2013届高考数学考点回归总复习课件.ppt

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1、第四十五讲第四十五讲 空间点空间点 直线直线 平面之间的位置关系平面之间的位置关系1 1回归课本回归课本回归课本回归课本2 21.1.平面的基本性质平面的基本性质平面的基本性质平面的基本性质公理公理公理公理1:1:如果一条直线上的如果一条直线上的如果一条直线上的如果一条直线上的两点两点两点两点在一个平面内在一个平面内在一个平面内在一个平面内,那么这条直线在那么这条直线在那么这条直线在那么这条直线在这个平面内这个平面内这个平面内这个平面内.公理公理公理公理2:2:过过过过不在同一直线上不在同一直线上不在同一直线上不在同一直线上的三点的三点的三点的三点,有且只有一个平面有且只有一个平面有且只有一个

2、平面有且只有一个平面.注意注意注意注意:公理公理公理公理3:3:如果两个不重合的平面有一个公共点如果两个不重合的平面有一个公共点如果两个不重合的平面有一个公共点如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只那么它们有且只那么它们有且只那么它们有且只有有有有一条过该点的公共直线一条过该点的公共直线一条过该点的公共直线一条过该点的公共直线.3 3注意注意注意注意:用途用途用途用途公理公理公理公理1 1证明点在平面内证明点在平面内证明点在平面内证明点在平面内证明直线在平面内证明直线在平面内证明直线在平面内证明直线在平面内公理公理公理公理2 2确定平面的条件确定平面的条件确定平面的条件确定平面的条件

3、证明有关点、线共面问题证明有关点、线共面问题证明有关点、线共面问题证明有关点、线共面问题公理公理公理公理3 3确定两个平面的交线确定两个平面的交线确定两个平面的交线确定两个平面的交线证明三点共线或三线共点证明三点共线或三线共点证明三点共线或三线共点证明三点共线或三线共点4 42.2.空间直线与直线的位置关系空间直线与直线的位置关系空间直线与直线的位置关系空间直线与直线的位置关系(1)(1)位置关系位置关系位置关系位置关系:共面与否共面与否共面与否共面与否公共点个数公共点个数公共点个数公共点个数 5 5 (2)(2)公理公理公理公理4(4(平行公理平行公理平行公理平行公理):):平行于同一直线的

4、两条直线平行于同一直线的两条直线平行于同一直线的两条直线平行于同一直线的两条直线互相平行互相平行互相平行互相平行.(3)(3)公理公理公理公理5:5:空间中如果两个角的两边分别对应平行空间中如果两个角的两边分别对应平行空间中如果两个角的两边分别对应平行空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个那么这两个那么这两个那么这两个角角角角相等或互补相等或互补相等或互补相等或互补.6 6(4)(4)异面直线的夹角异面直线的夹角异面直线的夹角异面直线的夹角:定义定义定义定义:已知两条异面直线已知两条异面直线已知两条异面直线已知两条异面直线a a、b b经过空间任意一点经过空间任意一点经过空间任意一点经

5、过空间任意一点OO作直线作直线作直线作直线aa a,ba,b b,b,我们把两相交直线我们把两相交直线我们把两相交直线我们把两相交直线a,ba,b所成的所成的所成的所成的锐角锐角锐角锐角(或直角或直角或直角或直角)叫做叫做叫做叫做异面直线异面直线异面直线异面直线a a、b b所成的角所成的角所成的角所成的角(或夹角或夹角或夹角或夹角).).范围范围范围范围:特别地特别地特别地特别地:如果两异面直线所成的角是如果两异面直线所成的角是如果两异面直线所成的角是如果两异面直线所成的角是9090,我们就称这两条直线我们就称这两条直线我们就称这两条直线我们就称这两条直线互相垂直互相垂直互相垂直互相垂直,记

