建筑力学第六章超静定结构内力计算.ppt

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1、第六章第六章 超静定结构内力计算超静定结构内力计算 内容提要内容提要超超静静定定结结构构是是工工程程中中广广泛泛采采用用的的结结构构型型式式。本本章章介介绍绍超超静静定定结结构构的的概概念念和和超超静静定定次次数数的的确确定定方方法法；重重点点介介绍绍计计算算超超静静定定结结构构内内力力的的常常用用方方法法，即即力力法法、位位移移法法和和力力矩矩分分配配法法的的基基本本概概念念、解解题题思思路路和和计计算算方方法法；最最后后分分析析总总结结超超静静定定结结构构的的特特性。性。6.1 概述概述6.2 力法力法 6.3 位移法位移法 6.4 力矩分配法力矩分配法 本章内容本章内容6.1 概述概述6

2、.1.1 超静定结构的概念超静定结构的概念超静定结构是工程中广泛采用的一类结构，为了全面认识超静定结构，我们把它与静定结构作一比较。图（a）所示的刚架是一个静定结构，它的支座反力和各截面的内力都可以由静力平衡条件唯一确定。图（b）所示的刚架是一个超静定结构，有四个反力，却只能列出三个独立的平衡方程，它的支座反力和各截面的内力不能完全由静力平衡条件唯一确定。（a）（b）FFByFAxFAyFFByMAFAxFAy再从几何组成方面来分析，图（a）所示刚架和图（b）所示刚架都是几何不变的。若从图（a）所示的刚架中去掉支杆B，其就变成了几何可变体系。而从图（b）所示刚架中去掉支杆B，则其仍是几何不变的

3、，从几何组成上看支杆B是多余约束，所以，该体系有一个多余约束，是一次超静定结构。（a）（b）FFByFAxFAyFFByMAFAxFAy综上所述，存在多余约束，单靠静力平衡方程不能确定所有支座反力和内力，这就是超静定结构与静定结构的根本区别。6.1.2 超静定次数的确定超静定次数的确定超静定次数就是结构的多余约束的个数，也就是多余未知力的个数。所以，确定结构的超静定次数的方法，就是把原结构中的多余约束去掉，使之变成静定结构，所去掉的多余约束的个数即为结构的超静定次数。通常情况下，从超静定结构中去掉多余约束的方式有如下几种：1.1.切切切切断断断断体体体体系系系系内内内内部部部部的的的的一一一一

4、根根根根链链链链杆杆杆杆或或或或去去去去掉掉掉掉支支支支座座座座处处处处的的的的一一一一根支杆，相当于去掉一个约束，根支杆，相当于去掉一个约束，根支杆，相当于去掉一个约束，根支杆，相当于去掉一个约束，如图所示如图所示如图所示如图所示。X1(a)(b)X1X2 2.2.去去去去掉掉掉掉一一一一个个个个铰铰铰铰支支支支座座座座或或或或一一一一个个个个单单单单铰铰铰铰，相相相相当当当当于于于于去去去去掉掉掉掉两两两两个约束，个约束，个约束，个约束，如图所示。如图所示。如图所示。如图所示。(a)(b)X1X2X1X2X1X2 3.3.去去去去掉掉掉掉一一一一个个个个固固固固定定定定支支支支座座座座或或

5、或或切切切切断断断断一一一一根根根根梁梁梁梁式式式式杆杆杆杆，相相相相当当当当于去掉三个约束，如图所示。于去掉三个约束，如图所示。于去掉三个约束，如图所示。于去掉三个约束，如图所示。(a)(b)cX1X2MAX1X2X1X2X3X3 4.4.将将将将一一一一刚刚刚刚结结结结点点点点改改改改为为为为单单单单铰铰铰铰联联联联结结结结或或或或将将将将一一一一个个个个固固固固定定定定支支支支座座座座改为铰支座，相当于去掉一个约束，如图所示。改为铰支座，相当于去掉一个约束，如图所示。改为铰支座，相当于去掉一个约束，如图所示。改为铰支座，相当于去掉一个约束，如图所示。X1(a)(b)(c)X16.2 力法

