《湍流及转捩》PPT课件.ppt

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1、计算流体力学讲义计算流体力学讲义 第十五讲第十五讲 湍流与转捩湍流与转捩（3）李新亮李新亮；力学所主楼；力学所主楼219；82543801 知识点：知识点：1讲义、课件上传至讲义、课件上传至 (流体中文网）流体中文网）-“流体论坛流体论坛”-“CFD基础理论基础理论”讲课录像及讲义上传至网盘讲课录像及讲义上传至网盘 http:/cid- by Li Xinliang 湍流的大涡模拟湍流的大涡模拟(LES)滤波，涡粘模型，相似模型，梯度模型，动力学模型滤波，涡粘模型，相似模型，梯度模型，动力学模型湍流模式理论（湍流模式理论（RANS）：）：计算量较小，但普适性差，很难找到通计算量较小，但普适性差

2、，很难找到通用的模型用的模型 14.6 湍流大涡模拟简介湍流大涡模拟简介原因：原因：湍流脉动的多尺度性湍流脉动的多尺度性 大尺度脉动：大尺度脉动：受几何条件、外部因素影受几何条件、外部因素影响强烈。响强烈。复杂、多态、强各向异性复杂、多态、强各向异性思路：思路：小尺度脉动受平均流影响较小，更容易模化小尺度脉动受平均流影响较小，更容易模化大涡模拟（大涡模拟（LES）：）：流动流动=大尺度流动大尺度流动 +小尺度脉动小尺度脉动直接求解直接求解通过模型，由大尺度通过模型，由大尺度量给出量给出大尺度区 惯性区 耗散区可压均匀各向同性湍流的能谱可压均匀各向同性湍流的能谱受几何条件，外受几何条件，外部因素

3、影响强烈，部因素影响强烈，只能直接求解只能直接求解受外部因素影响受外部因素影响较弱，容易模化较弱，容易模化1.滤波波 a.盒式盒式滤波波 b.谱截断截断滤波波c.Gaussian型型滤波波 14.5.1 不可压缩湍流的大涡模拟简介不可压缩湍流的大涡模拟简介设设 的滤波尺度为的滤波尺度为2.滤波的性质滤波的性质A.若采用若采用Box 滤波及谱截断滤波则滤波及谱截断滤波则：令：则:B.若采用一般的滤波器则：若采用一般的滤波器则：如采用如采用Gaussian型滤波有如下性质型滤波有如下性质 相当于相当于 尺度的滤波尺度的滤波3.基本方程基本方程 大尺度量满足的方程大尺度量满足的方程滤波：滤波：亚格子

4、亚格子Reynolds应力应力性质：性质：由于通常情况下由于通常情况下LES亚格子亚格子Reynolds应力与应力与RANS的的Reynolds应力形式有所区别应力形式有所区别RANSLeonard应力应力特点：特点：无需模型，可直接计算无需模型，可直接计算4.亚格子亚格子Reynolds应力模型应力模型（1）Smagorinsky 模型模型其中其中特点：特点：模型简单，鲁棒性好模型简单，鲁棒性好缺点：缺点：在层流区耗散过大，在近壁区不适用。在层流区耗散过大，在近壁区不适用。需要衰减函数需要衰减函数 A.基本模型基本模型隐式滤波隐式滤波涡粘模型常用的衰减函数：常用的衰减函数：算出算出 后，乘以

5、该后，乘以该函数即可函数即可只需将原先的粘性系数 换成（2）相似模型）相似模型假设不同尺度对雷诺应力的贡献是相似的假设不同尺度对雷诺应力的贡献是相似的将上式中的将上式中的 换成换成 得得即相似模型即相似模型该模型预测雷诺应力的准确度有所提高该模型预测雷诺应力的准确度有所提高但该模型预测的雷诺应力偏低但该模型预测的雷诺应力偏低 小尺度小尺度大尺度大尺度（3）梯度模型梯度模型采用采用Taylor分析的方法找出亚格子应力模型分析的方法找出亚格子应力模型若采用若采用BOX滤波滤波推导过程并不严密，高阶量推导过程并不严密，高阶量 为必是小量为必是小量从相似模型推导，可以得出同样的公式。从相似模型推导，可

