微分中值定理和导数的应用.ppt

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1、1微分中值定理和微分中值定理和导数的应用导数的应用第四章第四章2微分中值定理的核心是微分中值定理的核心是拉格朗日拉格朗日(Lagrange)中值定理，中值定理，费马定理费马定理是它的预备定理，是它的预备定理，罗尔定理罗尔定理是它的特例，是它的特例，柯西定理柯西定理是它的推广。是它的推广。1.1.预备定理预备定理费马费马(Fermat)定理定理费马（费马（Fermat，1601-1665），），法法国人，与笛卡尔共同创立解析几何。国人，与笛卡尔共同创立解析几何。因提出费马大、小定理而著名于世。因提出费马大、小定理而著名于世。第一节第一节 微分中值定理微分中值定理3几何解释几何解释:1.1.预备定

2、理预备定理费马费马(Fermat)定理定理 曲线在最高点或最曲线在最高点或最低点如果有切线，则切低点如果有切线，则切线必然是线必然是水平水平的。的。4证明证明:极限极限的保的保号性号性52.2.罗尔罗尔(Rolle)定理定理xO yCx x aby f(x)AB几何解释几何解释:如果连续光滑的曲如果连续光滑的曲线线y f(x)在在端点端点A、B 处的纵坐标相等。处的纵坐标相等。那么，在曲线弧上至那么，在曲线弧上至少有一点少有一点C(x x,f(x x)，曲线在曲线在C点的切线是点的切线是水平的。水平的。如如果果函函数数y f(x)满满足足条条件件：(1)在在闭闭区区间间a,b上上连连续续，(2

3、)在在开开区区间间(a,b)内内可可导导，(3)f(a)f(b)，则至少存在一点则至少存在一点x x(a,b)，使得使得f(x x)0。6证证由费马引理由费马引理,所以最大值和最小值不可能同时在端点取得。所以最大值和最小值不可能同时在端点取得。7注意：注意：f(x)不满足条件不满足条件(1)f(x)不满足条件不满足条件(3)f(x)不满足条件不满足条件(2)BxO yAabxO yABabcxO yABab 如如果果定定理理的的三三个个条条件件有有一一个个不不满满足足，则则定定理理的的结结论就可能不成立。论就可能不成立。8例例1 1验证验证9 例例2 2不不求求导导数数，判判断断函函数数f(x

4、)(x-1)(x-2)(x-3)的的导导数数有几个零点，以及其所在范围。有几个零点，以及其所在范围。解解f(1)f(2)f(3)0，f(x)在在1,2，2,3上上满满足足罗罗尔定理的三个条件。尔定理的三个条件。在在(1,2)内至少存在一点内至少存在一点x x1，使使f(x x1)0，x x1是是 f(x)的一个零点。的一个零点。在在(2,3)内内至至少少存存在在一一点点x x2，使使f(x x2)0，x x2也也是是f(x)的一个零点。的一个零点。f(x)是二次多项式，只能有两个零点，分别在区间是二次多项式，只能有两个零点，分别在区间(1,2)及及(2,3)内。内。思考：思考：f(x)的零点呢

5、？的零点呢？10例例3 3证证结论得证结论得证.11证证例例4 412证证例例5 513 如果函数如果函数f(x)满足：满足：(1)在闭区间在闭区间a,b上连续，上连续，(2)在开区间在开区间(a,b)内可导，则至少存在一点内可导，则至少存在一点x x(a,b)内，使内，使得得几何意义：几何意义：3.3.拉格朗日拉格朗日(Lagrange)中值定理中值定理C2h h xO yABaby=f(x)C1x x 14证明证明作辅助函数作辅助函数 15例例6 616拉格朗日中值公式又称拉格朗日中值公式又称有限增量公式有限增量公式.或或特别地特别地,或或拉格朗日中值公式另外的表达方式：拉格朗日中值公式另