6、力法力法计算超静定结构，是以静定结构为计算对象，把多余未知力作为基本未知量，根据变形协调条件建立力法方程，从而把计算超静定结构多余未知力的问题转化为计算静定结构的问题。6.2.1 力法的基本原理力法的基本原理下下面面通通过过对对一一次次超超静静定定结结构构的的分分析析，阐阐述述力力法的基本原理。法的基本原理。如如图图所所示示一一端端固固定定、另另一一端端铰铰支支的的梁梁，该该梁梁有一个多余约束，是一次超静定结构。有一个多余约束，是一次超静定结构。如如果果把把支支 杆杆B B作作为为多多余余约约束束去去掉掉，并并代代之之以以多多余余未未知知力力X X1 1，则则原原结结构构就就转转化化为为图图（

7、b b）所所示示的的静静定定梁梁。它它承承受受着着与与图图（a a）所所示示原原结结构构相相同同的的荷荷载载和和多多余余未未知知力力。我我们们把把这这种种去去掉掉多多余余约约束束用用多多余余未未知知力力来来代代替替后后的的静静定定结结构构称称为为按按力力法法计计算算的的基基本结构本结构。(b)基本结构X1只只要要能能够够求求出出多多余余未未知知力力X X1 1，原原结结构构的的计计算算问问题题就就转转变变为为静静定定的的基基本本结结构构在在荷荷载载q q及及多多余余未未知知力力X X1 1共共同同作作用用下下的的静静定定结结构构计计算算问问题题了了。我我们们把把多多余余未知力称为力法计算的未知

8、力称为力法计算的基本未知量基本未知量。(b)基本结构X1在图(b)所示的基本结构上，多余未知力X1是代替原结构支座B的作用。因此，基本结构的受力和变形应与原结构完全相同。设基本结构在B点沿X1方向上的位移为1。由于在原结构图(a)中，支座B处的竖向位移等于零。所以，在基本结构图(b)中，B点由荷载q与多余未知力X1共同作用下在X1方向上的位移1也应该为零，即 1=0 上式称为基本结构应满足的原结构的位移条件，设1F图(c)和11图(d)分别表示荷载q与多余末知力X1单独作用于基本结构上时，引起的B点沿X1方向上的位移。由叠加原理，有 1=11+1F=0 =+(c)(d)(b)基本结构X1X1由

9、于X1是末知力，若以11表示X11单独作用于基本结构时引起的B点沿X1方向上的位移，即11=11 X1，则 11 X1+1F=0上式称为力力法法方方程程，而11称为方程的系系数数，1F称为方程的自由项自由项。因为11和1F均为已知力作于静定结构时，引起的B点沿X1方向上的位移，所以由静定结构的位移计算方法可以求得。因此解力法方程可求出多余未知力X1。为了具体计算位移11和1F，可分别绘出基本结构在荷载q和X11单独作用下的MF图和 图图(a，b)，然后用图乘法计算。(a)MF 图X1(a)MF 图 由于MF 图和 图分别是基本结构在X11和荷载q作用下的弯矩图，同时 图又可理解成为求B点的竖向

10、位移而绘制的单位荷载作用下的弯矩图。所以，可用图 乘 图，即 图自乘，则有X1同理可用 图乘MF图计算1F 将11和1F代入力法方程，可解得多余未知力X1。所得末知力X1为正号，表示反力X1的方向与所设的方向相同。(a)MF 图X1多余未知力X1求出后，将已求得的多余力X1与荷载q共同作用在基本结构上,就可以按求解静定结构的方法，求出原结构的其余反力和内力，最后绘出原结构的弯矩图，如图（c）所示。ABM图超静定结构的最后弯矩图M，也可利用已经绘出的 图 和MF图按叠加原理绘出，即 。（c）综上所述，力法是以多余未知力作为基本未知量，以去掉多余约束后的静定结构作为基本结构，根据基本结构在多余约束

