固体物理第三章晶格振.ppt

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1、3.1晶体中原子的微振动晶体中原子的微振动 声子声子一、微振动方程及其解一、微振动方程及其解设晶体由设晶体由N个原子组成，考虑原子振动，每个原子的位个原子组成，考虑原子振动，每个原子的位矢：矢：平衡位置平衡位置位移矢量（原子偏离平衡位置）位移矢量（原子偏离平衡位置）以位移矢量作为考察量：以位移矢量作为考察量：晶体的振动动能：晶体的振动动能：第三章第三章 晶格振动晶格振动质量加权坐标质量加权坐标晶体振动势能晶体振动势能 按按 的幂将势能在平衡位置附近展开为泰勒级数的幂将势能在平衡位置附近展开为泰勒级数高阶项高阶项其中其中平衡位置处的势能为零势能点平衡位置处的势能为零势能点平衡位置处势能为极小值平

2、衡位置处势能为极小值略去高阶项（简谐近似）略去高阶项（简谐近似）晶体的振动势能：晶体的振动势能：3.13.1晶体中原子的微振动晶体中原子的微振动 声子声子拉格朗日函数拉格朗日函数（概括整个系统动力状态的函数）（概括整个系统动力状态的函数）代入拉格朗日方程代入拉格朗日方程由由3N个线性齐次方程组成的方程组个线性齐次方程组成的方程组,其特解为其特解为所有原子在每个方向上都作所有原子在每个方向上都作同频率同频率,同相位同相位,不同振幅不同振幅的的振动振动,称为称为简谐振动简谐振动。每一个简谐振动并不表示某一个原子的振动，而是表示每一个简谐振动并不表示某一个原子的振动，而是表示整个晶体所有原子都参与的

3、振动，称为一个整个晶体所有原子都参与的振动，称为一个振动模式振动模式。有有有有N N个原子组成的晶体，一共有个原子组成的晶体，一共有个原子组成的晶体，一共有个原子组成的晶体，一共有3N3N个振动模式个振动模式个振动模式个振动模式3.13.1晶体中原子的微振动晶体中原子的微振动 声子声子方程的一般解可表示为特解的线性叠加方程的一般解可表示为特解的线性叠加共有共有3N种叠加方式，表示在种叠加方式，表示在3N个方向上的振动。个方向上的振动。对某一个原子而言，实际振动是由许多振动模式引起的对某一个原子而言，实际振动是由许多振动模式引起的振动的叠加，形式极为复杂。振动的叠加，形式极为复杂。所以，实际晶体

4、中每一种微振动都是所以，实际晶体中每一种微振动都是3N个简谐振动的个简谐振动的叠加，是一种极为复杂的运动。叠加，是一种极为复杂的运动。3.13.1晶体中原子的微振动晶体中原子的微振动 声子声子晶体的振动势能：晶体的振动势能：3.13.1晶体中原子的微振动晶体中原子的微振动 声子声子力常数力常数其中势能公式中用到的力常数可以用矩阵的形式表示出来：其中势能公式中用到的力常数可以用矩阵的形式表示出来：简正坐标和谐振子：简正坐标和谐振子：A 为正为正交矩阵交矩阵正交变换正交变换令令D为由所有质量加为由所有质量加权坐标构成的列矩阵权坐标构成的列矩阵 Q的每一个矩阵元都是所有质量加权坐的每一个矩阵元都是所

5、有质量加权坐标的线性组合标的线性组合,这些矩阵元就是这些矩阵元就是简正坐标简正坐标 运用线性变换的方法，引入运用线性变换的方法，引入简正坐标简正坐标，总能量：总能量：用用Q表达表达T和和U，消除势能交叉项（即消去相互，消除势能交叉项（即消去相互作用），组成拉氏函数，带入拉氏方程，求解作用），组成拉氏函数，带入拉氏方程，求解系统运动方程：系统运动方程：将将N个相互作用着的原子系统个相互作用着的原子系统简化为简化为3N个独立的谐振子个独立的谐振子谐振子运动方程谐振子运动方程3.13.1晶体中原子的微振动晶体中原子的微振动 声子声子其中：其中：系统的总能量：系统的总能量：每一个谐振子能量可表示为每一

