函数数 F 与与 G 满足下列条件：满足下列条件：(i)在以点在以点 为内点的某区域为内点的某区域 上连续；上连续；(ii)(初始条件初始条件);(iii)在在 V 内存在连续的一阶偏导数；内存在连续的一阶偏导数；(iv)二、隐函数组定理 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页即有即有 则有如下结论成立：则有如下结论成立：且满足且满足 必定存在邻域必定存在邻域 其中其中 使得使得 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页在在 上连续上连续.在在 上存在一阶连续偏导上存在一阶连

5、续偏导 数数,且有且有 本定理的详细证明从略本定理的详细证明从略(第二十三章有一般隐函第二十三章有一般隐函 数定理及其证明数定理及其证明),下面只作一粗略的解释下面只作一粗略的解释:返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页 由方程组由方程组(1)的第一式的第一式 确定隐确定隐 函数函数 将将 代入方程组代入方程组(1)的第二式的第二式,得得 再由此方程确定隐函数再由此方程确定隐函数 并代回至并代回至 这样就得到了一组隐函数这样就得到了一组隐函数 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页通过详细计算通过详细计算,又可得出如下一些结果又可得出如下一些结果:返回返回返回返回后页后页后

6、页后页前页前页前页前页例例1 设有方程组设有方程组 试讨论在点试讨论在点 的近旁能确定怎样的隐函的近旁能确定怎样的隐函 数组？并计算各隐函数在点数组？并计算各隐函数在点 处的导数处的导数.解解 易知点易知点 满足方程组满足方程组(5).设设 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页它们在它们在 上有连续的各阶偏导数上有连续的各阶偏导数.再考察再考察 在点在点 关于所有变量的雅可比矩阵关于所有变量的雅可比矩阵 由于由于返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页因此由隐函数组定理可知因此由隐函数组定理可知,在点在点 近旁可以惟一近旁可以惟一 地确定隐函数组地确定隐函数组:但不能肯定但

7、不能肯定 y,z 可否作为可否作为 x 的两个隐函数的两个隐函数.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页运用定理运用定理 18.4 的结论的结论 ,可求得隐函数在点可求得隐函数在点 处处 的导数值的导数值:返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页*注注 通过详细计算通过详细计算,还能求得还能求得 这说明这说明 处取极大值处取极大值,从而知道从而知道 在点在点 的任意小邻域内的任意小邻域内,对每一个对每一个 x 的值的值,会会有有 多个多个 y 的值与之对应的值与之对应.类似地类似地,对每一个对每一个 x 的值的值,也会有多个也会有多个 z 的值与之对应的值与之对应.所以方程组

8、所以方程组(5)在在点点 近旁不能惟一确定以近旁不能惟一确定以 x 作为自变量的隐函数组作为自变量的隐函数组.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例 2 设函数设函数 具有连续的偏导数具有连续的偏导数,是由方程组是由方程组 所确定的隐函数组所确定的隐函数组.试求试求 解解 设设 则有则有 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页由此计算所需之雅可比行列式由此计算所需之雅可比行列式:于是求得于是求得 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页注注 计算隐函数组的偏导数计算隐函数组的偏导数(或导数或导数)比较繁琐比较繁琐,要学懂前两例所演示的方法要学懂前两例所演示的方法

9、(利用雅可比矩阵和利用雅可比矩阵和 雅可比行列式雅可比行列式),掌握其中的规律掌握其中的规律.这里特别需要这里特别需要 “精心精心细心细心耐心耐心”.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页三、反函数组与坐标变换 设有一函数组设有一函数组 它确定了一个映射它确定了一个映射(或变换或变换):写成点函数形式写成点函数形式,即为即为 并记并记 的的 象集为象集为 现在的问题是现在的问题是:函数组函数组(6)满足满足 何种条件时何种条件时,存在逆变换存在逆变换 即存在即存在 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页亦即存在一个函数组亦即存在一个函数组 使得满足使得满足 这样的函数组这样

10、的函数组(7)称为函数组称为函数组(6)的的反函数组反函数组.它它 的存在性问题可化为隐函数组的相应问题来处理的存在性问题可化为隐函数组的相应问题来处理.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页为此为此,首先把方程组首先把方程组(6)改写为改写为 然后将定理然后将定理 18.4 应用于应用于(8),即得下述定理即得下述定理.定理定理 18.5(反函数组定理反函数组定理)设设(6)中函数在某区域中函数在某区域 上具有连续的一阶偏导数上具有连续的一阶偏导数,是是 的内点的内点,且且 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页则在点则在点 的某邻域的某邻域 内内,存在惟一存在惟一 此外

11、此外,反函数组反函数组(7)在在 内存在连续的一内存在连续的一阶阶 的一组反函数的一组反函数(7),使得使得偏导数偏导数;若若记记返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页则有则有 同理又有同理又有 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页由由(9)式进一步看到式进一步看到:此式表示此式表示:互为反函数组的互为反函数组的(6)与与(7),它们的雅它们的雅 可比行列式互为倒数可比行列式互为倒数.这和以前熟知的反函数求这和以前熟知的反函数求 导公式相类似导公式相类似,亦即一元函数的导数和函数组亦即一元函数的导数和函数组(6)的雅可比行列式互为对应物的雅可比行列式互为对应物.返回返回返

12、回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例3 平面上点的直角坐标平面上点的直角坐标 与极坐标与极坐标 之之 间的坐标变换为间的坐标变换为 试讨论它的逆变换试讨论它的逆变换.解解 由于由于因此除原点因此除原点(r=0)外外,在其余一切点处在其余一切点处,T 存在存在 逆变换逆变换 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例4 空间直角坐标空间直角坐标 与球坐标与球坐标 之间之间 的坐标变换为的坐标变换为(见右图见右图)由于由于 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页因此在因此在 (即除去即除去 Oz 轴上的一切点轴上的一切点)时

13、时,存在逆变换存在逆变换 例例5 设有一微分方程设有一微分方程(弦振动方程弦振动方程):其中其中 具有二阶连续偏导数具有二阶连续偏导数.试问此方程在试问此方程在 坐标变换坐标变换 之下之下,将变成何将变成何 种形式种形式?返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页解解 据题意据题意,是要把方程是要把方程(10)变换成以变换成以 u,v 作为自作为自 变量的形式变量的形式.现在按此目标计算如下现在按此目标计算如下:首先有首先有 故故 T 的逆变换存在的逆变换存在,而且又有而且又有 依据一阶微分形式不变性依据一阶微分形式不变性,得到得到 并由此推知并由此推知 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页继续求以继续求以 u,v 为自变量的为自变量的 与与 的表达式的表达式:最后得到以最后得到以 u,v 为自变量的为自变量的 微分方程为微分方程为 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页复习思考题 1.验证验证:定理定理 18.4 的结论的结论 可以写成可以写成 2.验证验证:由定理由定理 18.5 的的(9)式式(课本中为课本中为(13)式式)可以推得可以推得