6、作记作记作记作a ab.b.7 73.3.空间中的直线与平面的位置关系空间中的直线与平面的位置关系空间中的直线与平面的位置关系空间中的直线与平面的位置关系8 84.4.平面与平面的位置关系有两种平面与平面的位置关系有两种平面与平面的位置关系有两种平面与平面的位置关系有两种9 9注意注意注意注意:符合语言符合语言符合语言符合语言:(1):(1)点与线点与线点与线点与线:A:A l,Al,A l.l.(2)(2)点与面点与面点与面点与面:A:A ,A,A .(3)(3)线与线线与线线与线线与线:l:l1 1 l l2 2,l,l1 1ll2 2=O,l=O,l1 1与与与与l l2 2异面异面异面

7、异面.(4)(4)线与面线与面线与面线与面:l:l ,l,l (l=A,(l=A,或或或或l l ).).(5)(5)面与面面与面面与面面与面:,=l.,=l.1010考点陪练考点陪练考点陪练考点陪练11111.1.下列命题中正确的是下列命题中正确的是下列命题中正确的是下列命题中正确的是()()A.A.三点确定一个平面三点确定一个平面三点确定一个平面三点确定一个平面B.B.两条直线确定一个平面两条直线确定一个平面两条直线确定一个平面两条直线确定一个平面C.C.两两相交的三条直线一定在同一平面内两两相交的三条直线一定在同一平面内两两相交的三条直线一定在同一平面内两两相交的三条直线一定在同一平面内

8、D.D.过同一点的三条直线不一定在同一平面内过同一点的三条直线不一定在同一平面内过同一点的三条直线不一定在同一平面内过同一点的三条直线不一定在同一平面内解析解析解析解析:A:A、B B、C C均不满足公理均不满足公理均不满足公理均不满足公理2 2及其推论及其推论及其推论及其推论,故故故故D D正确正确正确正确.答案答案答案答案:D:D12122.2.若若若若A A表示点表示点表示点表示点,a,a表示直线表示直线表示直线表示直线,、表示平面表示平面表示平面表示平面,则下列表述中则下列表述中则下列表述中则下列表述中,错误错误错误错误的是的是的是的是()()A.aA.a ,A,A a aA A B.

9、aB.a ,A,A a aA A C.AC.A ,A,A ,=a,=aA A a aD.AD.A a,Aa,A a a 1313解析解析解析解析:a:a 的含义是的含义是的含义是的含义是a a上所有点都在平面上所有点都在平面上所有点都在平面上所有点都在平面 上上上上,故故故故A A正确正确正确正确;反之直反之直反之直反之直线线线线a a上有一点不在上有一点不在上有一点不在上有一点不在 上上上上,就说明就说明就说明就说明a a ,故故故故D D正确正确正确正确,但是但是但是但是a a 并不并不并不并不代表所有点都不在代表所有点都不在代表所有点都不在代表所有点都不在 上上上上,故故故故B B错误错

10、误错误错误.C.C就是公理就是公理就是公理就是公理3,3,故故故故C C正确正确正确正确.答案答案答案答案:B:B14143.3.给出下面四个命题给出下面四个命题给出下面四个命题给出下面四个命题:如果直线如果直线如果直线如果直线a a c,bc,b c,c,那么那么那么那么a,ba,b可以确定一个平面可以确定一个平面可以确定一个平面可以确定一个平面;如果直线如果直线如果直线如果直线a a和和和和b b都与直线都与直线都与直线都与直线c c相交相交相交相交,那么那么那么那么a,ba,b可以确定一个平面可以确定一个平面可以确定一个平面可以确定一个平面;如果如果如果如果a a c,bc,b c,c,

11、那么那么那么那么a,ba,b可以确定一个平面可以确定一个平面可以确定一个平面可以确定一个平面;直线直线直线直线a a过平面过平面过平面过平面 内一点与平面内一点与平面内一点与平面内一点与平面 外一点外一点外一点外一点,直线直线直线直线b b在平面在平面在平面在平面 内不内不内不内不过该点过该点过该点过该点,那么那么那么那么a a和和和和b b是异面直线是异面直线是异面直线是异面直线.1515上述命题中上述命题中上述命题中上述命题中,真命题的个数是真命题的个数是真命题的个数是真命题的个数是()()A.1A.1个个个个 B.2B.2个个个个 C.3C.3个个个个 D.4D.4个个个个解析解析解析解