6、个谐振子能量可表示为:根据量子理论根据量子理论二、声子二、声子系统由系统由3N个谐振子组成，每一个谐振子的能量是量子个谐振子组成，每一个谐振子的能量是量子化的，能量单位即为化的，能量单位即为声子声子。声子声子3.13.1晶体中原子的微振动晶体中原子的微振动 声子声子3.13.1晶体中原子的微振动晶体中原子的微振动 声子声子晶格振动模式晶格振动模式 独立的谐振子独立的谐振子 声子声子质量加权坐标下：质量加权坐标下：简正坐标下：简正坐标下：能量量子化能量量子化一、简谐近似一、简谐近似则原子间相互作用力则原子间相互作用力近似近似1：原子间作用力简化为弹性力。：原子间作用力简化为弹性力。作用力常数作用

7、力常数近似近似2：只考虑最近邻原子间作用力：只考虑最近邻原子间作用力3.2 3.2 一维布拉菲格子的晶格振动一维布拉菲格子的晶格振动+2nx第第n+1个原子对第个原子对第n个原子的作用力个原子的作用力第第n-1个原子对第个原子对第n个原子的作用力个原子的作用力一维无限长单原子链一维无限长单原子链3.2 3.2 一维布拉菲格子的晶格振动一维布拉菲格子的晶格振动每一个原子对应一个方程，每一个原子对应一个方程，n个原子对应个原子对应n个联立的线性齐次方程组个联立的线性齐次方程组第第n个原子的牛顿运动方程：个原子的牛顿运动方程：第第n个原子受到的合力为（仅考虑最近邻作用）个原子受到的合力为（仅考虑最近

8、邻作用）3.2 3.2 一维布拉菲格子的晶格振动一维布拉菲格子的晶格振动试解：试解：位于位于 处的原子的振动解处的原子的振动解正正k对应于沿对应于沿+x方向的前进波，负方向的前进波，负k对应于沿对应于沿-x方向的波，这种在晶方向的波，这种在晶体中传播的波，称为体中传播的波，称为 。格波格波一种振动模式一种振动模式（k，）试解代入运动方程：试解代入运动方程：3.2 3.2 一维布拉菲格子的晶格振动一维布拉菲格子的晶格振动波矢波矢(k)与格波频率与格波频率()间的函数关系称为间的函数关系称为色散关系色散关系,即即声声子谱子谱。能直接地反映原子间相互作用。能直接地反映原子间相互作用,是晶格动力学的基

9、是晶格动力学的基础础,以其为起点可进一步求得声子态密度、晶格摩尔热容、以其为起点可进一步求得声子态密度、晶格摩尔热容、德拜温度、热膨胀系数等一系列晶体热力学性质。德拜温度、热膨胀系数等一系列晶体热力学性质。3.2 3.2 一维布拉菲格子的晶格振动一维布拉菲格子的晶格振动格波的色散关系格波的色散关系由公式和色散关系谱看出，色散关系具有明显的周期性，由公式和色散关系谱看出，色散关系具有明显的周期性，周期为周期为n2/a。对于波矢为对于波矢为k1和和k2k1n2/a的两个格波具有相同的角的两个格波具有相同的角频率，相同的能量，相同的位移。频率，相同的能量，相同的位移。称为称为第一布里渊区第一布里渊区

10、的的范围。范围。0k格波的色散关系格波的色散关系3.2 3.2 一维布拉菲格子的晶格振动一维布拉菲格子的晶格振动色散关系具有周期性色散关系具有周期性，常将，常将k 限制在限制在:(即倒空间中一维晶格的原胞即倒空间中一维晶格的原胞)整个晶格象刚体一样作整体运整个晶格象刚体一样作整体运动动,因而因而恢复力为恢复力为0,故故长波极限，长波极限，3.2 3.2 一维布拉菲格子的晶格振动一维布拉菲格子的晶格振动邻近原子邻近原子反向运动反向运动(位相相反位相相反)，所以恢所以恢复力和频率取极大值。复力和频率取极大值。二、二、周期性边界条件周期性边界条件考虑有限长的一维原子链，由考虑有限长的一维原子链，由N