6、以得出同样的公式。缺点：缺点：稳定性差稳定性差 Liu et al 1994 建议采用限制器：建议采用限制器：B.动力学模型动力学模型采用二次滤波的方法建立亚格子应力模型采用二次滤波的方法建立亚格子应力模型小尺度G-level F-levelGermano 恒等式：恒等式：F-滤波滤波+G-滤波滤波 与与 FG滤波之间的关系式滤波之间的关系式F-level 滤波滤波 滤波尺度为滤波尺度为 ，G-level滤波滤波 滤波尺度为滤波尺度为 FG-level滤波滤波：特点：特点：该量无需模型，可直接计算该量无需模型，可直接计算FG滤波F滤波+G滤波Copyright by Li Xinliang12

7、特点：特点：无需模化，可无需模化，可“精确精确”算出算出 FG滤波滤波（）亚格子应）亚格子应力力经过经过G-滤波后的滤波后的F-滤波（滤波（）亚格子应力）亚格子应力Germano恒等式启发：启发：Germano 提供了亚格子模型的一个提供了亚格子模型的一个约束条件约束条件，可用来改进模型，可用来改进模型模型系数，动态可调，需要计算仅仅C是未知数，可解是未知数，可解6个方程个方程1个未知数，通常采用最小二乘解个未知数，通常采用最小二乘解（1）动力学涡粘模型动力学涡粘模型 F-levelFG-level预测亚格子雷诺应力的准确性有所提高，改进了层流区及近壁过于耗散预测亚格子雷诺应力的准确性有所提高

8、，改进了层流区及近壁过于耗散的情况。的情况。涡粘系数涡粘系数C动态可调动态可调通过两次滤波，确定该系数通过两次滤波，确定该系数FG滤波，相当于用滤波，相当于用 进行滤波进行滤波可直接计算，可直接计算，无需模型无需模型(2)动力学混合模型动力学混合模型 基本模型为相似模型与涡粘模型的混合模型基本模型为相似模型与涡粘模型的混合模型（3）动力学）动力学Clark模型模型基本模型为梯度模型与涡粘模型的混合模型基本模型为梯度模型与涡粘模型的混合模型5.近壁处理近壁处理显然在近壁处亚格子雷诺应力应当趋于显然在近壁处亚格子雷诺应力应当趋于0，但很多模型却不满足该条件但很多模型却不满足该条件因此需要采用特殊处

9、理（采用衰减函数）因此需要采用特殊处理（采用衰减函数）而动力学模型无需衰减函数而动力学模型无需衰减函数例如：14.5.2 可压湍流的大涡模拟可压湍流的大涡模拟压缩性效应：压缩性效应：A.引起平均量改变（主要是平均密度的变化引起的）引起平均量改变（主要是平均密度的变化引起的）B.引起流动小尺度结构的变化（如小激波）引起流动小尺度结构的变化（如小激波）弱可压缩下的弱可压缩下的Morkovin理论：当湍流马赫数较小时，压缩性效应主要影响理论：当湍流马赫数较小时，压缩性效应主要影响平均量。平均量。Favre 平均可压槽道湍流的平均密度温度和压力可压槽道湍流的平均密度温度和压力基本方程基本方程更复杂的非

10、线性项：更复杂的非线性项：粘性项也是非线性的粘性项也是非线性的：出现了压力关连项出现了压力关连项：热传导项也是非线性的热传导项也是非线性的：当马赫数不是很高时，粘性项及热传导项的非线性是很弱的当马赫数不是很高时，粘性项及热传导项的非线性是很弱的对（对（1）进行滤波）进行滤波：可压缩湍流亚格子雷诺应力模型可压缩湍流亚格子雷诺应力模型能量方程中的亚格子模型能量方程中的亚格子模型Copyright by Li Xinliang21本本CFD课程的全部习题课程的全部习题习题习题1.1：推导无量纲的推导无量纲的Navier-Stokes方程组方程组习题习题1.2：对于一维对于一维Euler方程组方程组

11、推导推导Jocabian矩阵矩阵 以及以及 中中 的表达式。的表达式。要求：要求：给出具体推导过程，切忌从书上抄录公式给出具体推导过程，切忌从书上抄录公式习题习题 2.1 如下如下Sod 激波管问题激波管问题:求出理论解，求出理论解，并分别画出并分别画出t=0.14时刻时刻 的分布曲线。的分布曲线。Copyright by Li Xinliang22习题习题4.1 构造高分辨率差分格式，并进行理论分析及数值实验构造高分辨率差分格式，并进行理论分析及数值实验 针对单波方程针对单波方程：对于空间导数，构造出一种不超过对于空间导数，构造出一种不超过6点格式；并进行点格式；并进行Fourier误差分析