6、外的表达方式：17推论推论1 1证明证明18推论推论2 2证明证明即得结论。即得结论。19例例7 7证证由推论由推论1知知,20利用拉格朗日定理证明不等式利用拉格朗日定理证明不等式例例8 8证证21例例9 9证证由上式得由上式得22例例1010证证类似可证：类似可证：推论推论234.4.柯西柯西(Cauchy)中值定理中值定理 设函数设函数f(x)及及g(x)满足条件：满足条件：(1)在闭区间在闭区间a,b上连续，上连续，(2)在开区间在开区间(a,b)内可导，内可导，(3)在在(a,b)内任何一点处内任何一点处g(x)均不为零，均不为零，则至少存在一点则至少存在一点x x(a，b)内，使得内

7、，使得如如果果取取g(x)x，那那么么柯柯西西中中值值定定理理就就变变成成了了拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理.说明说明：证略证略.24P148习题四习题四练习练习：25第二节第二节 洛必达法则洛必达法则 在函数商的极限中，如果分子分母同是无穷小在函数商的极限中，如果分子分母同是无穷小量或同是无穷大量，那么极限可能存在，也可能不量或同是无穷大量，那么极限可能存在，也可能不存在，这种极限称为存在，这种极限称为未定式未定式，记为，记为洛必达法则是求函数极限的一种重要方法洛必达法则是求函数极限的一种重要方法.及及26定理定理(洛必达法则洛必达法则)(证略证略)某某去心邻域内有定义且可导去心邻域内有定

8、义且可导,且满足下列条件：且满足下列条件：和和型未定式型未定式一、一、27说明说明：5.5.洛必达法则可多次使用。洛必达法则可多次使用。只能说此时使用洛必达法则失败只能说此时使用洛必达法则失败,需另想它法；需另想它法；28例例1用用“洛必达法则洛必达法则”求极限例求极限例题题练习练习:比较比较:因式分解，因式分解，29例例2比较比较:30练习练习:或解或解等价无穷等价无穷小替换小替换31例例332例例4及时分离非零因子及时分离非零因子 33例例5例例634例例6或解或解：及时及时分离分离非零非零因子因子 35例例7解解洛必达法则失效。洛必达法则失效。练习练习不能使用洛必达法则。不能使用洛必达法

9、则。解解极限不存在极限不存在36二、其它类型的未定式二、其它类型的未定式例例8解法：转解法：转化为化为或或型不定式。型不定式。步骤步骤:37例例9步骤步骤:38步骤步骤:例例10对数恒等式对数恒等式39例例11或解或解(重要极限法重要极限法)：40例例12解解41例例13解解所以所以42练习练习解解43解解例例14 这是数列极限这是数列极限,不能直接使用洛必达法则不能直接使用洛必达法则,要先化为函数极限要先化为函数极限.44或解或解例例1445小结小结洛必达法则洛必达法则463.3.若若 不存在时不存在时,不能断定原极限是否存在不能断定原极限是否存在,此时法则失效此时法则失效,改用其它方法改用

10、其它方法.洛必达法则并不能解洛必达法则并不能解决一切未定式的极限问题决一切未定式的极限问题.应用洛必达法则应注意的几个问题应用洛必达法则应注意的几个问题:1.1.应用洛必达法则时要应用洛必达法则时要分别求分子及分母的导数分别求分子及分母的导数,切忌不要把函数切忌不要把函数当做整个分式当做整个分式来求导来求导.2.2.洛必达法则洛必达法则可以累次使用可以累次使用,但必须注意但必须注意,每次使每次使用前需确定它是否为用前需确定它是否为未定式未定式.4.4.使用洛必达法则时使用洛必达法则时,要灵活结合其它方法要灵活结合其它方法,如等价如等价无穷小替换、凑重要极限、分离非零因子、恒等变无穷小替换、凑重

11、要极限、分离非零因子、恒等变形、换元等形、换元等.47P148习题四习题四练习练习：48第三节第三节49函数的单调性与导数符号的关系函数的单调性与导数符号的关系观察与思考：观察与思考：函数单调增加函数单调增加函数单调减少函数单调减少函数的单调性与函数的单调性与导数的符号导数的符号有什么关系？有什么关系？50函数单调增加时导数大于零；函数单调增加时导数大于零；观察结果：观察结果：函数的单调性与导数符号的关系函数的单调性与导数符号的关系函数单调增加函数单调增加函数单调减少函数单调减少函数单调减少时导数小于零。函数单调减少时导数小于零。51定理定理52证证应用拉格朗日定理应用拉格朗日定理,得得53例