11、处与原结构完全相同的位移条件建立力法方程，求解多余未知力，从而把超静定结构的计算问题转化为静定结构的计算问题。6.2.2 力法典型方程力法典型方程 前面用一次超静定结构说明了力法计算的基本原理，下面以一个三次超静定结构为例进一步说明力法计算超静定结构的基本原理和力法的典型方程。图(a)所示为一个三次超静定刚架，荷载作用下结构的变形如图中虚线所示。（a）这里我们去掉固定支座C处的多余约束，用多余未知力 X1、X2、X3代替，得到如图(b)所示的基本结构。X2X1X3（a）（b）由于原结构C处为固定支座，其线位移和角位移都为零。所以，基本结构在荷载q及X1、X2、X3共同作用下，C点沿X1、X2、

12、X3方向的位移都等于零，即基本结构应满足的位移条件为 1=0 2=0 3=0X2X1X3（a）（b）上式就是三次超静定结构的力法方程。根据叠加原理，上面的位移条件可以表示为=+X2X1X3（b）X2（d）（e）X3（f）1F3F2F（c）X1 式中：11、21、31 当X11时引起的基本结 构上沿 X1、X2、X3方向上的位移图(c)；12、22、32 当X21时引起的基本结构上沿X1、X2、X3方向上的位移图(d)；13、23、33当X31时引起的基本结构上沿X1、X2、X3方向上的位移图(e)；1F、2F、3F荷载引起的基本结构上沿X1、X2、X3方向上的位移图(f)。对于n次超静定结构，

13、用力法分析时，去掉n个多余约束，代之以n个多余未知力，当原结构在去掉多余约束处的已知位移为零时，采用上面同样的方法可以得到n个方程，称为力力法法典典型型方方程程。具体形式如下：在力法典型方程的前面n项中，位于从左上方至右下方的一条主对角线上的系数ii称为为主主系系数数，它表示Xi=1时，引起的基本结构上沿Xi方向上的位移，它可利用 图自乘求得,其值恒为正值；主对角线两侧的系数ij(ij)称为副副系系数数，它表示Xj=1时，引起的基本结构上沿Xi方向上的位移，它可利用 图与 图互乘求得。根据位移互等定理可知副系数ij与ji相等；方程组中最后一项iF不含未知力，称为自自由由项项。它是由荷载单独作用

14、在基本结构上时，引起的沿多余力Xi方向上的位移，它可通过MF图与 图互乘求得。副系数和自由项可能为正值，可能为负值，也可能为零。由于基本结构是静定的，所以力法典型方程中各系数和自由项都可按上一章位移计算的方法求出。解力法方程求出多余未知力Xi(i=1，2，n)后，就可以按静定结构的分析方法求其余反力和内力。原结构的弯矩可由下面的叠加公式求出：原结构的剪力和轴力可以根据平衡条件确定。6.2.3 力法的计算步骤和举例力法的计算步骤和举例 根据以上所述，用力法计算超静定结构的步骤可归纳如下：（1）选选取取基基本本结结构构。去掉原结构的多余约束，以相应的未知力代替多余约束的作用。（2）建建立立力力法法

15、典典型型方方程程。根据基本结构在去掉多余约束处的位移与原结构相应位置的位移相同的条件，建立力法方程。（3）计计算算力力法法方方程程的的系系数数和和自自由由项项。利用静定结构的位移计算公式，或分别绘出基本结构在单位多余力Xi和荷载作用下的弯矩图，然后用图乘法计算系数和自由项。（4）解解方方程程求求多多余余未未知知力力。将将所所得得各各系系数数和自由项代入力法方程，解出多余未知力和自由项代入力法方程，解出多余未知力Xi。（5）绘绘制制原原结结构构的的内内力力图图。用叠加法绘制原结构的弯矩图，进而根据平衡条件确定剪力图和轴力图。1超静定梁和超静定刚架超静定梁和超静定刚架用力法计算超静定梁和刚架时，通

