结构的极限荷.ppt

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1、第16章 结构的极限荷载16-1 概述16-2 极限弯矩、塑性铰和极限状态16-3 超静定梁的极限荷载16-4 比例加载时判定极限荷载的一般定理16-5 刚架的极限荷载16-7 小结16-6 用求解器求极限荷载(略)16-1 概 述1.弹性设计方法弹性设计方法2.以许用应力为依据确定截面的尺寸或进行强度验算的作以许用应力为依据确定截面的尺寸或进行强度验算的作法。法。3.缺点：没有考虑材料的塑性特性，不经济。缺点：没有考虑材料的塑性特性，不经济。2.塑性设计方法塑性设计方法 考虑材料的塑性变形，确定结构破坏时所能承担的荷载考虑材料的塑性变形，确定结构破坏时所能承担的荷载(极限荷极限荷 载载)，以

2、此为依据得到容许荷载的方法。，以此为依据得到容许荷载的方法。结构塑性分析中，为简化计算将材料简化结构塑性分析中，为简化计算将材料简化为理想弹塑性材料，其应力应变关系如图示：为理想弹塑性材料，其应力应变关系如图示：OA段：线弹性阶段，应力段：线弹性阶段，应力-应变为线性关系应变为线性关系AB段：塑性流动状态，一个应力对应不同的段：塑性流动状态，一个应力对应不同的 应变。应变。以理想弹塑性材料的矩形截面梁处于纯弯曲状态为例：以理想弹塑性材料的矩形截面梁处于纯弯曲状态为例：随随M的增大，梁截面的增大，梁截面应力的变化如图所示：应力的变化如图所示：图图(b)：弹性阶段，弯矩：弹性阶段，弯矩M为：为：屈

3、服弯矩屈服弯矩图图(c)：弹塑性阶段，：弹塑性阶段，y0部分为部分为 弹性区，称为弹性核。弹性区，称为弹性核。图图(d)：塑性流动阶段，：塑性流动阶段，y00。弯矩弯矩M为：为：极限弯矩极限弯矩16-2 极限弯矩、塑性铰和极限状态塑性铰：弯矩达到极限弯矩时的截面。塑性铰：弯矩达到极限弯矩时的截面。塑性铰只能沿弯矩增大方向发生有限的相对转角塑性铰只能沿弯矩增大方向发生有限的相对转角单向铰。单向铰。图图(a)为只有为只有一个对称轴的截面一个对称轴的截面图图(b)为弹性阶段：应力直线分布，中性轴过截面形心；为弹性阶段：应力直线分布，中性轴过截面形心；图图(c)为弹塑性阶段：中性轴随弯矩的大小而变化；

4、为弹塑性阶段：中性轴随弯矩的大小而变化；图图(d)为塑性流动阶段：受拉区和受压区的应力均为常量。为塑性流动阶段：受拉区和受压区的应力均为常量。A1(受拉区面积受拉区面积)=A2(受压区面积受压区面积)，Mu为为S1、S2为面积为面积A1、A2对等面积轴的静矩对等面积轴的静矩梁在横向荷载作用下的弯曲问题梁在横向荷载作用下的弯曲问题理想弹塑性材料理想弹塑性材料加载初期：各截面的加载初期：各截面的MMs。继续加载，直到某个截面。继续加载，直到某个截面M=Ms，弹性阶段终结。此时的荷载弹性阶段终结。此时的荷载弹性极限荷载弹性极限荷载FPs。荷载荷载FPs：梁中形成塑性区。：梁中形成塑性区。加大荷载：在

5、某截面处加大荷载：在某截面处M=Mu，形成塑性铰。，形成塑性铰。承载力无法增加承载力无法增加极限状态极限状态 此时的荷载此时的荷载极限荷载极限荷载FPu。梁的极限荷载可根据塑性铰截面的弯矩梁的极限荷载可根据塑性铰截面的弯矩=极限值的条件，利极限值的条件，利用平衡方程求出。用平衡方程求出。例例16-1 设有矩形截面梁如图设有矩形截面梁如图(a)，试求极限荷载，试求极限荷载FPu。解：由解：由M图可知，塑性铰将在跨中图可知，塑性铰将在跨中 截面形成，截面弯矩截面形成，截面弯矩=Mu，如，如 图图(b)。由静力条件：由静力条件：得极限荷载：得极限荷载：1.超静定梁的破坏过程和极限荷载的特点超静定梁的

