【教学课件】第五章统计量及其分布.ppt

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1、第第1 1页页第五章第五章 统计量及其分布统计量及其分布 5.1 总体与样本5.2 样本数据的整理与显示5.3 统计量及其分布5.4 三大抽样分布 课程网站：课程网站：http:/第第2 2页页5.1 总体与个体总体与个体总体的三层含义总体的三层含义：研究对象的全体；研究对象的全体；数据；数据；分布分布.第第3 3页页例例例例1 1 考察某厂的产品质量，以考察某厂的产品质量，以考察某厂的产品质量，以考察某厂的产品质量，以0 0记合格品，以记合格品，以记合格品，以记合格品，以1 1记不记不记不记不合格品，则合格品，则合格品，则合格品，则 总体总体总体总体=该厂生产的全部产品该厂生产的全部产品该厂

2、生产的全部产品该厂生产的全部产品 =由由由由0 0或或或或1 1组成的一堆数组成的一堆数组成的一堆数组成的一堆数 若以若以若以若以 p p 表示这堆数中表示这堆数中表示这堆数中表示这堆数中1 1的比例（不合格品率），则的比例（不合格品率），则的比例（不合格品率），则的比例（不合格品率），则该总体可由一个二点分布表示：该总体可由一个二点分布表示：该总体可由一个二点分布表示：该总体可由一个二点分布表示：X 0 1P 1 p p从本质上讲，总体就是所研究的随机变量或从本质上讲，总体就是所研究的随机变量或随机变量的分布。随机变量的分布。第第4 4页页抽样方式抽样方式:简单抽样、分层抽样、系简单抽样、分

3、层抽样、系统抽样、整群抽样等统抽样、整群抽样等一维总体一维总体、二维总体；、二维总体；有限总体、有限总体、无限总体无限总体第第5 5页页 样本样本样品、样本、样本量样品、样本、样本量:样本具有样本具有两两重性重性 一方面，由于样本是从总体中随机抽取的，抽一方面，由于样本是从总体中随机抽取的，抽一方面，由于样本是从总体中随机抽取的，抽一方面，由于样本是从总体中随机抽取的，抽 取前无法预知它们的数值，因此，样本是随机取前无法预知它们的数值，因此，样本是随机取前无法预知它们的数值，因此，样本是随机取前无法预知它们的数值，因此，样本是随机 变量，用大写字母变量，用大写字母变量，用大写字母变量，用大写字

4、母 X X1 1,X X2 2,X Xn n 表示；表示；表示；表示；另一方面，样本在抽取以后经观测就有确定的另一方面，样本在抽取以后经观测就有确定的另一方面，样本在抽取以后经观测就有确定的另一方面，样本在抽取以后经观测就有确定的 观测值，因此，样本又是一组数值。此时用小观测值，因此，样本又是一组数值。此时用小观测值，因此，样本又是一组数值。此时用小观测值，因此，样本又是一组数值。此时用小 写字母写字母写字母写字母 x x1 1,x x2 2,x xn n 表示是恰当的。表示是恰当的。表示是恰当的。表示是恰当的。总体、样本、样本值的关系是怎样的？总体、样本、样本值的关系是怎样的？第第6 6页页

5、 独立性独立性:样本中每一样品的取值不影响其样本中每一样品的取值不影响其样本中每一样品的取值不影响其样本中每一样品的取值不影响其 它样品的取值它样品的取值它样品的取值它样品的取值 -x x1 1,x x2 2,x xn n 相互独立。相互独立。相互独立。相互独立。随机性随机性:总体中每一个个体都有同等机会总体中每一个个体都有同等机会总体中每一个个体都有同等机会总体中每一个个体都有同等机会 被选入样本被选入样本被选入样本被选入样本 -X Xi i 与总体与总体与总体与总体X X有相同的分布。有相同的分布。有相同的分布。有相同的分布。样本的要求：简单随机样本样本的要求：简单随机样本第第7 7页页如

