常数项级数审敛法.ppt

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1、 第二节第二节常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法2第二节第二节 常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法一一.正项级数及一般审敛法则正项级数及一般审敛法则若定理定理 1 正项级数收敛部分和序列有界.若收敛,则由于则部分和数列有界,故从而又已知因此它有界.则称为正项级数.收敛,单调递增,收敛,也收敛.证证:“”“”如级数3定理定理2(比较审敛法)设 和 是两个正项级数正项级数,对任意的自然数有(1)若级数则级数(2)若级数则级数证证:令则有:收敛,也收敛;发散,也发散.和分别表示级数 和级数 的则有部分和,由于4(1)若级数则有因此对一切有由定理定理 1 可知,级数则有(2)若级数因此这说明 级数

2、也发散.和 是两个正项级数正项级数,也收敛.发散,收敛,5比较审敛法推广设 和 是两个正项级数正项级数,且存在对一切有(常数 k 0)(1)若级数则级数(2)若级数则级数则有:收敛,也收敛;发散,也发散.6证明证明7解解由图可知由图可知8重要参考级数重要参考级数:几何级数几何级数,P-,P-级数级数,调和级数调和级数.9101112定理定理3.(比较审敛法的极限形式)设 和 是两个正项级数正项级数,若则有(1)当 时,两个级数同时收敛或发散;(2)当 且级数 收敛时,级数 也收敛;(3)当 且级数 发散时,级数 也发散.证证:根据极限定义,对存在当 时,即有13(1)当 时,取由定理定理 2

3、可知级数与同时收敛或同时发散;(2)当 时,由定理2可知,若级数 收敛,也收敛.利用(3)当 时,存在当 时,即由定理定理2可知,若级数发散,则级数也发散.则级数14是两个正项级数正项级数,(1)当 时,两个级数同时收敛或发散;(2)当 且级数 收敛时,级数 也收敛;(3)当 且级数 发散时,级数 也发散.15例例7.判别级数的敛散性.解解:根据比较审敛法的极限形式知级数 发散.例例8.判别级数的敛散性.解解:根据比较审敛法的极限形式知收敛.16故原级数收敛故原级数收敛.1718二二.比值审敛法和根值审敛法比值审敛法和根值审敛法1.比值审敛法定理定理4 设 为正项级数,且则(1)当(2)当证证

4、:(1)当由取 使收敛,收敛.时,级数收敛;或时,级数发散.时,知存在当时由比较审敛法可知,级数19或 时,必存在当因此所以级数发散.时,(2)当说明说明:当时,级数可能收敛也可能发散.例如 p-级数但级数收敛级数发散20解解21比值审敛法失效比值审敛法失效,改用比较审敛法改用比较审敛法22例例12.讨论级数的敛散性.解解:根据定理4可知:当 时,级数收敛;当 时,级数发散;当 时,级数发散.而232.根值审敛法根值审敛法定理定理5 设 为正项级数,且则(1)当 时,级数收敛;(2)当 时,级数发散.24时,级数可能收敛也可能发散.例如 p-级数 说明说明:但级数收敛级数发散25例例13.证明

5、级数收敛,并估计以部分和代替和 时所产生的误差.解解:由定理5可知该级数收敛.令则所求误差为近似2627三三.交错级数及其审敛法交错级数及其审敛法各项符号正负相间的级数称为交错级数交错级数.定理定理6(Leibnitz 判别法)若交错级数满足条件则级数收敛,且其和 其余项的绝对值莱布尼兹莱布尼兹(德德)1646 171628证证:显然 是单调递增有界数列,因此有又故级数收敛于 S,且的余项:29收敛收敛例15 用Leibnitz判别法判别法判别下列级数的敛散性收敛上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛?发散收敛收敛3031四四.绝对收敛与条件收敛绝对收敛与条件收敛定义定义:对任意项级数若若原

6、级数收敛,但取绝对值以后的级数发散,收敛,原级数为条件收敛.均为绝对收敛.例如：绝对收敛绝对收敛；则称原级数条件收敛条件收敛.则称可以证明:绝对收敛的级数一定收敛.32例例17.证明下列级数绝对收敛:证证:(1)而收敛,收敛因此绝对收敛.33例例17.证明下列级数绝对收敛:(2)令因此收敛,绝对收敛.34例例18.下列级数是否绝对收敛:3536373839内容小结内容小结1.利用部分和数列的极限判别级数的敛散性2.利用正项级数审敛法必要条件不满足发 散满足比值审敛法根值审敛法收 敛发 散不定 比较审敛法用它法判别部分和极限403.任意项级数审敛法任意项级数审敛法为收敛级数若 收敛,称 绝对收敛若 发散,称 条件收敛Leibniz判别法:若且则交错级数收敛概念概念:41作业作业11-2:P158 A组组 1(1)(2)(3)(5)(6)(7);2 (1)(2)(5)(6)(7);3 (1)(3)(4);4 (1);