16、常忽略剪力和轴力对位移的影响，因此，在计算力法方程的系数和自由项时只考虑弯矩的影响。6.3 位移法位移法力法计算超静定结构是以多余未知力为基本未知量，当结构的超静定次数较高时，用力法计算比较麻烦。而位移法则是以独立的结点位移为基本未知量，未知量个数与超静定次数无关，故一些高次超静定结构用位移法计算比较简便。6.3.1 位移法的基本概念位移法的基本概念位移法是以结构的结点位移作为基本未知量，由平衡条件建立位移法方程求解结点位移，利用杆端位移和杆端内力之间的关系计算杆件和结构的内力，从而把超静定结构的计算问题转化为单跨超静定梁的计算问题。为了说明位移法的基本概念，我们来研究图（a）所示的等截面连续

17、梁。此梁在均布荷载作用下的变形情况如图虚线所示。由于B点为刚性结点，所以，汇交于此点的各杆在该端将发生相同的转角 。在分析上述连续梁时，我们可以这样考虑：把杆AB看作是两端固定的梁在B端发生了转角 ；把杆BC看作是B端固定C端铰支的梁，在梁上受均布荷载作用，并在B端发生转角 ，如图（b）所示。因此，如把结点B的转角 作为支座移动看待，则上述连续梁可转化为两个单跨超静定梁。只要能够计算出转角 的大小，就可以用力法计算出这两个单跨超静定梁的全部反力和内力。下面分为四步讨论如何计算转角 的问题。第一步，增加约束，将结点B锁住。假设在结点B处加入一附加刚臂图(a)，附加刚臂的作用是约束B点的转动，而不

18、能约束移动，即相当于固定端。A(a)基本结构BC于是图（a）所示的等截面连续梁变成了由AB和BC两个单跨超静定梁组成的组合体。我们把加入附加刚臂后的结构称为位移法计算的基基本本结结构构。在基本结构上受外荷载作用，并使B点附加刚臂转过与实际变形相同的转角Z1=，使基本结构的受力和变形与原结构取得一致图(a)，进而用基本结构代替原结构的计算。第二步，在基本结构中，只有荷载q的作用，无转角Z1影响，如图(b)所示。其弯矩图可由力法计算如图(b)所示，在附加刚臂上产生的约束力矩为R1F。(b)第三步，施加力偶，使基本结构的结点B产生角位移Z1如图(c)所示。在B端发生转角Z1的支座移动，其弯矩图可由力

19、法计算得到，如图(c)所示，在附加刚臂上产生的约束力矩为R11。（c）第四步，把基本结构的两种情况叠加，计算转角Z1。由叠加原理可得基本结构在两种情况下引起的约束力矩为R11+R1F。由于基本结构的受力和变形与原结构相同，在原结构上没有附加刚臂，故基本结构中附加刚臂上的约束力矩应为零。即 R11+R1F=0。如在图(c)中令r11表示当Z1=1时附加刚臂上的约束力矩，即R11=r11Z1，则上式改写为 r11Z1+R1F=0上式称为位位移移法法方方程程。式中的r11称为系系数数；R1F称为自自由由项项。它们的方向规定与Z1方向相同为正，反之为负。为了由位移法方程求解Z1，可由图(b)中取结点B

20、为隔离体，由力矩平衡条件得出 ；由图(c)中取结点B为隔离体，并令Z1=1，由力矩平衡条件得出 。代入位移法方程，得（c）（b）求出Z1后，将图(b，c)两种情况叠加，即得原结构的弯矩图如图(d)所示。ABC(d)总结以上分析过程，可以把位移法计算的解题思路归纳如下：（1）以以独独立立的的结结点点位位移移作作为为位位移移法法的的基基本本未未知知量。量。（2）以以增增加加附附加加约约束束后后的的一一系系列列单单跨跨超超静静定定梁梁的组合体作为位移法的基本结构。的组合体作为位移法的基本结构。（3）以以基基本本结结构构在在附附加加约约束束处处的的受受力力与与原原结结构构一致的平衡条件建立位移法方程。

