函数的泰勒公式一元函数的泰勒公式.ppt

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1、第九节第九节 二元函数的泰勒公式二元函数的泰勒公式二、二元函数的泰勒公式二、二元函数的泰勒公式三、极值充分条件的证明三、极值充分条件的证明一、问题的提出一、问题的提出一、问题的提出一、问题的提出一元函数的泰勒公式一元函数的泰勒公式问题问题 能否用多个变量的多项式来近似表能否用多个变量的多项式来近似表达一个给定的多元函数，并能具体地估算出误差达一个给定的多元函数，并能具体地估算出误差的大小的大小.二、二元函数的泰勒公式二、二元函数的泰勒公式其中记号其中记号表示表示表示表示一般地一般地,记号记号证证引入函数引入函数显然显然由由 的定义及多元复合函数的求导法则的定义及多元复合函数的求导法则,可得可得

2、利用一元函数的麦克劳林公式，得利用一元函数的麦克劳林公式，得),()0 0(0 00 0y yx xf f=F F),()1 1(0 00 0k ky yh hx xf f+=F F将将,及及上面求得的上面求得的直到直到阶导数在阶导数在的值的值,以及以及在在)(t tF Fn n0 0=t t)()1 1(t tn n+F Fq q=t t的值代入上式的值代入上式.即得即得其中其中证毕证毕其中其中当当0 0=n n时时,公式公式)1 1(成为成为上式称为上式称为二元函数的拉格朗日中值公式二元函数的拉格朗日中值公式.例例 1 1解解其中其中三、极值充分条件的证明三、极值充分条件的证明利用二元函数

3、的泰勒公式证明第八节中定理利用二元函数的泰勒公式证明第八节中定理2 2证证依二元函数的泰勒公式，依二元函数的泰勒公式，)1 1(设设0 02 2-B BACAC,即即 因因),(y yx xf f的二阶偏导数在的二阶偏导数在)(0 01 1P PU U内连续内连续,由由不等式不等式)7 7(可知可知,存在点存在点0 0P P的邻域的邻域)()(0 01 10 02 2P PU UP PU U蘿蘿,使得对任一使得对任一)(),(0 02 20 00 0P PU Uk ky yh hx x蝳蝳+有有注注:将将),(y yx xf fxxxx在点在点),(0 00 0k ky yh hx xq qq

4、 q+处的值处的值记为记为xxxxf f,其他类似其他类似.)2(设设02-BAC,即即先假定先假定,0 0),(),(0 00 00 00 0=y yx xf fy yx xf fyyyyxxxx则则.0 0),(0 00 0箎箎y yx xf fxyxy分别令分别令h hk k=及及h hk k-=,则由则由)6 6(式可得式可得及及其中其中.1 1,0 02 21 1 q qq q 再证再证),(),(0 00 00 00 0y yx xf fy yx xf fyyyyxxxx与与不同时为零的情形不同时为零的情形.不妨不妨.0 0),(0 00 0箎箎y yx xf fxyxy先取先取0

5、 0=k k,于是由于是由)6 6(式得式得当当h h充分接近零时充分接近零时,f fD D与与),(0 00 0y yx xf fxxxx同号同号.但如果取但如果取,),(,),(0 00 00 00 0s sy yx xf fk ks sy yx xf fh hxxxxxyxy=-=其中其中s s是异于零但充分接近于零的数是异于零但充分接近于零的数,则可发现则可发现,当当s s充分小时充分小时,f fD D与与),(0 00 0y yx xf fxxxx异号异号.),(0 00 0y yx xf fD D 如此证明了如此证明了:在点在点的任意邻近的任意邻近,可取可取不同符号的值不同符号的值,因此因此),(0 00 0y yx xf f不是极值不是极值.考察函数考察函数及及容易验证容易验证,这两个函数都以这两个函数都以)0 0,0 0(为驻点为驻点,且在点且在点)0 0,0 0(处都满足处都满足0 02 2=-B BACAC.但但),(y yx xf f在点在点)0 0,0 0(处有极小值处有极小值,而而),(y yx xg g在点在点)0 0,0 0(处却没有极值处却没有极值.