12、析:中中中中,由公理由公理由公理由公理4 4知知知知,a,a b,b,故故故故正确正确正确正确;中中中中,a,b,a,b可能异面可能异面可能异面可能异面,故故故故错误错误错误错误;中中中中,a,b,a,b可能异面可能异面可能异面可能异面,故故故故错误错误错误错误;正确正确正确正确.答案答案答案答案:B:B16164.4.在正方体在正方体在正方体在正方体ABCDABCDABCDABCD中中中中,E,E F F分别为棱分别为棱分别为棱分别为棱AAAA CCCC的中的中的中的中点点点点,则在空间中与三条直线则在空间中与三条直线则在空间中与三条直线则在空间中与三条直线ADAD EFEF CDCD都相交

13、的直线都相交的直线都相交的直线都相交的直线()()A.A.不存在不存在不存在不存在 B.B.有且只有两条有且只有两条有且只有两条有且只有两条C.C.有且只有三条有且只有三条有且只有三条有且只有三条 D.D.有无数条有无数条有无数条有无数条1717解析解析解析解析:在在在在ADAD延长线上取一点延长线上取一点延长线上取一点延长线上取一点H,H,使使使使AD=DH,AD=DH,在在在在DCDC延长线上取延长线上取延长线上取延长线上取一点一点一点一点G,G,使使使使CG=2DC,CG=2DC,连接连接连接连接HGHG与与与与EFEF交于一点交于一点交于一点交于一点,延长延长延长延长DC.DC.连接连

14、接连接连接DFDF必与必与必与必与DCDC延长线相交延长线相交延长线相交延长线相交,延长延长延长延长DA,DA,连接连接连接连接DEDE必与必与必与必与DADA延长延长延长延长线相交线相交线相交线相交.连接连接连接连接ACAC与与与与EFEF交于交于交于交于EFEF中点中点中点中点,故选故选故选故选D.D.答案答案答案答案:D:D18185.5.三条直线两两垂直三条直线两两垂直三条直线两两垂直三条直线两两垂直,那么在下列四个结论中那么在下列四个结论中那么在下列四个结论中那么在下列四个结论中,正确的结论共有正确的结论共有正确的结论共有正确的结论共有()()这三条直线必共点这三条直线必共点这三条直

15、线必共点这三条直线必共点;其中必有两条是异面直线其中必有两条是异面直线其中必有两条是异面直线其中必有两条是异面直线;三条直三条直三条直三条直线不可能共面线不可能共面线不可能共面线不可能共面;其中必有两条在同一平面内其中必有两条在同一平面内其中必有两条在同一平面内其中必有两条在同一平面内A.4A.4个个个个 B.3B.3个个个个C.2C.2个个个个 D.1D.1个个个个1919解析解析解析解析:(1):(1)三条直线两两垂直时三条直线两两垂直时三条直线两两垂直时三条直线两两垂直时,它们可能共点它们可能共点它们可能共点它们可能共点(如正方体同一个如正方体同一个如正方体同一个如正方体同一个顶点上的三

16、条棱顶点上的三条棱顶点上的三条棱顶点上的三条棱),),也可能不共点也可能不共点也可能不共点也可能不共点(如正方体如正方体如正方体如正方体ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中的棱中的棱中的棱中的棱AAAA1 1,AB,BC),AB,BC),故结论故结论故结论故结论不正确不正确不正确不正确,也说明必也说明必也说明必也说明必有结论有结论有结论有结论不正确不正确不正确不正确;如果三条直线在同一个平面内如果三条直线在同一个平面内如果三条直线在同一个平面内如果三条直线在同一个平面内,根据平面根据平面根据平面根据平面几何中的垂直于同一条直线的两条直线平行几何中的垂直于同一条直线