21、一致的平衡条件建立位移法方程。（4）原原结结构构的的内内力力是是荷荷载载和和结结点点位位移移共共同同下下，在基本结构中产生的内力。在基本结构中产生的内力。在位移法计算中，要用力法对每个单跨超静定梁的杆端弯矩和杆端剪力进行计算。为了使用方便，对各种约束的单跨超静定梁由荷载及支座移动引起的杆端弯矩和杆端剪力数值均列于表9.1中，以备查用。在表9.1中，i=EI/l，称为杆件的线线刚刚度度。表9.1中杆端弯矩的正、负号规定为：对杆端而言弯矩以顺时针转向为正（对支座或结点而言，则以逆时针转向为正），反之为负如图所示。至于剪力的正、负号仍与以前规定相同。转角以顺时针转动为正，反之为负。表6.1 等截面直

22、杆的杆端弯矩和剪力 续表6.1 等截面直杆的杆端弯矩和剪力 续表6.1 等截面直杆的杆端弯矩和剪力 续表6.1 等截面直杆的杆端弯矩和剪力 续表6.1 等截面直杆的杆端弯矩和剪力 续表6.1 等截面直杆的杆端弯矩和剪力 6.3.2 位移法基本未知量与基本体系位移法基本未知量与基本体系1位移法的基本未知量位移法的基本未知量在力法计算中，是以超静定结构的多余未知力为基本未知量，而在位移法计算中，则是以结构中刚结点的角位移（铰结点的角位移可由杆件另一端的位移求出，故不作为基本位知量）和独立的结点线位移作为基本未知量。在结构中，一般情况下刚结点的角位移数目和刚结点的数目相同，但结构独立的结点线位移的数

23、目则需要分析判断后才能确定。下面举例说明如何确定位移法的基本未知量。图（a）所示刚架有两个刚结点，现在两个刚结点都发生了角位移和线位移，但在忽略杆件的轴向变形时，这两个线位移相等，即独立的结点线位移只有一个，因此用位移法求解时，该结构的基本未知量是两个角位移 和 以及一个线位移。(b)同理，图（b）所示排架有三个铰结点，其水平线位移相同，故该结构的基本未知量是一个线位移。当结构的独立结点线位移的数目由直观的方法难以判断时，则可以采用“铰化结点、增加链杆”的方法判断。即在确定结构独立的结点线位移时，先把所有的结点和支座都换成铰结点和铰支座，得到一个铰结体系。若此体系是几何不变体系，则由此知道结构

24、的所有结点均无独立结点线位移。如果此体系是几何可变体系或瞬变体系，则可以通过增加链杆使其变为几何不变体系，所增加的最少链杆的数目，就是原结构的独立结点线位移的数目。例如图(a)所示结构，铰化结点后增加一根链杆可变为几何不变体系 图(b)，所以结点独立线位移的数目为一，整个结构的基本未知量为两个角位移和一个独立结点线位移。2.位移法基本结构位移法基本结构由前述可知，用位移法计算超静定结构时，是以一系列单跨超静定梁的组合体作为基本结构的。因此，在确定了基本未知量后，就要增加附加约束以限制所有结点的位移，把原结构转化为一系列相互独立的单跨超静定梁的组合体。即在产生角位移的刚结点处附加刚臂约束转动；在

