多元函数极值和最值.ppt

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1、8.8 多元函数的极值与最值多元函数的极值与最值8.8.1 多元函数的极值多元函数的极值8.8.2 多元函数的条件极值多元函数的条件极值8.8.3 Lagrange(拉格朗日拉格朗日)乘数法乘数法8.8.4 多元函数的最值及其应用多元函数的最值及其应用极大值和极小值的定义极大值和极小值的定义和一元函数一样，和一元函数一样，极值极值是局部概念是局部概念定义定义点点P0为函数的为函数的极大值点极大值点.类似可定义类似可定义极小值点极小值点和和极小值极小值(relative minimum).(relative minimum).设在点设在点P0的某个邻域的某个邻域,为为极大值极大值(relativ

2、e maximum).则称则称8.8.1 多元函数的极值多元函数的极值(extremum)函数的极大值与极小值统称为函数的极大值与极小值统称为函数的极大值点与极小值点统称为函数的极大值点与极小值点统称为极值极值.极值点极值点.例例例例例例在在(0,0)点取极小值点取极小值.在在(0,0)点取极大值点取极大值.(也是最大值也是最大值).).在在(0,0)点无极值点无极值.椭圆抛物面椭圆抛物面下半圆锥面下半圆锥面马鞍面马鞍面函数函数函数函数(也是最小值也是最小值).).函数函数一元函数极值的必要条件一元函数极值的必要条件如果函数如果函数可导可导,处取得极值处取得极值,那么那么一元函数极值一元函数极

3、值(第二第二)充分条件充分条件极大值极大值(极小值极小值).).回忆回忆二元函数极值的必要条件二元函数极值的必要条件证证定理定理则则有极大值有极大值,不妨设不妨设都有都有的极大值点的极大值点,同理可证同理可证也有也有是一元函数是一元函数推广推广 如果三元函数如果三元函数具有偏导数具有偏导数,则它在则它在有极值的有极值的必要条件必要条件:称为函数的称为函数的驻点驻点具有偏导的具有偏导的极值点极值点类似一元函数类似一元函数,使使一阶偏导数一阶偏导数同时为零的点同时为零的点,驻点驻点(critical points).(critical points).如如,驻点驻点,但不是极值点但不是极值点.说明

4、说明二元函数极值的充分条件二元函数极值的充分条件定理定理有二阶连续偏导数有二阶连续偏导数,(1)(1)是极值是极值,为极大值为极大值,为极小值为极小值;(2)(2)不是极值不是极值;(3)(3)可能是极值可能是极值,也可能不是极值也可能不是极值.则则证明：证明：设(x,y)在包含P(a,b)点的开区域R上有连续偏导，且x(a,b)=y(a,b)=0(如图).令h和k 是微小的增量，使得点S(a+h,b+k)与P点的连线位于R内。设F(t)=(a+th,b+tk)，则由链导法则对对F(t)应用应用Taylor公式公式即即由于由于f具有二阶连续偏导，所以只要具有二阶连续偏导，所以只要则对充分小的则

5、对充分小的h和和k，求函数求函数 极值的一般步骤极值的一般步骤:解方程组解方程组求出实数解求出实数解,得驻点得驻点.对于每一个驻点对于每一个驻点求出二阶偏导数的值求出二阶偏导数的值定出定出的符号的符号,判定是否是极值判定是否是极值.例例 解解在点在点(0,0)处处,在点在点(a,a)处处,的极值的极值.不是极值不是极值;是极大值是极大值。解方程组解方程组求求的符号的符号定出定出解解求由方程求由方程将方程两边分别对将方程两边分别对x,y求偏导数求偏导数,由函数取极值的由函数取极值的必要条件必要条件,令令得得驻点驻点为为法法1 1代入原方程代入原方程,练习练习f(1,1)是极值是极值.将上方程组再