12、例1 1解解例例2 2解解54例例3 3解解55例例4 4解解56也可用列表的方式，也可用列表的方式，例例4 4解解57 导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点的分界点方法方法:注意注意:区间内个别点导数为零区间内个别点导数为零,不影响不影响区间的单调性区间的单调性.例如例如,称驻点称驻点58例例5 5证证可利用函数的单调性证明不等式可利用函数的单调性证明不等式59例例6 6证证综上所述，综上所述，60由零点存在定理知，由零点存在定理知，例例7 7证证利用函数的单调性讨论方程的根利用函数的单调性讨论方程的根61小结小结单调性的判别是拉格朗日中值

13、定理定理的重单调性的判别是拉格朗日中值定理定理的重要应用要应用.定理中的区间换成其它有限或无限区间，结定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论仍然成立论仍然成立.应用：利用函数的单调性可以证明不等式和应用：利用函数的单调性可以证明不等式和确定某些方程实根的个数确定某些方程实根的个数.62P148习题四习题四练习练习：63问题问题:如何研究曲线的弯曲方向如何研究曲线的弯曲方向?第四节第四节 曲线的上下凸性和拐点曲线的上下凸性和拐点64曲线的上、下凸性就是曲线弯曲的方向曲线的上、下凸性就是曲线弯曲的方向.65定义定义下凸下凸凹凹上凸上凸凸凸6667观察与思考：观察与思考：曲线的凹向与函数的导数的单

14、调性有什么关系？曲线的凹向与函数的导数的单调性有什么关系？拐点拐点下凸下凸上凸上凸当曲线是下凸的时，当曲线是下凸的时，f(x)单调增加。单调增加。当曲线是上凸的时，当曲线是上凸的时，f(x)单调减少。单调减少。曲线凸性的判定曲线凸性的判定曲线下凸与上凸的分界点称为曲线的曲线下凸与上凸的分界点称为曲线的拐点拐点。68定理定理证略。证略。69例例1 1解解x yO70例例2 2解解下凸下凸上凸上凸下凸下凸拐点拐点拐点拐点71例例3 3解解拐点的求法：拐点的求法：1.1.找出二阶导数为零的点或不可导点；找出二阶导数为零的点或不可导点；2.2.若它两侧的二阶导数值异号若它两侧的二阶导数值异号,则为则为

15、拐点；若同号则不是拐点拐点；若同号则不是拐点.注意：注意：拐点要写出纵坐标。拐点要写出纵坐标。72例例4 4解解73P148习题四习题四练习练习：74一、函数的极值及其求法一、函数的极值及其求法第五节第五节 函数的极值与最值函数的极值与最值75定义定义函数的极大值与极小值统称为函数的极大值与极小值统称为极值极值,使函数取得极使函数取得极值的点称为值的点称为极值点极值点.注注：极值是局部性的概念：极值是局部性的概念,极大值不一定比极小值大极大值不一定比极小值大.76定理定理1 1(极值的必要条件极值的必要条件)由费马引理可知，由费马引理可知，所以对可导函数来讲所以对可导函数来讲,极值点必为驻点。

16、极值点必为驻点。但反之不然，驻点不一定是极值点但反之不然，驻点不一定是极值点.x yO77此外此外,不可导点不可导点也可能是极值点也可能是极值点,x yO函数的不可导点也不一定是极值点，函数的不可导点也不一定是极值点，x yO78 这就是说这就是说,极值点要么是极值点要么是驻点驻点,要么是要么是不可导点不可导点,两者必居其一两者必居其一.我们把驻点和孤立的不可导点统称为我们把驻点和孤立的不可导点统称为极值可疑点极值可疑点.下面给出两个充分条件下面给出两个充分条件,用来判别这些极值可疑点用来判别这些极值可疑点是否为极值点是否为极值点.79定理定理2(2(极值的第一充分条件极值的第一充分条件)一阶