12、，误差分析，画出画出kr,ki的曲线。的曲线。要求：精度不限；要求：精度不限；网格基架点数不超过网格基架点数不超过6个；个；能够分辨的波数范围尽量宽；能够分辨的波数范围尽量宽；（即（即kr,ki曲线近可能接近准确解）曲线近可能接近准确解）给出差分的具体表达式，给出差分的具体表达式，画出画出kr,ki的曲线；的曲线；说明构造格式的阶数，并采用本说明构造格式的阶数，并采用本PPT第第5页的方法给出的精度验证；页的方法给出的精度验证；形如：另外，进行如下数值验证：另外，进行如下数值验证：空间采用空间采用20个网格点，采用新构造的差分格式离散；时间推进采用个网格点，采用新构造的差分格式离散；时间推进采

13、用3步步Runge-Kutta方法，时间步长可足够小（例如方法，时间步长可足够小（例如0.01）。给出）。给出t=20,50两个时两个时刻的数值解，与精确解比较（画图），并给出数值解的刻的数值解，与精确解比较（画图），并给出数值解的L2模误差。模误差。23Copyright by Li Xinliang提示：1.如不使用优化技术，则格式构造方法简单，Taylor展开后解代数方程组即可。2.建议尝试使用优化技术 例：假设格式形式如下如果要求其有5阶精度，则通过Taylor展开可得到6个方程，6个系数可直接解出。我们要求其有4阶精度（当然3阶，2阶也可），于是Taylor展开只能提供5个方程。6个

14、未知数（a1-a6），5个方程；有1个自由参数。调整这个自由参数，使得kr,ki曲线最为理想。如何调整？1)可以人工调整，观察kr,ki曲线，选取满意的。2）可自动调整，设立一个优化目标函数。例如 调整自由参数，使得该目标函数取最大值。思路：牺牲精度，提高分辨率 24Copyright by Li Xinliang习题习题4.2：构造更高分辨率的构造更高分辨率的GVC格式格式 对于空间导数，构造出一种不超过对于空间导数，构造出一种不超过6点的点的GVC格式。要求：格式。要求：a.精度不限；精度不限；b.网格基架点数不超过网格基架点数不超过6个；个；c.求解模型方程求解模型方程 计算结果间断尽量

15、保持计算结果间断尽量保持“锐利锐利”;计算结果振荡尽量小。计算结果振荡尽量小。振荡的定量判据：振荡的定量判据：总变差（总变差（Total Variation）：）：间断间断“锐利锐利”的定量判据：的定量判据：间断区内的点数？间断区内的点数？（自行设计）（自行设计）给出差分格式的表达式、色散给出差分格式的表达式、色散/耗散分析耗散分析（ki,kr曲线）；曲线）；给出模型方程给出模型方程t=0.2的结果（空间的结果（空间100个网格点，计算域个网格点，计算域0,1，时间推进可采用，时间推进可采用3阶阶Runge-Kutta方法）；与精确解及方法）；与精确解及NND2a进行比较（画在同一张图上）进行

16、比较（画在同一张图上）建议：利用优化方法25Copyright by Li Xinliang习题习题4.3 求解求解 Sod 激波管问题激波管问题 计算其数值解，画出计算其数值解，画出t=0.14时刻密度、速度及压力的分布；并与精确解进行比较时刻密度、速度及压力的分布；并与精确解进行比较（要求画在一张图上）。（要求画在一张图上）。要求：要求：1）空间网格数空间网格数100，时间推进格式选用时间推进格式选用3阶阶Runge-Kutta,时间步长自选。时间步长自选。2）可选用逐点分裂，也可选用特征分裂。可选用逐点分裂，也可选用特征分裂。3）建议采用本讲作业题建议采用本讲作业题2（或作业题（或作业题

17、1）自行构造的差分格式计算。）自行构造的差分格式计算。（作业题（作业题2是激波捕捉格式，效果应当会好些）。是激波捕捉格式，效果应当会好些）。如果作业题如果作业题1和作业题和作业题2遇到困难，也可采用现有的差分格式。遇到困难，也可采用现有的差分格式。26Copyright by Li Xinliang考虑 如下Sod激波管问题Copyright by Li Xinliang27习题习题6.1 熟悉熟悉MPI环境及基本编程训练环境及基本编程训练 1）建立建立MPI运行环境运行环境（有并行机账户或在微机上安装（有并行机账户或在微机上安装MPI环境）。环境）。2）编制如下基本的编制如下基本的MPI程序