17、的两条直线平行几何中的垂直于同一条直线的两条直线平行几何中的垂直于同一条直线的两条直线平行,就导出了其中就导出了其中就导出了其中就导出了其中两条直线既平行又垂直的矛盾结论两条直线既平行又垂直的矛盾结论两条直线既平行又垂直的矛盾结论两条直线既平行又垂直的矛盾结论,故三条直线不可能在同故三条直线不可能在同故三条直线不可能在同故三条直线不可能在同一个平面内一个平面内一个平面内一个平面内,结论结论结论结论正确正确正确正确;2020三条直线两两垂直三条直线两两垂直三条直线两两垂直三条直线两两垂直,这三条直线可能任何两条都不相交这三条直线可能任何两条都不相交这三条直线可能任何两条都不相交这三条直线可能任何

18、两条都不相交,即任即任即任即任意两条都异面意两条都异面意两条都异面意两条都异面(如正方体如正方体如正方体如正方体ABCDAABCDA1 1B B1 1C C1 1D D1 1中的棱中的棱中的棱中的棱AAAA1 1,BC,BC和和和和C C1 1D D1 1),),故结论故结论故结论故结论不正确不正确不正确不正确.故选故选故选故选D.D.答案答案答案答案:D:D2121类型一类型一类型一类型一点共线问题点共线问题点共线问题点共线问题解题准备解题准备解题准备解题准备:证明共线问题的常用方法证明共线问题的常用方法证明共线问题的常用方法证明共线问题的常用方法(1)(1)可由两点连一条直线可由两点连一条

19、直线可由两点连一条直线可由两点连一条直线,再验证其他各点均在这条直线上再验证其他各点均在这条直线上再验证其他各点均在这条直线上再验证其他各点均在这条直线上;(2)(2)可直接验证这些点都在同一条特定的直线上可直接验证这些点都在同一条特定的直线上可直接验证这些点都在同一条特定的直线上可直接验证这些点都在同一条特定的直线上相交两平相交两平相交两平相交两平面的唯一交线面的唯一交线面的唯一交线面的唯一交线,关键是通过绘出图形关键是通过绘出图形关键是通过绘出图形关键是通过绘出图形,作出两个适当的平面作出两个适当的平面作出两个适当的平面作出两个适当的平面或辅助平面或辅助平面或辅助平面或辅助平面,证明这些点

20、是这两个平面的公共点证明这些点是这两个平面的公共点证明这些点是这两个平面的公共点证明这些点是这两个平面的公共点.2222【典例典例典例典例1 1】已知正方体已知正方体已知正方体已知正方体ABCDAABCDA1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中中中,E,E F F分别为分别为分别为分别为D D1 1C C1 1 C C1 1B B1 1的中点的中点的中点的中点,ACBD=P,A,ACBD=P,A1 1C C1 1EF=Q.EF=Q.求证求证求证求证:(1)D(1)D B B F F E E四点共面四点共面四点共面四点共面;(2)(2)若若若若A A1 1C C交平面交平面交平面交平面D

21、BFEDBFE于于于于R R点点点点,则则则则P P QQ R R三点共线三点共线三点共线三点共线.2323 解解解解 (1)(1)如图所示如图所示如图所示如图所示,因为因为因为因为EFEF是是是是D D1 1B B1 1C C1 1的中位线的中位线的中位线的中位线,所以所以所以所以EFEF B B1 1D D1 1.在正方体在正方体在正方体在正方体ACAC1 1中中中中,B,B1 1D D1 1 BD,BD,所以所以所以所以EFEF BD.BD.所以所以所以所以EF,BDEF,BD确定一个平面确定一个平面确定一个平面确定一个平面,即即即即D D B B F F E E四点共面四点共面四点共面