17、导数一阶导数变号法变号法80定理定理3(3(极值的第二充分判别法极值的第二充分判别法)称为称为“二阶导数非零法二阶导数非零法”(1)(1)记忆记忆:几何直观；几何直观；说明：说明：(2)(2)此此法只适用于驻点法只适用于驻点,不能用于判断不能用于判断不可导点；不可导点；81例例1 1解法一解法一列表讨论列表讨论极极大大值值极极小小值值82例例1 1解法二解法二83例例2 2解解84例例3 3解解85例例4 4解解列表讨论列表讨论极极大大值值极极小小值值86例例5 5解解注意定义域！注意定义域！导数左负右正，导数左负右正，87例例6 6解解 两边关于两边关于x求导求导,得得对对(1)(1)式再求

18、导，得式再求导，得88 根据导函数的图形可知，一阶导数为零的点有根据导函数的图形可知，一阶导数为零的点有3 3个，而个，而 x=0=0 则是导数不存在的点则是导数不存在的点.三个一阶导数为零三个一阶导数为零的点左右两侧导数符号不一致，必为极值点，且两个的点左右两侧导数符号不一致，必为极值点，且两个极小值点，一个极大值点；在极小值点，一个极大值点；在x=0=0左侧一阶导数为正，左侧一阶导数为正，右侧一阶导数为负，可见右侧一阶导数为负，可见x=0=0为极大值点，故为极大值点，故f(x)共有共有两个极小值点和两个极大值点，应选两个极小值点和两个极大值点，应选(C).C).例例7 7解解xyo(A)A

19、)一个极小值点和两个极大值一个极小值点和两个极大值点点.(B)B)两个极小值点和一个极大两个极小值点和一个极大值点值点.(C)C)两个极小值点和两个极大两个极小值点和两个极大值点值点.(D)D)三个极小值点和一个极大值点三个极小值点和一个极大值点.89(1)确定函数的定义域；确定函数的定义域；(4)用极值的第一或第二充分条件判定用极值的第一或第二充分条件判定.注注意意 第二充分条件只能判定驻点的情形第二充分条件只能判定驻点的情形.求极值的步骤求极值的步骤:(3)求定义域内部的极值嫌疑点求定义域内部的极值嫌疑点(即驻点或即驻点或一一阶导数不存在的点阶导数不存在的点)；90二、函数的最值二、函数的

20、最值极值是局部性的极值是局部性的,而最值是全局性的而最值是全局性的.91具体求法：具体求法：92例例8 8解解计算计算比较得比较得93 在许多实际问题中，往往用到求函数最值的下述在许多实际问题中，往往用到求函数最值的下述方法：方法：94将将边边长长为为a的的正正方方形形铁铁皮皮,四四角角各各截截去去相相同同的的小小正正方方形形,折折成成一一个个无无盖盖方方盒盒,问问如如何何截截,使使方方盒盒的的容积最大？为多少？容积最大？为多少？设小正方形的边长为设小正方形的边长为x，则方盒的容积为则方盒的容积为 例例9 9解解axa-2x 95将将边边长长为为a的的正正方方形形铁铁皮皮,四四角角各各截截去去

21、相相同同的的小小正正方方形形,折折成成一一个个无无盖盖方方盒盒,问问如如何何截截,使使方方盒盒的的容积最大？为多少？容积最大？为多少？求导得求导得设小正方形的边长为设小正方形的边长为x，则方盒的容积为则方盒的容积为 例例9 9解解96将将边边长长为为a的的正正方方形形铁铁皮皮,四四角角各各截截去去相相同同的的小小正正方方形形,折折成成一一个个无无盖盖方方盒盒,问问如如何何截截,使使方方盒盒的的容积最大？为多少？容积最大？为多少？求导得求导得设小正方形的边长为设小正方形的边长为x，则方盒的容积为则方盒的容积为 解解例例9 997要做一个容积为要做一个容积为V的圆柱形罐头筒，怎样设计的圆柱形罐头筒