6、破坏过程和极限荷载的特点静定梁：只要一个截面出现塑性铰，梁就成为机构，丧静定梁：只要一个截面出现塑性铰，梁就成为机构，丧 失承载力以至破坏。失承载力以至破坏。超静定梁：具有多与约束，必须出现足够多的塑性铰，才超静定梁：具有多与约束，必须出现足够多的塑性铰，才 能使其成为机构，丧失承载力以至破坏。能使其成为机构，丧失承载力以至破坏。以图以图(a)所示等截面梁为例说明。所示等截面梁为例说明。图图(b)为弹性阶段为弹性阶段(FP FPs)的的M图，图，截面弯矩最大。截面弯矩最大。16-3 超静定梁的极限荷载 FPFPs后，塑性区在后，塑性区在A附近形附近形成并扩大，在成并扩大，在A截面形成第一个塑性

7、截面形成第一个塑性铰，铰，M图如图图如图(c)。FP继续增加，荷载增量引起的继续增加，荷载增量引起的弯矩增量图相应于简支梁的弯矩弯矩增量图相应于简支梁的弯矩图，如图图，如图(d)。第二个塑性铰出现在。第二个塑性铰出现在C截面，梁变为机构。截面，梁变为机构。由平衡条件由平衡条件得极限荷载得极限荷载 利用虚功原理求利用虚功原理求FPu，图，图(e)为为破坏机构的一种可能位移。破坏机构的一种可能位移。外力作功为外力作功为内力作功为内力作功为由虚功方程由虚功方程得得 超静定结构极限荷载计算的特点超静定结构极限荷载计算的特点（1）只需考虑最后的破坏机构；）只需考虑最后的破坏机构；（2）只需考虑静力平衡条

8、件；）只需考虑静力平衡条件；（3）不受温度变化和支座位移等的影响。）不受温度变化和支座位移等的影响。例例16-2 试求图试求图(a)所示变截面梁的极限荷载。所示变截面梁的极限荷载。解：设解：设AB、BC段的极限弯矩为段的极限弯矩为出现两个塑性铰时梁成为破坏机构。出现两个塑性铰时梁成为破坏机构。（1）当截面）当截面D、B出现塑性铰时如图出现塑性铰时如图(b)此时此时M图如图图如图(c)，MA=3Mu若若此破坏机构不能出现此破坏机构不能出现则此破坏机构实现的条件是则此破坏机构实现的条件是由图由图(b)的可能位移列虚功方程的可能位移列虚功方程得极限荷载得极限荷载（2）当截面）当截面D、A出现塑性铰时

9、如图出现塑性铰时如图(a)截面截面D的弯矩达到极限值的弯矩达到极限值Mu截面截面A的弯矩达到极限值的弯矩达到极限值弯矩图如图弯矩图如图(b)，截面，截面B的弯矩的弯矩若若MBMu，此破坏机构不能出现，此时，此破坏机构不能出现，此时即此破坏机构的实现条件是：即此破坏机构的实现条件是：由图由图(a)的可能位移列虚功方程的可能位移列虚功方程得极限荷载得极限荷载3.讨论讨论如果如果 图图(a)、图、图(b)所示的破坏机构都所示的破坏机构都能实现。此时，能实现。此时，A、B、D三个截面三个截面都出现塑性铰。都出现塑性铰。可得极限荷载可得极限荷载2.连续梁的极限荷载连续梁的极限荷载条件：梁在每一跨度内为等

10、截面；条件：梁在每一跨度内为等截面；荷载的作用方向相同，并按比例增加。荷载的作用方向相同，并按比例增加。结论：连续梁只可能在各跨独立形成破坏机构；如图结论：连续梁只可能在各跨独立形成破坏机构；如图(a)、(b)不可能由相邻几跨联合形成一个破坏机构。如图不可能由相邻几跨联合形成一个破坏机构。如图(c)连续梁极限荷载的计算方法：连续梁极限荷载的计算方法：1）对每一单跨破坏机构分别求）对每一单跨破坏机构分别求 出相应的破坏荷载；出相应的破坏荷载；2）取其最小值即为极限荷载。）取其最小值即为极限荷载。例例16-3 图图(a)所示连续梁中，每跨为等截面梁。所示连续梁中，每跨为等截面梁。AB和和BC跨的正