22、四点共面.2424(2)(2)在正方体在正方体在正方体在正方体ACAC1 1中中中中,设设设设A A1 1ACCACC1 1确定的平面为确定的平面为确定的平面为确定的平面为,又设平面又设平面又设平面又设平面BDEFBDEF为为为为.因为因为因为因为QQ A A1 1C C1 1,所以所以所以所以QQ ,又又又又QQ EF,EF,所以所以所以所以QQ .则则则则QQ是是是是 与与与与 的公共点的公共点的公共点的公共点,同理同理同理同理,P,P点也是点也是点也是点也是 与与与与 的公共点的公共点的公共点的公共点.所以所以所以所以=PQ.=PQ.又又又又A A1 1C=R,C=R,所以所以所以所以R

23、 R A A1 1C,RC,R 且且且且R R ,则则则则R R PQ,PQ,故故故故P P QQ R R三点共线三点共线三点共线三点共线.2525类型二类型二类型二类型二线共点问题线共点问题线共点问题线共点问题解题准备解题准备解题准备解题准备:证明共点问题证明共点问题证明共点问题证明共点问题,常用的方法是常用的方法是常用的方法是常用的方法是:先证其中两条直线交先证其中两条直线交先证其中两条直线交先证其中两条直线交于一点于一点于一点于一点,再证交点在第三条直线上再证交点在第三条直线上再证交点在第三条直线上再证交点在第三条直线上,有时也可将问题转化为有时也可将问题转化为有时也可将问题转化为有时也

24、可将问题转化为证明三点共线证明三点共线证明三点共线证明三点共线.2626【典例典例典例典例2 2】如图所示如图所示如图所示如图所示,已知正方体已知正方体已知正方体已知正方体ABCDAABCDA1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中中中,E,E F F分别为棱分别为棱分别为棱分别为棱AB,AAAB,AA1 1的中点的中点的中点的中点.求证求证求证求证:三条直线三条直线三条直线三条直线DA,CE,DDA,CE,D1 1F F交于一点交于一点交于一点交于一点.2727 证明证明证明证明 直线直线直线直线DADA 平面平面平面平面ADAD1 1,直线直线直线直线D D1 1F F 平面平面平面

25、平面ADAD1 1,显然直线显然直线显然直线显然直线DADA与直线与直线与直线与直线D D1 1F F不平行不平行不平行不平行,设直线设直线设直线设直线DADA与直线与直线与直线与直线D D1 1F F交于点交于点交于点交于点M.M.同样同样同样同样,直线直线直线直线DADA与直线与直线与直线与直线CECE都在平面都在平面都在平面都在平面ACAC内且不平行内且不平行内且不平行内且不平行,设直线设直线设直线设直线ADAD与与与与直线直线直线直线CECE相交于点相交于点相交于点相交于点M.M.又又又又E E F F为棱为棱为棱为棱ABAB AAAA1 1的中点的中点的中点的中点,易知易知易知易知M

26、A=AD,MA=AD,MA=AD,MA=AD,所以所以所以所以MM MM为直线为直线为直线为直线ADAD上的同一点上的同一点上的同一点上的同一点,因此因此因此因此,三条直线三条直线三条直线三条直线DADA CECE D D1 1F F交于一点交于一点交于一点交于一点.2828 反思感悟反思感悟反思感悟反思感悟 设直线设直线设直线设直线DADA与直线与直线与直线与直线D D1 1F F交于点交于点交于点交于点M,M,直线直线直线直线DADA与直线与直线与直线与直线CECE交于交于交于交于M,M,再证明再证明再证明再证明M,MM,M重合重合重合重合.证明三线共点证明三线共点证明三线共点证明三线共点