22、，怎样设计才能使所用材料最省？才能使所用材料最省？hr设底半径为设底半径为r,高为高为h，总的表面积为总的表面积为例例1010解解即表面积最小即表面积最小.即高与底面直径相等即高与底面直径相等.即为最小值点即为最小值点 .导数左负右正，是极小值点，导数左负右正，是极小值点，98例例1111解解利用最值证明不等式利用最值证明不等式99例例1212解解分析分析 数列是离散函数数列是离散函数,不能求导不能求导,应把应把n改为改为x,转化为转化为连续函数连续函数,再求导再求导.利用对数求导法利用对数求导法,得得 导数左正右负，导数左正右负，100经济应用举例经济应用举例1.1.平均成本平均成本(AC)

23、AC)最低问题最低问题例例1313 设成本函数为设成本函数为则平均成本为则平均成本为得驻点得驻点此此时时平均成本和平均成本和边际边际成本均成本均为为4.4.一般一般,当平均成本最低时当平均成本最低时,平均成本与边际成本相等平均成本与边际成本相等.1012.2.最大利润问题最大利润问题 例例1414利润函数为利润函数为解解得驻点得驻点102一般一般,利润函数为利润函数为其中其中Q为产量为产量,时时,利润最大利润最大,其中其中MR和和MC分别表示分别表示边际收益边际收益和和边际成本边际成本(Marginalrevenue,Marginalcost),“生产商为获得最大利润生产商为获得最大利润,应将

24、产量调整到边际收应将产量调整到边际收益等于边际成本的水平益等于边际成本的水平”.这是微观经济学的一这是微观经济学的一个重要结论个重要结论.103 某厂生产某种商品某厂生产某种商品,其年销售量为其年销售量为100100万件万件,每批生产需增加准备费每批生产需增加准备费10001000元元,而每件商品的库而每件商品的库存费为存费为0.050.05元元.如果年销售率是均匀的如果年销售率是均匀的(即商品库即商品库存数为批量的一半存数为批量的一半),),问应分几批生产问应分几批生产,能使生产能使生产准备费和库存费之和最小？准备费和库存费之和最小？3.3.最优批量最优批量库存问题库存问题例例1515解解

25、设分设分x批生产批生产,则生产准备费和库存费之和为则生产准备费和库存费之和为得唯一驻点得唯一驻点104P148习题四习题四练习练习：105第六节第六节 渐近线和函数作图渐近线和函数作图一、曲线的渐近线一、曲线的渐近线1.1.水平渐近线水平渐近线例如例如有两条水平渐近线有两条水平渐近线:xy(平行于平行于x轴的渐近线轴的渐近线)106例如例如有两条竖直渐近线有两条竖直渐近线:2.2.竖直渐近线竖直渐近线(垂直于垂直于x轴的渐近线轴的渐近线)1073.3.斜渐近线斜渐近线斜渐近线求法斜渐近线求法:108例例1 1解解109110二、函数作图二、函数作图第一步第一步第二步第二步第三步第三步第四步第四

26、步第五步第五步111例例2 2解解非奇非偶函数非奇非偶函数.列列表表不存在不存在拐点拐点极小值点极小值点间间断断点点112 C(-1,-2)，E(2,1)，D(1,6)，作出函数的图形作出函数的图形.xO yF(3,-2/9).B(-2,-3)，D水平渐近线水平渐近线ABCDEF不存在不存在拐点拐点极小值点极小值点间间断断点点描点描点:A(-3,-26/9)，y -2竖直渐近线竖直渐近线x 0113例例3 3解解偶函数偶函数,图形关于图形关于y轴对称轴对称.114拐点拐点极大值极大值列表确定函数升降区间列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点凹凸区间及极值点与拐点:拐点拐点115116定义域：定义域：(-,-2)-2(-2,-1)-1(-1,0)0(0,+)xy间断间断极大值极大值-极小值极小值0解解渐近线：渐近线：00例例4 4竖直渐近线竖直渐近线斜渐近线斜渐近线117xO y-11-1函数图形：函数图形：B(0,0)，A(-2,-4)，描点：描点：(-,-2)-2(-2,-1)-1(-1,0)0(0,+)xy间断间断极大值极大值-极小值极小值0y 00y 渐近线：渐近线：118P148习题四习题四练习练习：