6、分别将上方程组再分别对对x,y求偏导数求偏导数,在驻点在驻点代入方程组，得代入方程组，得为极小值为极小值;为极大值为极大值.f(1,1)是极值是极值.求由方程求由方程解解 法法2 2初等配方法初等配方法 方程可变形为方程可变形为 根号中的极大值为根号中的极大值为4,4,为极值为极值.为极大值为极大值,为极小值为极小值.练习练习例例但但(0,0)是函数的极大值点是函数的极大值点.所以，在研究函数的极值时所以，在研究函数的极值时,除讨论偏除讨论偏导数为导数为0 0的点外的点外,还应研究偏导数不存在的点还应研究偏导数不存在的点.也可能是也可能是极值点极值点.在点在点(0,0)处的偏导数不存在处的偏导

7、数不存在,说明说明偏导数偏导数不存在的点，不存在的点，2003年考研数学年考研数学(一一),4分分*选择题选择题已知函数已知函数f(x,y)在点在点(0,0)的某个邻域内连续的某个邻域内连续,则则(A)点点(0,0)不是不是f(x,y)的极值点的极值点.(B)点点(0,0)是是f(x,y)的极大值点的极大值点.(C)点点(0,0)是是f(x,y)的极小值点的极小值点.(D)根据所给条件无法判断点根据所给条件无法判断点(0,0)是否为是否为f(x,y)的极值点的极值点.求一元连续函数求一元连续函数 f(x)在闭区间在闭区间 a,b 上的最值的一般步骤上的最值的一般步骤最大者即为最大者即为最大值最

8、大值,最小者即为最小者即为最小值最小值.求函数在求函数在 (a,b)内内的的嫌疑点嫌疑点将嫌疑点的函数值与区间端点的函将嫌疑点的函数值与区间端点的函 数值数值 f(a),f(b)相互比较相互比较,回忆回忆最大者即为最大者即为最大值最大值,最小者即为最小者即为最小值最小值.求二元连续函数在有界闭域求二元连续函数在有界闭域D D内的内的最值的一般步骤最值的一般步骤:求函数在求函数在D内内的所有的所有嫌疑点嫌疑点求函数在求函数在D的的边界上边界上的的嫌疑点嫌疑点将所有嫌疑点的函数值相互比较将所有嫌疑点的函数值相互比较,解解(1)求函数在求函数在D内内的驻点（嫌疑点）的驻点（嫌疑点）由于由于所以函数在

9、所以函数在D内无极值点内无极值点.(2)求函数在求函数在 D边界上的边界上的嫌疑点嫌疑点(最值只能在边界上最值只能在边界上)围成的三角形闭域围成的三角形闭域D上的上的最大最大(小小)值值.例例D在边界线在边界线在边界线在边界线最小最小,又在端点又在端点(1,0)处处,最大最大.有驻点有驻点 函数值函数值有有单调上升单调上升.D D在边界线在边界线所以所以,最值在端点处最值在端点处.函数单调下降函数单调下降,(3)(3)比较比较D为最小值为最小值;为最大值为最大值.解解此时此时的最大值与最小值的最大值与最小值.驻点驻点得得上上在在求求4:94),(2222+=yxDyxyxf解解 由由无条件极值

10、无条件极值：对自变量除了限制在定义域内对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件外，并无其他条件.对自变量有对自变量有约束条件约束条件的极值的极值.条件极值条件极值8.8.2多元函数的条件极值求条件极值的方法求条件极值的方法 代入法代入法 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法解解例例 已知长方体长宽高的和为已知长方体长宽高的和为18,18,问长、宽、高问长、宽、高各取什么值时长方体的体积最大？各取什么值时长方体的体积最大？设长方体的长、宽、高分别为设长方体的长、宽、高分别为由题意由题意长方体的体积为长方体的体积为(1)(1)代入代入(1)(1)式式(目标函数目标函数)(约束条件约束条件)已知长方体长宽