27、,可以先说明其中两条交于一点可以先说明其中两条交于一点可以先说明其中两条交于一点可以先说明其中两条交于一点M,M,另两条交于一另两条交于一另两条交于一另两条交于一点点点点N,N,再想法证明再想法证明再想法证明再想法证明M,NM,N两点重合两点重合两点重合两点重合.另一种方法是另一种方法是另一种方法是另一种方法是:先证明其中先证明其中先证明其中先证明其中两条直线交于一点两条直线交于一点两条直线交于一点两条直线交于一点,再证明这个点在第三条直线上再证明这个点在第三条直线上再证明这个点在第三条直线上再证明这个点在第三条直线上.如本题如本题如本题如本题可先说明直线可先说明直线可先说明直线可先说明直线C

28、ECE和直线和直线和直线和直线D D1 1F F共面且交于一点共面且交于一点共面且交于一点共面且交于一点P,P,而点而点而点而点P P既在既在既在既在平面平面平面平面ADAD1 1内内内内,也在平面也在平面也在平面也在平面ACAC内内内内,所以点所以点所以点所以点P P在它们的交线在它们的交线在它们的交线在它们的交线ADAD上上上上.2929类型三类型三类型三类型三线共面问题线共面问题线共面问题线共面问题解题准备解题准备解题准备解题准备:证明共面问题的常用方法证明共面问题的常用方法证明共面问题的常用方法证明共面问题的常用方法证明若干条线证明若干条线证明若干条线证明若干条线(或若干个点或若干个点

29、或若干个点或若干个点)共面共面共面共面,一般来说有两种途径一般来说有两种途径一般来说有两种途径一般来说有两种途径:一是首一是首一是首一是首先由题给条件中的部分线先由题给条件中的部分线先由题给条件中的部分线先由题给条件中的部分线(或点或点或点或点)确定一个平面确定一个平面确定一个平面确定一个平面,然后再证明然后再证明然后再证明然后再证明其余的线其余的线其余的线其余的线(或点或点或点或点)均在这个平面内均在这个平面内均在这个平面内均在这个平面内;二是将所有元素分为几个二是将所有元素分为几个二是将所有元素分为几个二是将所有元素分为几个部分部分部分部分,然后分别确定几个平面然后分别确定几个平面然后分别

30、确定几个平面然后分别确定几个平面,再证这些平面重合再证这些平面重合再证这些平面重合再证这些平面重合.3030【典例典例典例典例3 3】已知已知已知已知:a,b,c,d:a,b,c,d是不共点且两两相交的四条直线是不共点且两两相交的四条直线是不共点且两两相交的四条直线是不共点且两两相交的四条直线,求求求求证证证证:a,b,c,d:a,b,c,d共面共面共面共面.证明证明证明证明 弄清楚四条直线不共点且两两相交的含义弄清楚四条直线不共点且两两相交的含义弄清楚四条直线不共点且两两相交的含义弄清楚四条直线不共点且两两相交的含义:四条直线四条直线四条直线四条直线不共点不共点不共点不共点,包括有三条直线共

31、点的情况包括有三条直线共点的情况包括有三条直线共点的情况包括有三条直线共点的情况;两两相交是指任何两两两相交是指任何两两两相交是指任何两两两相交是指任何两条直线都相交条直线都相交条直线都相交条直线都相交.3131 (1)(1)当四条直线中有三条相交于一点时当四条直线中有三条相交于一点时当四条直线中有三条相交于一点时当四条直线中有三条相交于一点时,不妨设不妨设不妨设不妨设a,b,ca,b,c相交于一相交于一相交于一相交于一点点点点A,A,直线直线直线直线d d和和和和A A确定一个平面确定一个平面确定一个平面确定一个平面.(.(如右图如右图如右图如右图)又设直线又设直线又设直线又设直线d d与与

32、与与a,b,ca,b,c分别相交于分别相交于分别相交于分别相交于E,F,G,E,F,G,则则则则A,E,F,GA,E,F,G ,A,EA,E ,A,E,A,E a,a,a a .同理可证同理可证同理可证同理可证b b ,c,c ,a,b,c,da,b,c,d在同一平面在同一平面在同一平面在同一平面 内内内内.3232 (2)(2)当四条直线中任何三条都不共点时当四条直线中任何三条都不共点时当四条直线中任何三条都不共点时当四条直线中任何三条都不共点时,如右图如右图如右图如右图.这四条直线两两相交这四条直线两两相交这四条直线两两相交这四条直线两两相交,则设相交直线则设相交直线则设相交直线则设相交直