11、极限跨的正极限 弯矩为弯矩为Mu，CD跨的正极限弯矩为跨的正极限弯矩为2Mu；又各跨负极限弯矩；又各跨负极限弯矩 为正极限弯矩的为正极限弯矩的1.2倍。试求此连续梁的极限荷载倍。试求此连续梁的极限荷载qu。解：解：AB跨破坏时如图跨破坏时如图(b)得得BC跨破坏时如图跨破坏时如图(c)得得CD跨破坏时如图跨破坏时如图(d)得得极限荷载极限荷载比例加载：所有荷载变化时都彼此保持固定的比例，可用一个比例加载：所有荷载变化时都彼此保持固定的比例，可用一个 参数参数FP表示；表示；荷载参数荷载参数FP只是单调增大，不出现卸载现象。只是单调增大，不出现卸载现象。假设条件：材料是理想弹塑性的；假设条件：材

12、料是理想弹塑性的；截面的正极限弯矩与负极限弯矩的绝对值相等；截面的正极限弯矩与负极限弯矩的绝对值相等；忽略轴力和剪力对极限弯矩的影响。忽略轴力和剪力对极限弯矩的影响。结构的极限受力状态应满足的条件：结构的极限受力状态应满足的条件：（1）平衡条件：结构的整体或任一局部都能维持平衡；）平衡条件：结构的整体或任一局部都能维持平衡；（2）内力局限条件：任一截面弯矩绝对值都不超过其极限弯矩；）内力局限条件：任一截面弯矩绝对值都不超过其极限弯矩；（3）单向机构条件：结构成为机构能够沿荷载方向作单向运动。）单向机构条件：结构成为机构能够沿荷载方向作单向运动。16-4 比例加载时判定极限荷载的一般定理可破坏荷

13、载可破坏荷载：对于任一单向破坏机构，用平衡条件求得的荷载：对于任一单向破坏机构，用平衡条件求得的荷载 值，用值，用 表示。表示。可接受荷载可接受荷载：如果在某个荷载值的情况下，能够找到某一内力：如果在某个荷载值的情况下，能够找到某一内力 状态与之平衡，且各截面的内力都不超过其极限状态与之平衡，且各截面的内力都不超过其极限 值，此荷载值称为可接受荷载用值，此荷载值称为可接受荷载用 表示。表示。可破坏荷载可破坏荷载 只满足平衡条件和单向机构条件。只满足平衡条件和单向机构条件。可接受荷载可接受荷载 只满足平衡条件和内力局限条件。只满足平衡条件和内力局限条件。极限荷载同时满足平衡条件、内力局限条件和单

14、向机构条件；极限荷载同时满足平衡条件、内力局限条件和单向机构条件；极限荷载既是可破坏荷载，又是可接受荷载。极限荷载既是可破坏荷载，又是可接受荷载。（1）基本定理：）基本定理：可破坏荷载可破坏荷载 恒不小于可接受荷载恒不小于可接受荷载 ，即，即（2）唯一性定理：极限荷载值是唯一确定的。）唯一性定理：极限荷载值是唯一确定的。（3）上限定理（极小定理）：可破坏荷载是极限荷载的上限；）上限定理（极小定理）：可破坏荷载是极限荷载的上限；即极限荷载是可破坏荷载中的极小值。即极限荷载是可破坏荷载中的极小值。（4）下限定理（极大定理）：可接受荷载是极限荷载的下限；）下限定理（极大定理）：可接受荷载是极限荷载的

15、下限；即极限荷载是可破坏荷载中的极大值。即极限荷载是可破坏荷载中的极大值。由上限定理和下限定理，可得出精确解的上下限范围，取由上限定理和下限定理，可得出精确解的上下限范围，取极小值便得到极限荷载的精确解；极小值便得到极限荷载的精确解；唯一性定理可配合试算法来求极限荷载。唯一性定理可配合试算法来求极限荷载。例例16-4 试求图试求图(a)所示梁在均布荷载作用下的极限荷载所示梁在均布荷载作用下的极限荷载qu。解：梁处于极限状态时，解：梁处于极限状态时，A端出现塑性端出现塑性 铰，另一个塑性铰铰，另一个塑性铰C有待确定。有待确定。图图(b)为一破坏机构，塑性铰为一破坏机构，塑性铰C的的坐标为坐标为x