25、产生线位移的结点处附加支座链杆约束其线位移。图(a)所示刚架有两个刚结点D和E，在忽略各杆件自身轴向变形的情况下，两结点有相同的线位移，所以只要在结点D和E处附加两个刚臂，以阻止两个刚结点的转动，在结点E处附加支座链杆以限制其线位移。(b)基本结构(a)原结构这样就使得原结构变成为无结点线位移及角位移的一系列单跨超静定梁的组合体，即位移法的基本结构图(b)。(b)基本结构(a)原结构需要强调说明：力法中的基本结构是从原结构中拆除多余约束而代之以多余未知力的静定结构。而位移法的基本结构是在原结构上增加约束构成若干个单跨超静定梁的组合体。虽然它们的形式不同，但都是原结构的代表，其受力和变形与原结构

26、是一致的。6.3.3 位移法典型方程及计算举例位移法典型方程及计算举例 1.位移法典型方程位移法典型方程在前面我们以只有一个基本未知量的结构介绍了位移法的基本概念，对于具有多个基本未知量的结构，仍然应用上述思路，建立位移法方程的典型形式。图(a)所示刚架有两个基本未知量，即结点B的转角Z1和结点C的水平位移Z2。在结点B处施加限制转动的约束附加刚臂，在结点C加一控制水平线位移的约束附加支座链杆，得到的基本结构如图(b)所示。(b)基本结构(a)原结构下面利用叠加原理建立位移法方程。(1)计计算算基基本本结结构构在在荷荷载载单单独独作作用用时时各各附附加加约约束束上上的的约约束束力力。先求出各杆

27、的杆端力，然后求约束中存在的约束力R1F、R2F图(a)。图(a)FR1FR2FF（2）计计算算基基本本结结构构在在结结点点B发发生生转转角角Z1时时各各附附加加约约束束上上的的约约束束力力。使基本结构在结点B发生单位转角Z1=1，但结点C仍被锁住。这时，可求出基本结构在杆件AB、BC和CD的杆端力，以及在两个约束中分别存在的约束力r11和r21图(b)。于是我们把图(b)扩大Z1倍，即乘以Z1。(b)(c)（3）计计算算基基本本结结构构在在结结点点C发发生生水水平平位位移移Z2时时各各附附加加约约束束上上的的约约束束力力。使基本结构在结点C发生单位水平位移Z2=1，但结点B仍被锁住。这时，可

28、求出基本结构在杆件AB、BC和CD的杆端力，以及在两个约束中分别存在的约束力r12和r22图(c)。于是我们把图(c)扩大Z2倍，即乘以Z2。叠加以上三种情况，得基本结构在荷载和结点位移Z1、Z2共同作用下的结果。根据以上各种因素引起的附加约束上的约束力叠加后应与原结构一致，即各附加约束上的总约束力应等于零的条件。可列出两个位移法方程 r11Z1+r12Z2+r13Z3+R1F=0 r21Z1+r22Z2+r23Z3+R2F=0 式中的系数和自由项，是由荷载和结点位移Z1、Z2共同作用下，在附加约束上引起的约束力。可由结点隔离体和杆件隔离体的平衡条件确定，得到各系数及自由项后，代入位移法方程中

29、，即可解出各结点位移Z1、Z2的值。最后可按下式叠加绘出最后弯矩图：式中：、和MF 结点位移Z1=1、Z2=1和荷载 单独作用于下，基本结构的弯矩。对于具有n个基本未知量的结构，则附加约束（附加刚臂或附加链杆）也有n个，由n个附加约束上的受力与原结构一致的平衡条件，可建立n个位移法方程:r11Z1+r12Z2+r1nZn+R1F=0r21Z1+r22Z2+r2nZn+R2F=0 rn1Z1+rn2Z2+rnnZn+RnF=0上式称为位移法的典型方程位移法的典型方程。式中的rii0称为主主系系数数，其物理意义为Zi=1时，基本结构中附加约束i上的反力，它恒为正值；rij称为副副系系数数，其物理意

