重积分在极坐标系下的计算.ppt

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1、二重积分在极坐标系下的计算二重积分在极坐标系下的计算 一、二重积分的极坐标计算公式一、二重积分的极坐标计算公式适用范围适用范围直角坐标与极坐标的关系直角坐标与极坐标的关系直角坐标与极坐标的关系直角坐标与极坐标的关系其中其中 0 r 0).解解：D D 如图如图,由于由于D D关于关于x x轴，轴，y y 轴都对称，轴都对称，0 xyx2+y2=a2aD1Dr=a即即f f(x x,y y)也关于也关于x x轴，轴，y y轴对称轴对称.故故从而，原式从而，原式注：注：本题若用直角函标计算，会遇到本题若用直角函标计算，会遇到而这个积分是而这个积分是“积不出积不出”的。的。例例1.1.方法二方法二0

2、 xyx2+y2=a2aD1Dr=a方法一例例20 xy yD例例2 2方方法法二二解解例例3 3例例4 4解解积分区域关于坐标轴对称积分区域关于坐标轴对称,被积函数关于坐标被积函数关于坐标轴对称轴对称.例例5 5例例6 6解解内容小结(1)二重积分化为累次积分的方法二重积分化为累次积分的方法直角坐标系情形直角坐标系情形:若积分区域为若积分区域为则 若积分区域为若积分区域为则机动 目录 上页 下页 返回 结束 则(2)一般换元公式一般换元公式且则极坐标系情形极坐标系情形:若积分区域为若积分区域为在变换在变换下机动 目录 上页 下页 返回 结束(3)计算步骤及注意事项计算步骤及注意事项 画出积分

3、域画出积分域 选择坐标系选择坐标系 确定积分序确定积分序 写出积分限写出积分限 计算要简便计算要简便域边界应尽量多为坐标线域边界应尽量多为坐标线被积函数关于坐标变量易分离被积函数关于坐标变量易分离积分域分块要少积分域分块要少累次积好算为妙累次积好算为妙图示法图示法不等式不等式(先积一条线先积一条线,后扫积分域后扫积分域)充分利用对称性充分利用对称性应用换元公式应用换元公式机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习1.设设且求求提示提示:交换积分顺序后交换积分顺序后,x,y互换互换机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.交换积分顺序交换积分顺序提示提示:积分域如图积分域如图机动 目

4、录 上页 下页 返回 结束 计算二重积分应注意的问题计算二重积分应注意的问题1 1、由被积函数和积分区域、由被积函数和积分区域D D适当地适当地选取坐标系选取坐标系，当当D D是圆域，环域（或其一部分）或是圆域，环域（或其一部分）或被积函数为型时采用极坐标系下计被积函数为型时采用极坐标系下计算，否则采用直角坐标。算，否则采用直角坐标。适当地选取坐标系适当地选取坐标系，适当地选取积分次序适当地选取积分次序，2 2、由积分区域、由积分区域D D的形状特点的形状特点适当地适当地选取积分次序选取积分次序，极坐标系下一般先对极坐标系下一般先对r r后对后对积分，积分，直角坐标系下一般由直角坐标系下一般由X X还是还是Y Y型区域型区域决定。决定。准确地确定积分限准确地确定积分限：3.外层积分的上下限一定是常数，外层积分的上下限一定是常数，内层积分的上下限一般是外层积分内层积分的上下限一般是外层积分变量的函数，变量的函数，无论内层还是外层，上限都大于下无论内层还是外层，上限都大于下限。限。