18、程序 计算计算S=1+2+3+1000 要求程序可以实现要求程序可以实现N个进程的并行运行且负载尽量均衡。个进程的并行运行且负载尽量均衡。N可变，程序中可变，程序中使用使用MPI_Comm_Size()函数读入函数读入N。由。由0号进程打印计算结果。号进程打印计算结果。3）在并行环境上运行，输出结果。）在并行环境上运行，输出结果。要求：要求：提交源程序及运行情况的屏幕截图提交源程序及运行情况的屏幕截图Copyright by Li Xinliang28习题习题6.2 实现矩阵相乘的并行计算实现矩阵相乘的并行计算矩阵矩阵A,B 均为均为N*N的方阵，试计算矩阵的方阵，试计算矩阵C=AB；使用使用

19、P个进程并行计算（个进程并行计算（N可以被可以被P整除）；整除）；矩阵矩阵A，B及及C均采用分布式存储；均采用分布式存储；A,C按行分割，按行分割，B按列分割存储（见本稿按列分割存储（见本稿 47页）。页）。要求编写计算要求编写计算C矩阵的矩阵的MPI程序，并进行计算。程序，并进行计算。实际计算时，矩阵实际计算时，矩阵A,B请采用如下值，请采用如下值，N设为设为100计算出计算出C矩阵后，请计算矩阵后，请计算 ，并由根节点打印出来。，并由根节点打印出来。将将S值与串行程序的结果进行对比，校验程序的正确性；值与串行程序的结果进行对比，校验程序的正确性；使用使用1,2,4,10个进程进行计算，并利

20、用个进程进行计算，并利用MPI_Wtime()函数计算程函数计算程序的运行时间；考核加速比及计算效率。序的运行时间；考核加速比及计算效率。要求：要求：1）提交计算程序；）提交计算程序；2）使用）使用1，2，4，10个进程计算，提交个进程计算，提交计算结果（计算结果（S值及计算时间）、计算效率及加速比。值及计算时间）、计算效率及加速比。Copyright by Li Xinliang29习题习题 7.1 推导推导Roe方法方法 对于一维对于一维Euler方程：方程：引入新变量：引入新变量：推导出推导出 及其及其Jacobian矩阵矩阵 的具体表达式的具体表达式（以（以W为自变量），并证明对于任意

21、为自变量），并证明对于任意 ，有：，有：提示：提示：写出写出 表达式后，将向量表达式后，将向量 分别代入上式左、右两端，容分别代入上式左、右两端，容易证明相等。易证明相等。要求：推导过程要详细，切勿简单从书本上摘抄。要求：推导过程要详细，切勿简单从书本上摘抄。重要的重要的CFD基本功练习，一定要重视！基本功练习，一定要重视！针对如下针对如下Sod 激波管问题激波管问题 用用Roe格式格式计算其数值解，画出计算其数值解，画出t=0.14时刻密度、速度及压力的分布；并与精确解进时刻密度、速度及压力的分布；并与精确解进行比较（要求数值解与精确解画在同一张图上，便于比较）。行比较（要求数值解与精确解画

22、在同一张图上，便于比较）。要求：要求：1）空间网格数空间网格数100，时间推进格式选用时间推进格式选用3阶阶Runge-Kutta,时间步长自选。时间步长自选。2）尝试使用熵修正与不使用熵修正两种情况（见本尝试使用熵修正与不使用熵修正两种情况（见本PPT 15页）页）3）欢迎与其他数值方法得到的结果对比（最好画在同一张图上，便于比较）。欢迎与其他数值方法得到的结果对比（最好画在同一张图上，便于比较）。30Copyright by Li Xinliang习题习题 7.2 使用使用Roe格式求解格式求解Sod激波管问题激波管问题针对如下针对如下Sod 激波管问题激波管问题 用用5阶阶WENO格式格