6、何得到简单随机样本？如何得到简单随机样本？实际中总体中的个体数大多是有限的。当个体实际中总体中的个体数大多是有限的。当个体实际中总体中的个体数大多是有限的。当个体实际中总体中的个体数大多是有限的。当个体数充分大时，数充分大时，数充分大时，数充分大时，将有限总体看作无限总体是一种将有限总体看作无限总体是一种将有限总体看作无限总体是一种将有限总体看作无限总体是一种合理的抽象。合理的抽象。合理的抽象。合理的抽象。对有限总体，对有限总体，对有限总体，对有限总体，只要总体所含个体数很大只要总体所含个体数很大只要总体所含个体数很大只要总体所含个体数很大，特别，特别，特别，特别是与样本量相比很大是与样本量相

7、比很大是与样本量相比很大是与样本量相比很大(n/N(n/N(n/N(n/N 0.10.1)时，则进行时，则进行时，则进行时，则进行无放无放无放无放回抽样回抽样回抽样回抽样也可认为得到的是简单随机样本。也可认为得到的是简单随机样本。也可认为得到的是简单随机样本。也可认为得到的是简单随机样本。分组讨论分组讨论分组讨论分组讨论：P P151例例例例5.1.2 5.1.2 参数与非参数问题参数与非参数问题参数与非参数问题参数与非参数问题第第8 8页页表表 100只元件的寿命数据只元件的寿命数据表中的样本观测值没有具体的数值，称为分组样本。表中的样本观测值没有具体的数值，称为分组样本。表中的样本观测值没

8、有具体的数值，称为分组样本。表中的样本观测值没有具体的数值，称为分组样本。什么情况下需要分组？什么情况下需要分组？什么情况下需要分组？什么情况下需要分组？寿命范围寿命范围寿命范围寿命范围 元件数元件数元件数元件数 寿命范围寿命范围寿命范围寿命范围 元件数元件数元件数元件数 寿命范围寿命范围寿命范围寿命范围 元件数元件数元件数元件数 (0 24 4 (192 216 6 (384 408 4 (0 24 4 (192 216 6 (384 408 4 (24 48 8 (216 240 3 (408 432 4 (24 48 8 (216 240 3 (408 432 4 (48 72 6 (2

9、40 264 3 (432 456 1 (48 72 6 (240 264 3 (432 456 1 (72 96 5 (264 288 5 (456 480 2 (72 96 5 (264 288 5 (456 480 2 (96 120 3 (288 312 5 (480 504 2 (96 120 3 (288 312 5 (480 504 2 (120 144 4 (312 336 3 (504 528 3 (120 144 4 (312 336 3 (504 528 3 (144 168 5 (336 360 5 (528 552 1 (144 168 5 (336 360 5 (5

10、28 552 1 (168 192 4 (360 184 1 552 13 (168 192 4 (360 184 1 552 13第第9 9页页设总体设总体X具有分布函数具有分布函数F(x),x1,x2,xn 为取自该总体的容量为为取自该总体的容量为n的样本，则样本联合分布函数为的样本，则样本联合分布函数为样本样本样本样本 x x1 1,x x2 2,x xn n 可以看成是可以看成是可以看成是可以看成是n n个个个个独立同分布独立同分布独立同分布独立同分布(iid iid)的随机变量，的随机变量，的随机变量，的随机变量，其联合分布即为样本的分布。其联合分布即为样本的分布。其联合分布即为样本

11、的分布。其联合分布即为样本的分布。样本的分布样本的分布第第1010页页1.1.1.1.若总体为连续型若总体为连续型若总体为连续型若总体为连续型若总体若总体若总体若总体X X的密度函数为的密度函数为的密度函数为的密度函数为p p(x x)，则其样本，则其样本，则其样本，则其样本x1,x2,xn 的联合密度函数是的联合密度函数是的联合密度函数是的联合密度函数是补充知识点补充知识点2.2.2.2.若总体为离散型若总体为离散型若总体为离散型若总体为离散型若总体若总体若总体若总体X X的分布列为的分布列为的分布列为的分布列为P P(X X=x x)=)=p p(x x)，则其样本，则其样本，则其样本，则