16、。相应的可破坏荷载为。相应的可破坏荷载为 。由虚功方程由虚功方程得得令令得得解解由由x2求得极限荷载求得极限荷载基本假设：基本假设：（1）当出现塑性铰时，塑性区退化为一个截面（塑性铰处的）当出现塑性铰时，塑性区退化为一个截面（塑性铰处的 截面），其余部分仍为弹性区。截面），其余部分仍为弹性区。（2）荷载按比例增加，且为结点荷载，塑性铰只出现在结点）荷载按比例增加，且为结点荷载，塑性铰只出现在结点 处。处。（3）每个杆件的极限弯矩为常数，各杆的极限弯矩可不同。）每个杆件的极限弯矩为常数，各杆的极限弯矩可不同。（4）忽略轴力和剪力对极限弯矩的影响。）忽略轴力和剪力对极限弯矩的影响。1.增量变刚度法

17、的基本思路：把非线性问题转化为分阶段的几增量变刚度法的基本思路：把非线性问题转化为分阶段的几2.个线性问题。个线性问题。16-5 刚架的极限荷载 方法的特点：方法的特点：（1）把总的荷载分成几个荷载增量，进行分阶段计算）把总的荷载分成几个荷载增量，进行分阶段计算增量法；增量法；（2）对每个荷载增量按弹性方法计算，但不同阶段采用不同的刚）对每个荷载增量按弹性方法计算，但不同阶段采用不同的刚 度阵度阵变刚度法。变刚度法。以图以图(a)所示超静定梁为例说明。所示超静定梁为例说明。（1）弹性阶段：从零荷载开始到第一）弹性阶段：从零荷载开始到第一 个塑性铰出现。个塑性铰出现。FP=1作用下的弯矩图如图作

18、用下的弯矩图如图(b)。控制截面控制截面A和和B的弯矩组成弯矩向量：的弯矩组成弯矩向量：与极限弯矩的比值为：与极限弯矩的比值为：最小比值发生在最小比值发生在A点，其值为：点，其值为：最小比值用最小比值用FP1来表示，当荷载增大到来表示，当荷载增大到梁的弯矩梁的弯矩M1为：为：M1图如图图如图(c)。相应的弯矩向量相应的弯矩向量M1为：为：当当FP=FP1时，截面时，截面A出现第一个塑性铰，弹性阶段终结。出现第一个塑性铰，弹性阶段终结。（2）一个塑性铰阶段：从第一个塑性铰形成到第二个塑性铰出现）一个塑性铰阶段：从第一个塑性铰形成到第二个塑性铰出现 截面截面A改为单向铰结点，结构修改为改为单向铰结

19、点，结构修改为如图如图(a)。第二个塑性铰会出现在截面。第二个塑性铰会出现在截面B。此时所施加的荷载增量为：此时所施加的荷载增量为：荷载增量引起的弯矩增量为：荷载增量引起的弯矩增量为：M2图如图图如图(b)（3）极限状态：出现两个塑性铰后，结）极限状态：出现两个塑性铰后，结 构成为单向机构。弯矩构成为单向机构。弯矩 图如图图如图(c)。极限荷载极限荷载FPu为为2.单元刚度矩阵的修正单元刚度矩阵的修正 新的塑性铰出现时，在一些单元中，杆端应修改为铰支端。新的塑性铰出现时，在一些单元中，杆端应修改为铰支端。图图(a)所示单元两端刚结，单元刚度阵已有。所示单元两端刚结，单元刚度阵已有。（1）在）在