33、线a,ba,b确定一个平面确定一个平面确定一个平面确定一个平面.设直线设直线设直线设直线c c与与与与a,ba,b分别交于点分别交于点分别交于点分别交于点H,K,H,K,则则则则H,KH,K .又又又又H,KH,K c,c,c c .同理可证同理可证同理可证同理可证d d .a,b,c,da,b,c,d四条直线在同一平面四条直线在同一平面四条直线在同一平面四条直线在同一平面 内内内内.3333 反思感悟反思感悟反思感悟反思感悟 证明若干条线证明若干条线证明若干条线证明若干条线(或若干个点或若干个点或若干个点或若干个点)共面共面共面共面,一般来说有两一般来说有两一般来说有两一般来说有两种途径种途

34、径种途径种途径:一是首先由题给条件中的部分线一是首先由题给条件中的部分线一是首先由题给条件中的部分线一是首先由题给条件中的部分线(或点或点或点或点)确定一个平确定一个平确定一个平确定一个平面面面面,然后再证明其余的线然后再证明其余的线然后再证明其余的线然后再证明其余的线(或点或点或点或点)均在这个平面均在这个平面均在这个平面均在这个平面内内内内;二是将所有元素分为几个部分二是将所有元素分为几个部分二是将所有元素分为几个部分二是将所有元素分为几个部分,然后分别确定几个平面然后分别确定几个平面然后分别确定几个平面然后分别确定几个平面,再再再再证这些平面重合证这些平面重合证这些平面重合证这些平面重合

35、.本题最容易忽视本题最容易忽视本题最容易忽视本题最容易忽视“三线共点三线共点三线共点三线共点”这一种情况这一种情况这一种情况这一种情况.因此因此因此因此,在分析题意时在分析题意时在分析题意时在分析题意时,应仔细推敲问题中每一句话的含义应仔细推敲问题中每一句话的含义应仔细推敲问题中每一句话的含义应仔细推敲问题中每一句话的含义.3434类型四类型四类型四类型四异面直线所成的角异面直线所成的角异面直线所成的角异面直线所成的角解题准备解题准备解题准备解题准备:1.:1.求异面直线所成的角求异面直线所成的角求异面直线所成的角求异面直线所成的角,关键是将其中一条直线平关键是将其中一条直线平关键是将其中一条

36、直线平关键是将其中一条直线平移到某个位置使其与另一条直线相交移到某个位置使其与另一条直线相交移到某个位置使其与另一条直线相交移到某个位置使其与另一条直线相交,或将两条直线同时平或将两条直线同时平或将两条直线同时平或将两条直线同时平移到某个位置移到某个位置移到某个位置移到某个位置,使其相交使其相交使其相交使其相交.平移直线的方法有平移直线的方法有平移直线的方法有平移直线的方法有:直线平移直线平移直线平移直线平移,中位线平移中位线平移中位线平移中位线平移,补形平移补形平移补形平移补形平移.2.2.求异面直线所成的角的一般步骤求异面直线所成的角的一般步骤求异面直线所成的角的一般步骤求异面直线所成的角

37、的一般步骤:一作一作一作一作:即据定义作平行线即据定义作平行线即据定义作平行线即据定义作平行线,作出异面直线所成的角作出异面直线所成的角作出异面直线所成的角作出异面直线所成的角;二证二证二证二证:即证明作出的角是异面直线即证明作出的角是异面直线即证明作出的角是异面直线即证明作出的角是异面直线所成的角所成的角所成的角所成的角;三求三求三求三求:在三角形中求得直线所成的角的某个三角在三角形中求得直线所成的角的某个三角在三角形中求得直线所成的角的某个三角在三角形中求得直线所成的角的某个三角函数值函数值函数值函数值.3535【典例典例典例典例4 4】在空间四边形在空间四边形在空间四边形在空间四边形AB

