随机变量的数学期望与方差.ppt

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1、2.2 随机变量的数学期望分赌本问题(17世纪)甲乙两赌徒赌技相同，各出赌注50元.无平局，谁先赢3局，则获全部赌注.当甲赢2局、乙赢1局时，中止了赌博.问如何分赌本?两种分法 1.按已赌局数分：则甲分总赌本的2/3、乙分总赌本的1/3 2.按已赌局数和再赌下去的“期望”分：因为再赌两局必分胜负，共四种情况：甲甲、甲乙、乙甲、乙乙所以甲分总赌本的3/4、乙分总赌本的1/4 2.2.1 数学期望的概念 1654年帕斯卡提出如下的分法：设想再赌下年帕斯卡提出如下的分法：设想再赌下去，则甲最终所得去，则甲最终所得X为一个随机变量，其可能为一个随机变量，其可能的取值为的取值为0或或100，分布列为，分

2、布列为 X 0 100P 1/4 3/4甲的“期望”所得是：01/4+100 3/4=75.上式中上式中 为各种可能的身高，而为各种可能的身高，而 数学期望的定义数学期望的定义E(X)=解E(X)=10.2+00.1+10.4+20.3=0.8.X 1 0 1 2P 0.2 0.1 0.4 0.3数学期望简称为期望.数学期望又称为均值.数学期望是一种加权平均.注 意 点 数学期望的性质定理 设 Y=g(X)是随机变量X的函数，若 E(g(X)存在，则例 设随机变量 X 的概率分布为求 E(X2+2).X 0 1 2P 1/2 1/4 1/4例 某公司经销某种原料,根据历史资料表明:这种原料的市

3、场需求量X(单位:吨)服从(300,500)上的均匀分布.每售出1吨该原料,公司可获利1.5(千元);若积压1吨,则公司损失0.5(千元).问公司该组织多少货源,可使平均收益最大?数学期望的性质(1)E(c)=c(2)E(aX)=aE(X)(3)E(g1(X)+g2(X)=E(g1(X)+E(g2(X)练习1设 X 求下列 X 的函数的数学期望.(1)2X1,(2)(X 2)2解:(1)E(2X 1)=1/3,(2)E(X 2)2=11/6.2.3 随机变量的方差与标准差日走时误差（秒）-3-2-10123概率（甲）0.10.150.150.20.150.150.1概率（乙）0.050.050

4、.10.60.10.050.05引例：两个牌号手表的日走时误差情况如下表。问哪一种牌号的手表走时更为准确？问题：能否用一个数值来刻画随机变量X与其数学期望的偏离程度呢？2.3.1 方差与标准差的定义定义 若 E(XE(X)2 存在，则称 E(XE(X)2 为 X 的方差，记为Var(X)=D(X)=E(XE(X)2 该公式是计算方差一个很重要的公式(2)称注 意 点X=(X)=(1)方差反映了随机变量相对其均值的偏离程度.方差越大,则随机变量的取值越分散.为X 的标准差.标准差的量纲与随机变量的量纲相同.方差的性质(1)Var(c)=0.性质(2)Var(aX+b)=a2 Var(X).性质(

5、3)Var(X)=E(X2)E(X)2.性质 例 设 X,求 E(X),Var(X).解:(1)E(X)=1(2)E(X2)=7/6所以,Var(X)=E(X2)E(X)2=7/6 1=1/6课堂练习 设则方差 Var(X)=()。随机变量的标准化 设 Var(X)0,令则有 E(Y)=0,Var(Y)=1.称 Y 为 X 的标准化.切比雪夫不等式 设随机变量X的方差存在(这时均值也存在),则 对任意正数，有下面不等式成立切比雪夫不等式也可以写成 在概率论中注 意 点称为大偏差.称为大偏差发生的概率。其概率 例设 X证明证明:E(X)=n+1E(X2)=(n+1)(n+2)所以,Var(X)=E(X2)(EX)2=n+1,(这里,=n+1)由此得定理 Var(X)=0P(X=a)=1