23、式计算其数值解，画出计算其数值解，画出t=0.14时刻密度、速度及压力的分布；并与精时刻密度、速度及压力的分布；并与精确解进行比较（要求数值解与精确解画在同一张图上，便于比较）。确解进行比较（要求数值解与精确解画在同一张图上，便于比较）。要求：要求：1）空间网格数空间网格数100，时间推进格式选用时间推进格式选用3阶阶Runge-Kutta,时间步长自选。时间步长自选。2）结合使用结合使用Steger-Warming 流通矢量分裂，画出结果流通矢量分裂，画出结果 3）结合使用特征投影分裂（结合使用特征投影分裂（Roe平均计算平均计算Uj+1/2)，画出结果，画出结果31Copyright by

24、 Li Xinliang习题习题8.1 使用使用WENO格式格式 求解激波管问题求解激波管问题针对如下针对如下Shu-Osher 激波激波-密度扰动波干扰问题：密度扰动波干扰问题：用用5阶阶WENO格式格式计算其数值解，画出计算其数值解，画出t=0.1时刻密度、速度及压力的分布时刻密度、速度及压力的分布 要求：要求：1）空间网格数空间网格数200，时间推进格式选用时间推进格式选用3阶阶Runge-Kutta,时间步长自选。时间步长自选。2）结合使用结合使用Steger-Warming 流通矢量分裂，画出结果流通矢量分裂，画出结果 3）结合使用特征投影分裂（结合使用特征投影分裂（Roe平均计算平

25、均计算Uj+1/2)，画出结果，画出结果 4）使用使用2000个网格点计算，其结果作为个网格点计算，其结果作为“精确解精确解”，与其它结果画在一起，与其它结果画在一起，便于比较。便于比较。32Copyright by Li Xinliang初值为:习题习题8.2 使用使用WENO格式格式 求解求解Shu-Osher问题问题33Copyright by Li Xinliang推导推导7阶精度的阶精度的WENO格式，给出详细的推导过程及格式的具体表达式格式，给出详细的推导过程及格式的具体表达式提示：提示：与与5阶阶WENO推导思路相同，但网格基架点扩大了，模板数目也增加了推导思路相同，但网格基架点

26、扩大了，模板数目也增加了j-3 j-2 j-1 j j+1 j+2 j+3正通量正通量(a0)的的WENO通量通量 使用基架点使用基架点j-3,j-2,j-1,j,j+1,j,j+2,j+3如上图示，将其分割为如上图示，将其分割为4个组（模板），每个模板上个组（模板），每个模板上4个基架点。个基架点。1）先构建整个网格基（先构建整个网格基（7个点）上个点）上7阶迎风格式的通量表达式阶迎风格式的通量表达式 2）对于每个模板，构造逼近对于每个模板，构造逼近j点导数的点导数的4阶差分格式的通量表达式阶差分格式的通量表达式 3）按照理想权重进行组合可得到理想格式（按照理想权重进行组合可得到理想格式（7

27、阶迎风格式）阶迎风格式）对照具体表达式，求出理想权重对照具体表达式，求出理想权重Ck 4）构建构建WENO通量的加权表达式通量的加权表达式 5）仿照）仿照 本本PPT第第35页的方法，给出光滑度量因子的具体表达式页的方法，给出光滑度量因子的具体表达式 可利用小程序求系数可利用小程序求系数coeff-schemes.f减小工作量减小工作量习题习题8.3 推导推导7阶精度的阶精度的WENO格式格式 Copyright by Li Xinliang34习题习题 10.1 运用有限体积法求解翼型绕流运用有限体积法求解翼型绕流 计算计算RAE2822超临界翼型绕流的流场，给超临界翼型绕流的流场，给出压力

28、分布云图及翼型表面的压力分布。出压力分布云图及翼型表面的压力分布。流动参数：流动参数：Mach 0.729,攻角（攻角（AoA）=2.31，Re=6.5106 （基于弦长及来流值）（基于弦长及来流值）2.31建议方法：建议方法：采用本采用本PPT介绍的有限体积法，具介绍的有限体积法，具体步骤见本体步骤见本PPT 10.3节节Copyright by Li Xinliang35习题习题 11.1 网格生成网格生成 通过解椭圆型方程生成通过解椭圆型方程生成NACA0012翼型的网格翼型的网格要求：要求：推荐采用图示的推荐采用图示的C型网格，型网格，网格点不限；网格点不限；外边界的位置不限；外边界的