12、其样本x1,x2,xn 的联合密度函数是什么？的联合密度函数是什么？的联合密度函数是什么？的联合密度函数是什么？第第1111页页例例2 2 设总体设总体 ，求其样本，求其样本 x1,x2,xn 的联合密度函数的联合密度函数.例例3 3 设总体设总体Xb(1,(1,p)，求样本，求样本x1 1,x2 2,x5 5的联的联合分布列合分布列.第第1212页页练习练习 P152 第第1、2题题作业作业 习题习题5.1第第3、5题题第第1313页页5.2.1 经验分布函数经验分布函数5.2 样本数据的整理与显示样本数据的整理与显示设设设设 x x1 1,x x2 2,x xn n 是取自总体分布函数为是

13、取自总体分布函数为是取自总体分布函数为是取自总体分布函数为F F(x x)的的的的样本，若将样本观测值由小到大进行排列样本，若将样本观测值由小到大进行排列样本，若将样本观测值由小到大进行排列样本，若将样本观测值由小到大进行排列,为为为为 x x(1)(1),x x(2)(2),x x(n n)，则称则称则称则称 x x(1)(1),x x(2)(2),x x(n n)为有为有为有为有序样本序样本序样本序样本，用有序样本定义如下函数用有序样本定义如下函数用有序样本定义如下函数用有序样本定义如下函数 第第1414页页则称则称Fn(x)为经验分布函数。为经验分布函数。由伯努利大数定律：由伯努利大数定

14、律：只要只要n 相当大，相当大，Fn(x)依概率收敛于依概率收敛于F(x).例例1 设有设有10个观测值，分别为个观测值，分别为2.6，3，2.6，2.6，2，3，2.7，3.4，3.4，2.试由此构造经验分布函数试由此构造经验分布函数.第第1515页页定理定理定理定理（格里纹科定理）（格里纹科定理）（格里纹科定理）（格里纹科定理）设设设设x x1 1,x x2 2,x xn n是取自是取自是取自是取自 总体分布函数为总体分布函数为总体分布函数为总体分布函数为F F(x x)的样本的样本的样本的样本,F Fn n(x x)是其经验分是其经验分是其经验分是其经验分 布函数，布函数，布函数，布函数

15、，当当当当n n时时时时，有，有，有，有P P supsup F Fn n(x x)F F(x x)0 0 =1=1格里纹科定理表明：当格里纹科定理表明：当格里纹科定理表明：当格里纹科定理表明：当n n 相当大时，相当大时，相当大时，相当大时，经验分布函经验分布函经验分布函经验分布函数数数数F Fn n(x x)是总体分布函数是总体分布函数是总体分布函数是总体分布函数F F(x x)的一个良好的近似。的一个良好的近似。的一个良好的近似。的一个良好的近似。第第1616页页(3)(3)确定每组组限确定每组组限确定每组组限确定每组组限：(a a0 0,a,a1 1,(,(a a1 1,a a2 2,

16、(,(a ak k-1-1 ,a ak k(1)(1)对样本进行分组：对样本进行分组：对样本进行分组：对样本进行分组：一般为一般为一般为一般为520520组组组组(2)确定每组组距：确定每组组距：确定每组组距：确定每组组距：(3)(3)组距组距组距组距d d=(=(最大观测值最大观测值最大观测值最大观测值 最小观测值最小观测值最小观测值最小观测值)/)/组数组数组数组数其中其中其中其中a a0 0 略小于最小观测值略小于最小观测值略小于最小观测值略小于最小观测值,a ak k 略大于最大观测值略大于最大观测值略大于最大观测值略大于最大观测值.(4)(4)统计各组频数，计算频率，列成频率表统计各