20、 端出现塑性铰，如图端出现塑性铰，如图(b)。单元刚度阵为：单元刚度阵为：（2）在）在 端出现塑性铰，如图端出现塑性铰，如图(c)。（2）在）在 和和 端同时出现塑性铰，如图端同时出现塑性铰，如图(d)。3.计算步骤计算步骤-求刚架极限荷载求刚架极限荷载(比例加载，荷载用荷载参数比例加载，荷载用荷载参数FP表示表示)（1）刚架承受荷载）刚架承受荷载FP=1。形成整体刚度阵。形成整体刚度阵K求刚架的结点位移。求刚架的结点位移。由单元刚度阵由单元刚度阵 各单元杆端力，各控制截面弯矩向量各单元杆端力，各控制截面弯矩向量（2）第一阶段终结时）第一阶段终结时各控制截面的弯矩各控制截面的弯矩此时，第一个塑

21、性铰出现在单元此时，第一个塑性铰出现在单元e1的的 端，第一阶段结束。端，第一阶段结束。（3）e1单元的单元刚度阵修改为单元的单元刚度阵修改为 ，整体刚度阵修改为，整体刚度阵修改为K2。（4）检验）检验K2是否奇异，是否奇异，0，结构未达到极限状态。修改后的，结构未达到极限状态。修改后的 结构承受结构承受FP=1，由，由K2 求刚架的结点位移，由求刚架的结点位移，由 或或 各各 单元杆端力。各控制截面弯矩向量为单元杆端力。各控制截面弯矩向量为（5）第二阶段终结时）第二阶段终结时各控制截面的弯矩增量各控制截面的弯矩增量荷载的累加值荷载的累加值弯矩的累加值弯矩的累加值此时，第二个塑性铰出现在单元此

22、时，第二个塑性铰出现在单元e2的的 端，第二阶段结束。端，第二阶段结束。（6）重复第）重复第(3)、(4)、(5)步的计算，直到第步的计算，直到第n阶段阶段 =0为止，结为止，结 构成为机构，达到极限状态。极限荷载为：构成为机构，达到极限状态。极限荷载为：例例16-6 试用增量刚度法求图试用增量刚度法求图(a)所示刚架的极限荷载。所示刚架的极限荷载。解解（1）第一阶段计算：）第一阶段计算：图如图图如图(b)。第一个塑性铰出现在结点第一个塑性铰出现在结点D的柱的柱端截面。第一阶段终结时的荷载为：端截面。第一阶段终结时的荷载为：M1图如图图如图(c)所示。所示。（2）第二阶段计算：截面）第二阶段计

23、算：截面D改为铰结改为铰结 点，并修改刚度阵。点，并修改刚度阵。图如图图如图(a)。E截面的截面的 比值最小。比值最小。第二阶段终结时第二阶段终结时荷载荷载弯矩的累加值弯矩的累加值如图如图(b)M2图如图图如图(c)，第二个塑性，第二个塑性铰在铰在E截面出现。截面出现。（3）第三阶段计算：截面）第三阶段计算：截面E改为铰结改为铰结 点，并修改刚度阵。点，并修改刚度阵。图如图图如图(a)。A截面的截面的 比值最小。比值最小。第三阶段终结时第三阶段终结时如图如图(b)荷载荷载弯矩的累加值弯矩的累加值 M3图如图图如图(c)，第三个塑性，第三个塑性铰在铰在A截面出现。截面出现。（4）第四阶段计算：截

24、面）第四阶段计算：截面A改为铰结改为铰结 点，并修改刚度阵。点，并修改刚度阵。图如图图如图(a)。C截面的截面的 比值最小。比值最小。第四阶段终结时第四阶段终结时如图如图(b)荷载荷载弯矩的累加值弯矩的累加值 M4图如图图如图(c)，第四个塑性，第四个塑性铰在铰在C截面出现。截面出现。（5）极限状态）极限状态 截面截面D、E、A、C皆改为铰结点，并修改刚度阵。皆改为铰结点，并修改刚度阵。此时此时K阵为奇异阵阵为奇异阵刚架变为机构刚架变为机构极限状态。极限状态。FP4即为极限荷载：即为极限荷载：16-7 小结 1 比例加载时，判定极限荷载的一般定理是计算极比例加载时，判定极限荷载的一般定理是计算极限荷载的理论依据，一共有限荷载的理论依据，一共有4个，要了解他们的应用条件个，要了解他们的应用条件 2 刚架极限荷载的计算方法还有机构法、试算法、刚架极限荷载的计算方法还有机构法、试算法、机构叠加法等方法。机构叠加法等方法。