30、义为Zj=1时，基本结构中附加约束i上的反力，副系数可为正、可为负或为零；由反力互等定理且有rij=rji；RiF为自自由由项项，其物理意义为荷载作用于基本结构上时，附加约束i上的反力，自由项可为正、为负或为零。2位移法计算举例位移法计算举例上面讨论了用位移法典型方程解算超静定结构的解题思路和方法，根据前面所述，用位移法解超静定结构的步骤可归纳如下：（1）首首先先确确定定基基本本未未知知量量，增加阻止刚结点转动和结点移动的附加约束，从而形成基本结构；（2）使使基基本本结结构构承承受受原原荷荷载载，并令附加约束发生与原结构相同的位移，根据附加约束上的反力矩或反力等于零的条件，建立位移法的典型方程

31、；（3）绘绘出出基基本本结结构构的的单单位位弯弯矩矩图图 图与荷载弯矩图MF图，利用平衡条件求系数和自由项；（4）解算典型方程，求出各基本未知量；）解算典型方程，求出各基本未知量；（5）按按叠叠加加公公式式 绘绘出出最最后后弯弯矩矩图图，然后根据最后弯矩图作出剪力图并根据剪力图绘出轴力图。（6）校校核核。在位移法计算中，由于位移条件自然满足，所以只需校核平衡条件。1.无结点线位移结构的计算无结点线位移结构的计算 当刚架的结点上只有角位移、无线位移时，称为无无侧侧移移刚刚架架。对于超静定梁和无侧移刚架这类无结点线位移结构用位移法求解最为方便。力矩分配法的基本概念一、力矩分配法的基本参数 1、转动

32、刚度 SAB:使AB杆的A端（也称近端）产生单位转角时所需施加的力矩。ABABABAB=1=1=1=1SAB=4 iSAB=iSAB=3 i 转动刚度的大小不仅与该梁的线刚度i 有关（i=EI/L），而且与远端的支承情况有关。转动刚度反映了杆端抵抗转动的能力。转动刚度越大，表示杆端产生单位转角所需施加的力矩越大。当当 1时:MAB=SAB 2、分配系数令：Ak=SAk SAA Ak称为分配系数3、传递系数 C 表示当杆件近端有转角时，杆件远端弯矩与近端弯矩的比值。它的大小与远端的支承情况有关。远端固定：C=0.5远端 铰支：C=0远端定向 支座：C=1 汇交于同一结点各杆的分配系数之和等于1，

33、即：=AB ACAD=1 AABCDmAAA把上述问题归纳如下：当结点A作用有力偶荷载 m 时，结点A上各杆近端得到按各杆的分配系数乘以 m 的近端弯矩，也称分配弯矩。以上是用力矩的分配和传递的概念解决结点力偶荷载作用下的计算问题，故称为力矩分配法。远端支承情况远端支承情况转动刚度转动刚度传递系数传递系数固固 定定4i0.5铰铰 支支3i0滑滑 动动i1 各杆的远端则有传递系数乘以近端弯矩（或分配弯矩）的远端弯矩，也称传递弯矩。单结点连续梁或刚架跨间有荷载作用时例：32kN20kN/mABCMBMFBAMFBCMBBABCMB 解：1、先在B点加上阻止转动的约束力矩MB，这时B点相当于固端，查

34、表6-1求得各固端弯矩。MFBA=qL2/12=60kNmMFAB=qL2/12=60kNmMFBC=3PL/16=36kNmMFCB=0所以：MB=6036=24kNm 2、放松结点B，这相当于在结点B上加一个外力偶（MB），按分配系数分配于两杆的B端，并使两杆的远端产生传递弯矩。具体计算如下：32kN20kN/m3m3m6mABCEIEI设 i=EI/6AC32kN20kN/m3m3m6mABCEIEISBA=4i SBC=3i 分配系数：BA=4/7=0.571BC=3/7=0.429分配弯矩：MBA=0.571(24)=13.7kNmMBC=0.429(24)=10.3kNm传递弯矩：