17、组频数，计算频率，列成频率表统计各组频数，计算频率，列成频率表统计各组频数，计算频率，列成频率表.5.2.2 频数频数-频率分布表频率分布表第第1717页页5.2.3 样本数据的图形显示样本数据的图形显示一、直方图一、直方图横坐标横坐标 表示所关心变量的取值区间表示所关心变量的取值区间，纵坐标纵坐标 有三种表示方法：有三种表示方法：频数，频率，频率频数，频率，频率/组距组距.第第1818页页1.正态概率纸（正态概率纸（自主学习，分组讨论自主学习，分组讨论）二、总体的正态性检验方法二、总体的正态性检验方法 2.SPSS软件中的非参数检验（软件中的非参数检验（教师演示教师演示）作作 业业 题题 习

18、习 题题 5.2 第第1、4题题第第1919页页 统计量与抽样分布统计量与抽样分布5.3 统计量及其分布统计量及其分布定义定义 设设 x1,x2,xn 为取自某总体的样为取自某总体的样本，若样本函数本，若样本函数T=T(x1,x2,xn)中中不不含有任何未知参数含有任何未知参数。则称。则称T为为统计量。统计量。统统计量的分布称为计量的分布称为抽样分布。抽样分布。第第2020页页例例例例1 1 设总体设总体设总体设总体 X X N N(,2 2),),已知，已知，已知，已知，2 2 2 2未知，未知，未知，未知，x x1 1 1 1,x x2 2 2 2,x x3 3 3 3是样本，下列哪些不是

19、统计量？是样本，下列哪些不是统计量？是样本，下列哪些不是统计量？是样本，下列哪些不是统计量？第第2121页页几个常用的统计量几个常用的统计量 ：3.样本样本k阶矩阶矩注意方差的简化公式注意方差的简化公式第第2222页页例例2 设抽样得到样本观测值为设抽样得到样本观测值为4.421,4.052,4.357,4.394,4.326,4.287,4.683,4.421,4.052,4.357,4.394,4.326,4.287,4.683,请计算样本均值请计算样本均值,样本标准差样本标准差,样本方差样本方差,样本二阶中样本二阶中心矩心矩.第第2323页页 样本均值及其抽样分布样本均值及其抽样分布 定

20、义定义 设设x1,x2,xn为取自某总为取自某总体体X的样本，其算术平均值称为的样本，其算术平均值称为样本均值，样本均值，即即思考：思考：思考：思考：在分组样本场合，样本均值如何计算？在分组样本场合，样本均值如何计算？在分组样本场合，样本均值如何计算？在分组样本场合，样本均值如何计算？二者结果相同吗？二者结果相同吗？二者结果相同吗？二者结果相同吗？(x1+xn)/n第第2424页页定理定理 数据观测值与均值的偏差平方和最数据观测值与均值的偏差平方和最小，即在形如小，即在形如 (xi c)2 的函数中的函数中，样本均值的基本性质：样本均值的基本性质：定理定理 若把样本中的数据与样本均值之差称若把

21、样本中的数据与样本均值之差称为为偏差，偏差，则样本所有偏差之和为则样本所有偏差之和为0，即即 最小，其中最小，其中c为任意给定常数。为任意给定常数。注意注意:偏差平方和的自由度为偏差平方和的自由度为n-1第第2525页页例例3 3 证明：对任意常数证明：对任意常数c,d有有讨论：讨论：例例5.3.2 样本均值形成的直方图，样本均值形成的直方图，发现什么特点？发现什么特点？第第2626页页样本均值的抽样分布：样本均值的抽样分布：定理定理 设设x1,x2,xn 是来自某个总体的样本，是来自某个总体的样本，x 为样本均值。为样本均值。(1)若总体分布为若总体分布为N(,2)，则，则xx的精确分布为的