11、个原子组成；另有无穷多个相个原子组成；另有无穷多个相同的一维原子链与之联结而形成无限长的一维原子链，各段相同的一维原子链与之联结而形成无限长的一维原子链，各段相应原子运动情况同。应原子运动情况同。有有N种均匀分布的分立取值种均匀分布的分立取值3.2 3.2 一维布拉菲格子的晶格振动一维布拉菲格子的晶格振动波矢空间中，晶格振动模式波矢空间中，晶格振动模式（代表点）（代表点）均匀分布。均匀分布。晶格的独立振动模式数等于晶格的独立振动模式数等于N，等于晶体的自由度数。，等于晶体的自由度数。一组一组（k，）对应一种振动模式。对应一种振动模式。3.2 3.2 一维布拉菲格子的晶格振动一维布拉菲格子的晶格

12、振动波矢相差倒格矢，晶格振动相同波矢相差倒格矢，晶格振动相同2aMm2n2n+1一一、运动方程、运动方程试解试解代入运动方程代入运动方程一维双原子链（一维双原子链（N个原胞，个原胞，2N个原子）个原子）3.3 3.3 一维复式格子的晶格振动一维复式格子的晶格振动线性齐次方程非平凡解条件：线性齐次方程非平凡解条件：0k色散关系具有色散关系具有周期性周期性，将将k限制在：限制在：称为一维双原子链的称为一维双原子链的第一布里渊区第一布里渊区如如mD的短波部分讨论，在短波部分与实验结果不符的短波部分讨论，在短波部分与实验结果不符与温度无关的性质和实验结果不符。与温度无关的性质和实验结果不符。讨论：讨论

13、：高温区高温区 与经典的实验结论相符与经典的实验结论相符3.4 3.4 晶格热容及其理论模型晶格热容及其理论模型(德拜模型德拜模型)德拜德拜T3定律，很好的描述固体的低温热容。定律，很好的描述固体的低温热容。四、频率分布函数（模式密度）四、频率分布函数（模式密度）在波矢在波矢 空间，晶格振动模式是均匀分布的空间，晶格振动模式是均匀分布的表示表示单位频率间隔中晶格振动的模式数单位频率间隔中晶格振动的模式数。频率分布函数的定义：频率分布函数的定义：对于三维情形，分布密度为对于三维情形，分布密度为晶体体积晶体体积二维晶格模式的分布密度为：二维晶格模式的分布密度为：空间内，频率为空间内，频率为 的模式

14、间所占体积的模式间所占体积一维晶格模式分布密度为：一维晶格模式分布密度为：3.4 3.4 晶格热容及其理论模型晶格热容及其理论模型dk表示两等频面间的垂直距离表示两等频面间的垂直距离又因为又因为令令 为为对对k的梯度的梯度 dsdkds 为面积元为面积元两等频面间的体积两等频面间的体积频率在频率在 的模式数的模式数3.4 3.4 晶格热容及其理论模型晶格热容及其理论模型(三维三维)(二维二维)(一维一维)对对k空间的等频面进行积分。空间的等频面进行积分。3.4 3.4 晶格热容及其理论模型晶格热容及其理论模型因子因子2来源于来源于（k）的中心反演对称性）的中心反演对称性例：德拜模型中假设例：德

15、拜模型中假设ck(c为大于为大于0常数常数)k空间空间中等频面为球面中等频面为球面，半径为，半径为/c3.4 3.4 晶格热容及其理论模型晶格热容及其理论模型各向同性弹性介质波，一个各向同性弹性介质波，一个k对应一个横波，两个纵波。对应一个横波，两个纵波。晶体铜的实际模式密度与德拜近似模式密度的比较晶体铜的实际模式密度与德拜近似模式密度的比较3.4 3.4 晶格热容及其理论模型晶格热容及其理论模型除了极低频限外，德拜密度和实际密度之间有一定的区别，除了极低频限外，德拜密度和实际密度之间有一定的区别，低温下低能的布里渊区附近的声学声子被激发，对热容贡献低温下低能的布里渊区附近的声学声子被激发，对热容贡献例：例：是一种常见的色散关系，是一种常见的色散关系，在三维情形，在三维情形，空间中等频率面为球面，半径为空间中等频率面为球面，半径为:二维情形：二维情形：一维情形：一维情形：3.4 3.4 晶格热容及其理论模型晶格热容及其理论模型作业：概念解释：声子、格波、色散关系、第一布里渊区填写26页表格。什么是频率分布函数（模式密度）？分别对ck和ck2求解三维N个粒子构成的单原子晶体（基含有一个原子）的模式密度。