35、MAB=0.5(13.7)=6.85kNmcMCB=0c最后杆端弯矩：MAB=MFAB MCAB=66.85kNmMBA=MFBA MBA=46.3kNmMBC=MFBC MBC=46.3kNmMCB=060603600.571 0.42913.710.36.85046.366.8546.3066.8546.39033.434824.85AM图（kNm）多结点的力矩分配32kN20kN/mABCD步骤：1、先锁：加约束锁紧全部刚结点，计算各杆的固端弯矩和结点的约束力矩。约束力矩 MB=MfBj 2、逐次放松：每次放松一个结点（邻近结点仍锁住）进行单结点的力矩分配和传递。轮流放松各结点，经多次循

36、环后各结点渐趋平衡。实际计算一般进行23个循环就可获得足够的精度。3、叠加：将各次计算所得杆端弯矩相加（代数和）就得到杆端弯矩，即：M=MfM分配M传递1、力矩分配法的适用条件：无侧移刚架和连续梁。力矩分配法要点2、力矩分配法的基本参数（1）、转动刚度 SAB*固 4i*铰支 3i滑 i其中 i=EI/L（2）、分配系数AB AB=SAB SAA（3）、传递系数 CAB*固定 CAB=0.5*铰 支CAB=0 重点：掌握三跨连续梁两节点的分配重点：掌握三跨连续梁两节点的分配如：如：6m30kNABCD4kN/m8m3m3mA40kN10kN/mBCD4m4m8m8mi=1i=1i=1EI3EI

37、2EI注意：各段的线刚度注意：各段的线刚度题型5、用力矩分配法绘制图示连续梁的弯矩图。EI为常数。6m30kNABCD4kN/m8m3m3m注意：注意：查表时对应符号查表时对应符号APBABPAB注意：BA1、计算各杆的固端 弯矩MfMfAB=0=1/8462=18MfBC=-1/8PL=-1/8306=-22.5MfCB=1/8PL=1/8306=22.5MfCD=MfDC=02、计算计算转动刚度 S和分配系数 B节点节点SBA=3i3EI/6SBC=4i4EI/6C节点节点SCB=4i4EI/6SCD=4i=4EI/8B节点节点C节点节点BA=SBA SBA+SBCBC=SBc SBA+S

38、BC=3/7=4/7 SCB+SCDCB=SCBCD=SCD SCB+SCD=3/7=4/703/74/74/7 3/71822.522.50012.859.656.4254.8254.685 6.2383.121.78 1.340.670.890.38 0.51023.067 23.06710.9910.995.495(45)23.06710.995.495(18)M图图(kNm)结果列入表格结果列入表格例：用力矩分配法作图示梁的弯矩图。A80kN20kN/mBCD4m4m8m8mi=1i=1i=1解：计算分配系数BA=4141 41=0.5BC=4141 41=0.5 0.5 0.5 0.

39、571 0.429808000160091.3668.6445.6862.8462.8431.4231.4217.9413.488.974.4854.4852.242.241.280.960.640.320.32113.6612.3612.3676.9276.920113.6612.3616096.9176.92160121.54ABCDM图（kNm）0.5 0.5 0.571 0.429808000160091.3668.6445.6862.8462.8431.4217.9413.488.974.4854.4852.242.241.280.960.640.320.3212.3612.3676

40、.9276.920113.6631.4230kN/m40kN8m8m4m4m2EI2EIEIABCD分配系数固端弯矩分配弯矩 及传递弯矩0.60.40.40.600-160160-600966432-52.8-79.2-26.40最后杆端弯矩15.8410.5605.28-2.11-3.170-1.060.640.4200.21-0.08-0.13112.48-112.48142.5-142.500力矩分配法解题注意事项：1、力矩分配（放松结点）过程宜从约束力矩大的结点开始，可加快收敛速度。2、进行力矩分配时，相邻结点不可同时放松，应逐个放松、传递。当结点较多（大于3个）时，可以同时放松所有的不相邻结点，以加快计算过程。3、力矩分配法是一种增量渐近法，精度可以控制。一般当传递力矩达到固端弯矩的5以下时，即可终止计算，不再传递力矩。