22、精确分布为N(,2/n);(2)若总体分布未知或不是正态分布，若总体分布未知或不是正态分布，(3)但但 E(x)=,Var(x)=2,则则n 较大时较大时 的的(4)渐近分布为渐近分布为N(,2/n),常记为常记为第第2727页页作业：作业：习题习题5.35.3第第4 4题题例例4 4 设总体设总体X X服从服从N(12,4),(12,4),样本为样本为x1,x2,x5,求样本均值与总体均值之差的绝对值大求样本均值与总体均值之差的绝对值大于于1 1的概率的概率.第第2828页页5.3.3 样本方差与样本标准差样本方差与样本标准差称为样本标称为样本标准准差。差。定义定义称为样本方差，称为样本方差

23、，其算术平方根其算术平方根样本偏差平方和有三个不同的表达式：样本偏差平方和有三个不同的表达式：(xi x)2=xi2 (xi)2/n=xi2 nx2第第2929页页定理定理定理定理 设总体设总体设总体设总体 X X 具有二阶矩，即具有二阶矩，即具有二阶矩，即具有二阶矩，即 E E(x x)=)=,Var(,Var(x x)=)=2 2 ,x x1 1,x x2 2,x xn n 为从该总体得到的样本，为从该总体得到的样本，为从该总体得到的样本，为从该总体得到的样本，x和和和和s s2 2 分别是样本均值和样本方差，则分别是样本均值和样本方差，则分别是样本均值和样本方差，则分别是样本均值和样本方

24、差，则E(x)=,Var(x)=2/n,E(s2)=2 性质性质第第3030页页例例5 5 P174 P174第第6 6题题设设x1,x2,xn 是来自总体是来自总体U(-1,1)的样本，求的样本，求第第3131页页 样本矩及其函数样本矩及其函数 定义定义定义定义 a ak k=(=(x xi ik k)/)/n n 称为称为称为称为样本样本样本样本 k k 阶原点矩，阶原点矩，阶原点矩，阶原点矩，特别，样本一阶原点矩就是样本均值。特别，样本一阶原点矩就是样本均值。特别，样本一阶原点矩就是样本均值。特别，样本一阶原点矩就是样本均值。称为称为称为称为样本样本样本样本k k阶中心阶中心阶中心阶中心

25、矩矩矩矩。特别，样本二阶中心矩就是特别，样本二阶中心矩就是特别，样本二阶中心矩就是特别，样本二阶中心矩就是 b bk k=(x xi i x x)k k/n n思考：思考：样本样本k阶矩与总体阶矩与总体k阶矩，有什么关系？阶矩，有什么关系？第第3232页页样本偏度样本偏度样本偏度样本偏度 1 1反映了总体分布密度曲线的反映了总体分布密度曲线的反映了总体分布密度曲线的反映了总体分布密度曲线的对称性信息。对称性信息。对称性信息。对称性信息。样本峰度样本峰度样本峰度样本峰度 2 2反映了总体分布密度曲线在反映了总体分布密度曲线在反映了总体分布密度曲线在反映了总体分布密度曲线在其峰值附近其峰值附近其峰

26、值附近其峰值附近的陡峭程度和尾部的粗细。的陡峭程度和尾部的粗细。的陡峭程度和尾部的粗细。的陡峭程度和尾部的粗细。若峰度明显大于若峰度明显大于若峰度明显大于若峰度明显大于0 0，说明其分布的密度曲线在其峰值，说明其分布的密度曲线在其峰值，说明其分布的密度曲线在其峰值，说明其分布的密度曲线在其峰值附近比正态分布要陡，尾部更细，称为尖顶型；附近比正态分布要陡，尾部更细，称为尖顶型；附近比正态分布要陡，尾部更细，称为尖顶型；附近比正态分布要陡，尾部更细，称为尖顶型；若峰度明显小于若峰度明显小于若峰度明显小于若峰度明显小于0 0 0 0，说明其分布的密度曲线在其峰值，说明其分布的密度曲线在其峰值，说明其