29、位置不限；可求解无源项的可求解无源项的Laplace方程或有源项的方程或有源项的Poisson方程；方程；绘制出网格，并给出具体计算说明及公式。绘制出网格，并给出具体计算说明及公式。“翼型数据库大全”http:/www.uiuc.edu/ph/www/m-selig/ads.htmlhttp:/ 0012 翼型（对称翼型）的拟合曲线为翼型（对称翼型）的拟合曲线为（宋宇宁等（宋宇宁等“微型飞行器的翼型拟合与模具加工微型飞行器的翼型拟合与模具加工”，电加工与模具，电加工与模具，2002第第5期，期，33-36）习题习题 12.1 求解方腔问题求解方腔问题问题描述：问题描述：如图示边长为如图示边长为

30、L的方腔，上表面流体以常速度的方腔，上表面流体以常速度U运运动，求解里面的流场（假设流动定常）。动，求解里面的流场（假设流动定常）。考虑考虑 三种情况三种情况要求：要求：数值方法不限数值方法不限 （人工压缩性方法、投影法、涡量（人工压缩性方法、投影法、涡量-流函数方法及流函数方法及SIMPLE方方法均可）；法均可）；空间离散采用差分法，建议采用较高阶精度的方法。空间离散采用差分法，建议采用较高阶精度的方法。绘制出定常解的流线图。绘制出定常解的流线图。请详细写明方程及公式的推导过程及计算流程，切勿只上交计算结果。请详细写明方程及公式的推导过程及计算流程，切勿只上交计算结果。Copyright b

31、y Li Xinliang37习题习题 13.1 推导推导O-S方程方程以不可压缩槽道湍流为例，推导线性稳定性理论的控制方程及边界条件。要求：以不可压缩槽道湍流为例，推导线性稳定性理论的控制方程及边界条件。要求：1）给出扰动量给出扰动量 满足的满足的线性化线性化控制方程及边界条件（必须有推导步骤）控制方程及边界条件（必须有推导步骤）2）推导扰动量振幅满足的推导扰动量振幅满足的O-S方程及边界条件方程及边界条件（必须有详细推导步骤）（必须有详细推导步骤）习题习题 13.2 求解求解O-S方程方程 利用差分法利用差分法（最好是（最好是MaliK的方法，见本的方法，见本PPT19-24）计算不可压缩

32、槽道流）计算不可压缩槽道流(Re=7500)波长为波长为2p p的最不稳定的最不稳定T-S波的频率及时间增长率波的频率及时间增长率（时间模式）。（时间模式）。要求给出复频率要求给出复频率 及扰动波型函数及扰动波型函数 的分布曲线。的分布曲线。要求：要求：必须写出详细的计算过程必须写出详细的计算过程（例如类似本（例如类似本PPT 19-21页，推导出矩阵页，推导出矩阵A,B,C,D的表达式并写出来）的表达式并写出来）。本。本PPT中的公式推导仓促，难免出现问题，中的公式推导仓促，难免出现问题，切勿照搬使用，请务必推导！切勿照搬使用，请务必推导！可使用局部法或全局法，如使用全局法建议使用可使用局部

33、法或全局法，如使用全局法建议使用Q-Z分解法，可使用线分解法，可使用线性代数库或自行编制程序。性代数库或自行编制程序。使用局部法可使用初值：使用局部法可使用初值：建议使用非均匀网格建议使用非均匀网格，例如例如 201网格点效果即可。网格点效果即可。Copyright by Li Xinliang38习题习题14.1 推导湍动能及湍能耗散的控制方程推导湍动能及湍能耗散的控制方程 试推导不可压缩湍动能试推导不可压缩湍动能 k 及湍能耗散率及湍能耗散率 e e 所满足的控制方程。所满足的控制方程。其中：其中：要求：要求：必须给出详细的推导过程，切勿只照抄最终公式必须给出详细的推导过程，切勿只照抄最终公式参考文献：参考文献：是勋刚是勋刚 湍流湍流 第三篇第三篇提示：提示：step 1)写出脉动量满足的方程写出脉动量满足的方程 step 2)两端乘以两端乘以 并平均，即可的并平均，即可的k满足的方程满足的方程 step 3)(1)式两端对式两端对 求导，乘以求导，乘以 后平均，可得后平均，可得e e方程方程Copyright by Li Xinliang39其中其中 8.3，10.1，13.2，14.1 可任选两题可任选两题（欢迎都做），合计（欢迎都做），合计25分分 其余各题合计其余各题合计75分分