项目212二阶常系数线性齐次微分方程.ppt

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1、项目项目2(1.2)二阶常系数线性齐次微分二阶常系数线性齐次微分方程方程二阶线性微分方程的一般形式为二阶线性微分方程的一般形式为称为二阶线性非齐次方程称为二阶线性非齐次方程其中其中P P(x x)、Q Q(x x)、f f(x x)是是x x的已知函数的已知函数 如果如果f(x)0f(x)0，方程，方程(1)(1)变为变为 称为二阶线性齐次方程称为二阶线性齐次方程特殊：特殊：P(x)=p Q(x)=qP(x)=p Q(x)=q y+py+qy=f(x)(3)+py+qy=f(x)(3)称为二阶常系数线性非齐次微分方程称为二阶常系数线性非齐次微分方程 y+py+qy=0 (4)+py+qy=0

2、(4)称为二阶常系数线性齐次微分方程称为二阶常系数线性齐次微分方程 任务任务2-1(2.2.1)2-1(2.2.1)二二阶线性齐次微分方程解的结构阶线性齐次微分方程解的结构问题问题:例如例如线性无关线性无关线性相关线性相关例如例如即即y1 与与y2线性无关，线性无关，所以方程的通解是所以方程的通解是二阶常系数齐次线性方程的标准形式二阶常系数齐次线性方程的标准形式任务任务2-2(1.2.2)2-2(1.2.2)二二阶常系数线性齐次微分方程的阶常系数线性齐次微分方程的解法解法1、二阶线性齐次微分方程的解的结构（复、二阶线性齐次微分方程的解的结构（复习定理习定理2）2、二阶常系数线性齐次微分方程的解

3、法、二阶常系数线性齐次微分方程的解法特征根法特征根法(1)-(1)-特征方程法特征方程法将其代入上方程将其代入上方程,得得故有故有特征方程特征方程特征根特征根1.1.有两个不相等的实根有两个不相等的实根两个线性无关的特解两个线性无关的特解得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为特征根为特征根为2.2.有两个相等的实根有两个相等的实根一特解为一特解为得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为特征根为特征根为3.3.有一对共轭复根有一对共轭复根利用欧拉公式利用欧拉公式得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为特征根为特征根为重新组合得：重新组合得：小结：求二阶常系数线性齐次微分方程通解的小结：求二阶常系数线性齐次

4、微分方程通解的步骤如下：步骤如下：(1)写出微分方程的特征方程写出微分方程的特征方程(2)求出特征方程的两个根求出特征方程的两个根r1，r2(3)根据两个根的不同情况，按下表写出微分方程根据两个根的不同情况，按下表写出微分方程的通解的通解特征根特征根微分方程的通解微分方程的通解两个不相等的实根两个不相等的实根r1，r2两个相等的实根两个相等的实根r1=r2=r一对共轭复根一对共轭复根r1,r2=i解解特征方程为特征方程为解得解得故所求通解为故所求通解为案案例例1.111.11解解 特征方程为特征方程为解得解得故原方程的通解为故原方程的通解为案案例例1.121.12满足初始条件满足初始条件 的特解的特解.故故把初始条件分别代入得，把初始条件分别代入得，所以满足初始条件的特解为所以满足初始条件的特解为 解解特征方程为特征方程为解得解得故所求通解为故所求通解为案案例例1.131.13