27、分布的密度曲线在其峰值，说明其分布的密度曲线在其峰值附近比正态分布要平坦，尾部更粗，称为平顶型。附近比正态分布要平坦，尾部更粗，称为平顶型。附近比正态分布要平坦，尾部更粗，称为平顶型。附近比正态分布要平坦，尾部更粗，称为平顶型。定义：定义：1=b3/b23/2 称为样本偏度，称为样本偏度，2=b4/b22 3 称为样本峰度。称为样本峰度。反映总体分布形状的统计量反映总体分布形状的统计量用用EXCEL计算例中的偏度计算例中的偏度第第3333页页5.3.5 次序统计量及其分布次序统计量及其分布 定义定义定义定义 设设设设 x x1 1,x x2 2,x xn n 是取自总体是取自总体是取自总体是取

28、自总体X X的样本的样本的样本的样本,x x(i i)称为该样本的称为该样本的称为该样本的称为该样本的第第第第i i 个次序统计量个次序统计量个次序统计量个次序统计量，它的取值，它的取值，它的取值，它的取值 是将是将是将是将样本观测值由小样本观测值由小样本观测值由小样本观测值由小到大排列后得到的第到大排列后得到的第到大排列后得到的第到大排列后得到的第 i i 个个个个 观测值。观测值。观测值。观测值。x x(1)(1)=minmin x x1 1,x x2 2,x xn n 称为该样本的最小次序统计称为该样本的最小次序统计称为该样本的最小次序统计称为该样本的最小次序统计量，量，量，量，x x(

29、n n)=maxmax x x1 1,x x2 2,x xn n 称为该样本的最大次序统计量。称为该样本的最大次序统计量。称为该样本的最大次序统计量。称为该样本的最大次序统计量。第第3434页页分析书中分析书中例例5.3.5 学习如何用学习如何用列举法列举法求次求次序统计量的分布列序统计量的分布列.0 0 1 1 2 2 1 1/3 3 1 1/3 3 1 1/3 3例例5 P174第第9题题 设总体设总体X以等概率取以等概率取1,2,3,4,5，从中随机抽取容量为，从中随机抽取容量为4的一个样的一个样本，试分别求本，试分别求x(1),x(4)的分布的分布.一、离一、离 散散 情情 形形第第3

30、535页页1 1、单个次序统计量的分布、单个次序统计量的分布定理定理定理定理 设总体设总体设总体设总体X X的密度函数为的密度函数为的密度函数为的密度函数为p p(x x)，分布，分布，分布，分布 函数为函数为函数为函数为F F(x x)，x x1 1,x x2 2,x xn n为样本，则第为样本，则第为样本，则第为样本，则第k k个个个个 次序统计量次序统计量次序统计量次序统计量x x(k k)的密度函数为的密度函数为的密度函数为的密度函数为二、连二、连 续续 情情 形形第第3636页页例例6 设总体设总体X服从服从N N(12,4)，x1,x2,x5为样本，为样本，试求试求P P(x x(

31、1)1010)，P P(x x(5)1515).).作业作业：习题：习题5.3 第第7、10题题第第3737页页5.3.6 样本分位数与样本中位数样本分位数与样本中位数（可略）（可略）样本中位数是次序统计量的函数，定义为样本中位数是次序统计量的函数，定义为样本中位数是次序统计量的函数，定义为样本中位数是次序统计量的函数，定义为样本样本样本样本p p分位数分位数分位数分位数mmp p可如下定义可如下定义可如下定义可如下定义第第3838页页定理定理定理定理 设总体密度函数为设总体密度函数为设总体密度函数为设总体密度函数为p p(x x)，x xp p为其为其为其为其p p分分分分 位数，位数，位数

32、，位数，p p(x x)在在在在x xp p处连续且处连续且处连续且处连续且 p p(x xp p)0 0，则，则，则，则特别，对样本中位数，当特别，对样本中位数，当特别，对样本中位数，当特别，对样本中位数，当n n时近似地有时近似地有时近似地有时近似地有当当当当n n 时样本时样本时样本时样本 p p 分位数分位数分位数分位数 mmp p 的渐近分布为的渐近分布为的渐近分布为的渐近分布为第第3939页页例例7 设总体为设总体为柯西分布柯西分布，密度函数为，密度函数为p p(x x,)=1/)=1/(1+(1+(x x )2 2),),x x +设设 x1,x2,xn 是来自该总体的样本，当样

