高等数学2-3高阶导数隐函数求导.ppt

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1、问题问题:变速直线运动的加速度变速直线运动的加速度.高阶导数也是由实高阶导数也是由实际需要而引入的际需要而引入的.这就是二阶导数的物理意义这就是二阶导数的物理意义一、高阶导数的定义一、高阶导数的定义二阶导数二阶导数.记作记作三阶导数的导数称为四阶导数三阶导数的导数称为四阶导数,二阶和二阶以上的导数统称为二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数高阶导数.二阶导数的导数称为三阶导数二阶导数的导数称为三阶导数,注意：注意：（1）二、二、高阶导数求法举例高阶导数求法举例例例1 1直接法直接法:由高阶导数的定义逐步求高阶导数由高阶导数的定义逐步求高阶导数.求下列函数二阶导数。求下列函数二阶导数。解：解：例例3

2、 3解解例例5 设设求求解解:例例4 4解解例例6 6解解同理可得同理可得几个常用高阶导数公式几个常用高阶导数公式二、隐函数的导数二、隐函数的导数若由方程若由方程可确定可确定 y 是是 x 的函数的函数,由由表示的函数表示的函数,称为称为显函数显函数.例如例如,可确定显函数可确定显函数可确定可确定 y 是是 x 的函数的函数,但此但此隐函数隐函数不能显化不能显化.函数为函数为隐函数隐函数.则称此则称此隐函数隐函数求导方法求导方法:两边对两边对 x 求导求导(注意注意 y=y(x)(含导数含导数 的方程的方程)例例1.求由方程求由方程在 x=0 处的导数解解:方程两边对方程两边对 x 求导求导得

3、得因因 x=0 时时 y=0,故故确定的隐函数例例2.求椭圆求椭圆在点处的切线方程.解解:椭圆方程两边对椭圆方程两边对 x 求导求导故切线方程为故切线方程为即即 虽然隐函数没解出来虽然隐函数没解出来,但它的导数求出来但它的导数求出来了了,当然结果中仍含有变量当然结果中仍含有变量y.允许在允许在 的表达式中含有变量的表达式中含有变量y.一般来说一般来说,隐函数隐函数求导求导,求求隐函数的导数时隐函数的导数时,只要记住只要记住x是自变量是自变量,将方程两边同时对将方程两边同时对x求导求导,就得到一个含有导数就得到一个含有导数从中解出即可从中解出即可.于是于是y的函数便是的函数便是x的复合函数的复合

4、函数,的方程的方程.y是是x的函数的函数,练习练习解解利用利用隐函数求导法隐函数求导法.将方程两边对将方程两边对x求导求导,得得解出解出得得3.对数求导法对数求导法作为隐函数求导法的一个简单应用作为隐函数求导法的一个简单应用,介绍介绍(1)许多因子相乘除、乘方、开方的函数许多因子相乘除、乘方、开方的函数.对数求导法对数求导法,它可以利用对数性质使某些函数的它可以利用对数性质使某些函数的求导变得更为简单求导变得更为简单.适适用用于于方方方方 法法法法先在方程两边取对数先在方程两边取对数,-对数求导法对数求导法 然后利用隐函数的然后利用隐函数的求导法求出导数求导法求出导数.例例解解 等式两边取对数

5、得等式两边取对数得 隐函数隐函数有些显函数用对数求导法很方便有些显函数用对数求导法很方便.例如例如,两边取对数两边取对数两边对两边对x求导求导两边对两边对x求导得求导得等式两边取对数得等式两边取对数得例例解解 等式两边取对数得等式两边取对数得解解例题例题等式两边取对数得等式两边取对数得三、由参数方程所确定的函数的导数三、由参数方程所确定的函数的导数如如 称此为由称此为由参数方程所确定的函数参数方程所确定的函数.消去参数消去参数函数关系函数关系 消参数困难或无法消参数消参数困难或无法消参数 如何求导如何求导.（参数方程所确定函数的二阶导公式不需掌握。）（参数方程所确定函数的二阶导公式不需掌握。）例例解解四、小结四、小结隐函数求导法则隐函数求导法则对数求导法对数求导法对方程两边取对数对方程两边取对数,按隐函数的求导法则求导按隐函数的求导法则求导.参数方程求导参数方程求导注意注意:变量变量y是是x的函数的函数.将方程两边对将方程两边对x求导求导.高阶导数的定义高阶导数的定义;几个常用的基本初等函数的几个常用的基本初等函数的n阶导数公式阶导数公式(幂函数幂函数n n阶导公式阶导公式);