11、高的和为已知长方体长宽高的和为18,18,问长、宽、高问长、宽、高各取什么值时长方体的体积最大？各取什么值时长方体的体积最大？且长方体体积且长方体体积一定有最大值一定有最大值,长方体体积最大长方体体积最大.故当的长、宽、高都为故当的长、宽、高都为6 6时时,由于由于V在在D内只有一个驻点内只有一个驻点,上例的条件极值问题上例的条件极值问题,但并不是所有情况下都能这样做，但并不是所有情况下都能这样做，更多时候更多时候拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法说明说明是通过是通过将约束条件代入将约束条件代入目标函数中求解目标函数中求解;一般方法一般方法用到的是下面要介绍的，解决用到的是下面要介绍的，解决条件极值

12、条件极值问题的问题的目标函数目标函数约束条件约束条件 设函数设函数(1)(1)在在由条件由条件(1)(1)(2)(2)取得极值取得极值,则首先有则首先有(3)(3)确定确定y是是x的隐函数的隐函数则一元函数则一元函数也取得极值也取得极值.8.8.3 Lagrange(拉格朗日拉格朗日)乘数法乘数法在在(4)(4)代入代入(4)(4)得得:(4(4)记记上述必要条件变为上述必要条件变为:(6)(6)(6)(6)便是便是为极值点的必要条件为极值点的必要条件(6)(6)中的三个式子的左边恰是中的三个式子的左边恰是(6)(6)三个一阶偏导数在三个一阶偏导数在的值的值.称为称为拉格朗日函数拉格朗日函数拉

13、格朗日乘数拉格朗日乘数在条件在条件求函数求函数下的可能极值点下的可能极值点,先构造先构造拉格朗日函数拉格朗日函数令令解出解出其中其中就是就是可能的可能的极值点的坐标极值点的坐标.拉格朗日乘数法求条件极值拉格朗日乘数法求条件极值实际问题中实际问题中,可根据问题本身来判定所求点可根据问题本身来判定所求点是否为是否为极值点极值点.推广推广:约束条件多于一个的情况约束条件多于一个的情况.自变量多于两个，自变量多于两个，目标函数目标函数约束条件约束条件 例例拉格朗日函数拉格朗日函数令令满足方程的满足方程的是是可能的可能的极值点的坐标极值点的坐标.解解为所求切点坐标为所求切点坐标,令令则则的的切平面方程切

14、平面方程为为在第一卦限内作椭球面在第一卦限内作椭球面的的使切平面与三个坐标面所围成的使切平面与三个坐标面所围成的例例切平面切平面,四面体体积最小四面体体积最小,求切点坐标求切点坐标.目标函数目标函数该该切平面在三个轴上的截距切平面在三个轴上的截距各为各为化简为化简为四面体的体积四面体的体积约束条件约束条件约束条件约束条件目标函数目标函数令令可得可得为简化计算为简化计算,令令可得可得所以当切点坐标为所以当切点坐标为四面体的体积最小四面体的体积最小目标函数目标函数因为最小的四面体体积存在因为最小的四面体体积存在,唯一解唯一解解解为简化计算为简化计算,令令是曲面上的点是曲面上的点,它与已知点的距离为它与已知点的距离为目标函数目标函数约束条件约束条件练习练习设设(1)(1)(2)(2)(3)(3)(4)(4)由于最短距离存在，由于最短距离存在，得得唯一驻点唯一驻点 本题也可利用切平面来求本题也可利用切平面来求1、多元函数的极值、多元函数的极值3、拉格朗日乘数法求条件极值、拉格朗日乘数法求条件极值（取得极值的必要条件、充分条件）（取得极值的必要条件、充分条件）2、多元函数的最值、多元函数的最值小结思考题思考题思考题解答思考题解答作业：作业：p.365 习题习题8.8 1,2(3),3(2),7,15,16,22,24,25.练练 习习 题题练习题答案练习题答案