33、是来自该总体的样本，当样本量本量n 较大时，求样本中位数较大时，求样本中位数m0.5 的渐近分布的渐近分布.第第4040页页5.4.1 2 分布分布(卡方分布卡方分布)定义定义定义定义 设设设设 X X1 1,X X2 2,X Xn n,独立同分布于标准独立同分布于标准独立同分布于标准独立同分布于标准 正态分布正态分布正态分布正态分布N N(0,1)(0,1)，则，则，则，则 2 2=X X1 12 2+X Xn n2 2的分布称的分布称的分布称的分布称 为自由度为为自由度为为自由度为为自由度为n n 的的的的 2 2分布，记为分布，记为分布，记为分布，记为 2 2 2 2(n n)。5.4

34、三大抽样分布三大抽样分布第第4141页页该密度函该密度函该密度函该密度函数的图像数的图像数的图像数的图像是一只取是一只取是一只取是一只取非负值的非负值的非负值的非负值的偏态分布偏态分布偏态分布偏态分布 第第4242页页性质：性质：a.分布可加性分布可加性 若若X 2(n)，Y 2(m)，X，Y独独立，则立，则 X+Y 2(n+m)b.期望与方差期望与方差 若若X 2(n)，则则E(X)=n，D(X)=2n第第4343页页当随机变量当随机变量当随机变量当随机变量 2 2 2 2(n n)时，对给定时，对给定时，对给定时，对给定 (0(0 1)1)，称满足称满足称满足称满足 P P(2 2 1 1

35、 2 2(n n)=1 1 的的的的 1 1 2 2(n n)是自由度为是自由度为是自由度为是自由度为n n的卡方分布的卡方分布的卡方分布的卡方分布的的的的1 1 分位数分位数分位数分位数.第第4444页页 例例1 设设x1,x2,x10是来自正态总体是来自正态总体XN(0,0.52)的样本，试求概率的样本，试求概率 例例2 设设x1,x2,x6是是来自正态总体来自正态总体XN(0,1)的的样样本，求常数本，求常数c,使使服从服从 分布，并求自由度分布，并求自由度.第第4545页页5.4.2 F 分布分布定义定义定义定义 设设设设X X1 1 2 2(mm),X X2 2 2 2(n n),)

36、,X X1 1与与与与X X2 2独立，独立，独立，独立，则则则则称称称称 F F=(=(X X1 1/mm)/()/(X X2 2/n n)的分布是自由度为的分布是自由度为的分布是自由度为的分布是自由度为 m m 与与与与 n n的的的的F F分布分布分布分布，记为，记为，记为，记为F F F F(m,nm,n).第第4646页页该密度该密度该密度该密度函数的函数的函数的函数的图象也图象也图象也图象也是一只是一只是一只是一只取非负取非负取非负取非负值的值的值的值的偏偏偏偏态分布态分布态分布态分布 第第4747页页当随机变量当随机变量当随机变量当随机变量F F F F(m,nm,n)时，对给定

37、时，对给定时，对给定时，对给定 (0(0 1)1)，称满足，称满足，称满足，称满足 P P(F F F F1 1 (m,nm,n)=1)=1 的的的的F F1 1 (m,nm,n)是自由度为是自由度为是自由度为是自由度为m m 与与与与 n n 的的的的F F 分布的分布的分布的分布的1 1 分位数分位数分位数分位数.第第4848页页2.2.基本性质基本性质:(1)(1)若若FF(m,n),),则则1/FF(n,m)(2)(2)若若Xt(n),则则X2F(1,n),X-2F(n,1)(3)(3)例例3 设设x1,x2,x2n是来自正态总体是来自正态总体XN(0,2)的样本，则下列随机变量服从何

