定积分、广义积分.ppt

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1、一、基本概念及结论一、基本概念及结论1.定义：定义：2.可积可积(充分充分)条件：条件：第五章第五章:定积分与广义积分定积分与广义积分(4)定积分的几何意义定积分的几何意义:曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形的面积的负值的负值abxyooyabxb03.3.定积分的性质定积分的性质:反之不然反之不然例例1.估计积分值估计积分值:解解在在1,4上的最小值、最大值分别为：上的最小值、最大值分别为：所以所以如果函数如果函数f(x)在区间在区间a,b上连续，则在上连续，则在a,b上至上至少存在一点少存在一点(8)积分中值定理：积分中值定理：注注4.4.定积分的计算方法定积分的计算方法（

2、1）NewtonLeibniz公式：公式：注注1：注注2 NewtonLeibniz公式表明：公式表明：(2)求定积分问题转化为求原函数不定积分求定积分问题转化为求原函数不定积分的问题的问题.(2)(2)定积分的换元积分定积分的换元积分注：变量不必回代；用凑微分法求定积分时若用同注：变量不必回代；用凑微分法求定积分时若用同除法（同除一因子），此因子在积分范围内不能为除法（同除一因子），此因子在积分范围内不能为0.0.（3 3）定积分的分部积法）定积分的分部积法注：注：u,dv 的选取与不定积分相同；的选取与不定积分相同；若被积函数中含有变上限积分或被积函数的若被积函数中含有变上限积分或被积函数

3、的导数时一般用分部积分。导数时一般用分部积分。125.5.广义积分广义积分(1)无穷区间上的广义积分无穷区间上的广义积分(2)无界函数的广义积分无界函数的广义积分(瑕积分瑕积分)注：注：广义积分的计算转化为计算一个定积分的广义积分的计算转化为计算一个定积分的极限，极限存在时收敛，极限不存在时发散；极限，极限存在时收敛，极限不存在时发散；（3 3）性质：）性质：123分部积分公式分部积分公式45也有相应的换元法；也有相应的换元法；6789记住以下几个广义积分的敛散性：记住以下几个广义积分的敛散性：利用以上结论可直接判定一些广义积分的敛散性利用以上结论可直接判定一些广义积分的敛散性:6.6.微积分

4、的常用公式微积分的常用公式奇函数奇函数偶函数偶函数(2)若若,则则二、基本问题及解法二、基本问题及解法问题问题(一一)有关变上限积分的运算有关变上限积分的运算问题问题(二二)：定积分的计算定积分的计算例例1.例例3.求求解：由于被积函数解：由于被积函数例例2.例例1 计算计算解解:设当当时,;当时,于是于是,例例2 计算计算解解 设设定积分的分部积分公式定积分的分部积分公式定积分的分部积分公式的适用范围及使用方法定积分的分部积分公式的适用范围及使用方法与不定积分类同与不定积分类同 例例1 计算计算例例2 计算解解解解 令 例例3.计算注注:仅当右端两个极限都存在时仅当右端两个极限都存在时,左端

5、的积分才收敛左端的积分才收敛.例例1.计算计算解解xyo1A另解另解例例2.计算计算另解另解注注1;右端的极限存在时右端的极限存在时,左端的广义积分收敛左端的广义积分收敛,否则发散否则发散.注注2：当且仅当上述两个极限同时存在时：当且仅当上述两个极限同时存在时,广义积分收敛广义积分收敛例例3:计算广义积分计算广义积分解解:因因所以所以另解另解问题问题(三三)定积分的应用定积分的应用1.面积的基本公式面积的基本公式ooooo2.2.求面积的步骤求面积的步骤:画草图画草图.例例所围成图形的面积所围成图形的面积.计算由计算由解解得交点得交点(0,0)和和(1,1)解方程组解方程组另解另解.画草图画草

6、图.得交点得交点计算抛物线计算抛物线与直线与直线所围成图形的面积所围成图形的面积.例例解解.由由所求面积为所求面积为:-24或或 旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴圆柱圆柱圆锥圆锥圆台圆台2.2.旋转体体积的基本公式旋转体体积的基本公式o(底在坐标轴的曲边梯形底在坐标轴的曲边梯形)(化为底在坐标轴的曲边化为底在坐标轴的曲边梯形旋转梯形旋转)oo例例1.求圆形求圆形绕绕 y 轴旋转而成的旋转体的体积轴旋转而成的旋转体的体积.yxo312-2解解.所求体积为所求体积为:201面积面积问题问题(四四)与定积分有关的证明题与定积分有关的证明题又又例例4.设设 在在 上连续，上连续，求证：求证：证明：因为证明：因为 在在 上连续，所以上连续，所以在在 上取得最小值上取得最小值 和最大值和最大值 ，即，即定积分与广义积分课后练习定积分与广义积分课后练习