38、种分布？的样本，则下列随机变量服从何种分布？第第4949页页5.4.3 t 分布分布 定义定义定义定义 设随机变量设随机变量设随机变量设随机变量X X1 1 与与与与X X2 2 独立，独立，独立，独立，且且且且X X1 1 N N(0,1),(0,1),X X2 2 2 2(n n),则称则称则称则称的分布为自由度为的分布为自由度为的分布为自由度为的分布为自由度为n n 的的的的t t 分布，记为分布，记为分布，记为分布，记为t t t t(n n)。第第5050页页t(n)的概率密度为的概率密度为第第5151页页 n n 1 1时时时时,t t 分布的数学期望存在且为分布的数学期望存在且为

39、分布的数学期望存在且为分布的数学期望存在且为0 0；n n 2 2时时时时，t t 分布的方差存在，且为分布的方差存在，且为分布的方差存在，且为分布的方差存在，且为n n/(/(n n 2)2)；当自由度较大当自由度较大当自由度较大当自由度较大 (如如如如n n 3030)时，时，时，时，t t 分布可以用分布可以用分布可以用分布可以用 正态分布正态分布正态分布正态分布 N N(0,1)(0,1)近似。近似。近似。近似。自由度为自由度为自由度为自由度为1 1的的的的 t t 分布就是标准柯西分布分布就是标准柯西分布分布就是标准柯西分布分布就是标准柯西分布，它的均值不存在；它的均值不存在；它的均

40、值不存在；它的均值不存在；第第5252页页注注:当随机变量当随机变量当随机变量当随机变量t t t t(n n)时，称满足时，称满足时，称满足时，称满足P P(t t t t1 1 (n n)=1)=1 的的的的 t t1 1 (n n)是自由度为是自由度为是自由度为是自由度为 n n 的的的的 t t 分布的分布的分布的分布的1 1 分位数分位数分位数分位数.分位数分位数分位数分位数 t t1 1 (n n)可以从可以从可以从可以从附表附表附表附表4 4中中中中查到。查到。查到。查到。第第5353页页 例例4 设设x1,x2,x5是来自正态总体是来自正态总体XN(0,2)的的样本，求常数样本

41、，求常数c,使使服从服从 t分布，并求自由度分布，并求自由度.练习练习 设设Tt(n),P|T|=，则，则PT=？第第5454页页复习：复习：复习：复习：标准正态分布的下侧分位点标准正态分布的下侧分位点标准正态分布的下侧分位点标准正态分布的下侧分位点设设设设 ，对于给定的，对于给定的，对于给定的，对于给定的 ，若，若，若，若存在存在存在存在 使得使得使得使得则称则称则称则称 为标准正态分布的下侧为标准正态分布的下侧为标准正态分布的下侧为标准正态分布的下侧 分位点分位点分位点分位点.09990995099097509509309025762327196016451282第第5555页页1.单正态

42、总体单正态总体设设x1,x2,xn是来自总体是来自总体XN(,2 2)的样本，则的样本，则，且，且 相互独立相互独立 一些重要结论一些重要结论第第5656页页例例5 从总体从总体XN(,25)中抽取容量为中抽取容量为n的样本的样本,要要以以95%的把握保证样本均值与总体均值之差的绝对的把握保证样本均值与总体均值之差的绝对值小于值小于1，问，问n至少多大？至少多大？练习练习 习题习题5.4 5.4 第第4 4题题第第5757页页2.双正态总体双正态总体两样本独立，则两样本独立，则(2)(2)(2)(2)当当当当 时，有时，有时，有时，有其中其中其中其中第第5858页页例例例例6 6 设总体设总体设总体设总体X X N N(20,3),(20,3),从中抽取容量为从中抽取容量为从中抽取容量为从中抽取容量为10,1510,15的的的的两个独立的样本两个独立的样本两个独立的样本两个独立的样本,求这两个样本均值之差的绝对求这两个样本均值之差的绝对求这两个样本均值之差的绝对求这两个样本均值之差的绝对值大于值大于值大于值大于0.30.3的概率的概率的概率的概率.作业：作业：习题习题5.4 第第1、3、9、11题题