38、CDABCD中中中中,已知已知已知已知AD=1,BC=,AD=1,BC=,且且且且ADAD BC,BC,对角线对角线对角线对角线 求求求求ACAC和和和和BDBD所成的角所成的角所成的角所成的角.3636 解解解解 作平行线作平行线作平行线作平行线,找与异面直线所成的角相等的平面角找与异面直线所成的角相等的平面角找与异面直线所成的角相等的平面角找与异面直线所成的角相等的平面角,将空间将空间将空间将空间问题转化为平面问题问题转化为平面问题问题转化为平面问题问题转化为平面问题.如图如图如图如图,分别取分别取分别取分别取ADAD CDCD ABAB BDBD的中点的中点的中点的中点E E F F G

39、G H,H,连接连接连接连接EFEF FHFH HGHG GEGE GF.GF.3737由三角形的中位线定理知由三角形的中位线定理知由三角形的中位线定理知由三角形的中位线定理知,EF,EF AC,AC,且且且且EF=,GEEF=,GE BD,BD,且且且且GE=GE=.GE.GE和和和和EFEF所成的锐角所成的锐角所成的锐角所成的锐角(或直角或直角或直角或直角)就是就是就是就是ACAC和和和和BDBD所成的角所成的角所成的角所成的角.同理同理同理同理,GH,GH AD,HFAD,HF BC.BC.又又又又ADAD BC,BC,GHF=90,GHF=90,GFGF2 2=GH=GH2 2+HF+

40、HF2 2=1.=1.3838在在在在EFGEFG中中中中EGEG2 2+EF+EF2 2=1=GF=1=GF2 2,GEF=90,GEF=90,即即即即ACAC和和和和BDBD所成的角为所成的角为所成的角为所成的角为90.90.3939 反思感悟反思感悟反思感悟反思感悟 立体几何中立体几何中立体几何中立体几何中,计算问题的一般步骤计算问题的一般步骤计算问题的一般步骤计算问题的一般步骤:(1):(1)作图作图作图作图;(2);(2)证证证证明明明明;(3);(3)计算计算计算计算.求异面直线所成的角常采用求异面直线所成的角常采用求异面直线所成的角常采用求异面直线所成的角常采用“平移线段法平移线

41、段法平移线段法平移线段法”,平移的解法一般有三种类型平移的解法一般有三种类型平移的解法一般有三种类型平移的解法一般有三种类型:利用图中已有的平行线平移利用图中已有的平行线平移利用图中已有的平行线平移利用图中已有的平行线平移;利用特殊点利用特殊点利用特殊点利用特殊点(线段的端点或中点线段的端点或中点线段的端点或中点线段的端点或中点)作平行线平移作平行线平移作平行线平移作平行线平移;补形平移补形平移补形平移补形平移.计计计计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行算异面直线所成的角通常放在三角形中进行算异面直线所成的角通常放在三角形中进行算异面直线所成的角通常放在三角形中进行.4040错源一错源一错

42、源一错源一基本性质理解不到位基本性质理解不到位基本性质理解不到位基本性质理解不到位【典例典例典例典例1 1】下列说法正确的有下列说法正确的有下列说法正确的有下列说法正确的有()()(1)(1)在凹凸不平的地面上使用四条腿的凳子比三条腿的凳子更在凹凸不平的地面上使用四条腿的凳子比三条腿的凳子更在凹凸不平的地面上使用四条腿的凳子比三条腿的凳子更在凹凸不平的地面上使用四条腿的凳子比三条腿的凳子更平稳平稳平稳平稳;(2)(2)两个平面有可能只有一个公共点两个平面有可能只有一个公共点两个平面有可能只有一个公共点两个平面有可能只有一个公共点;(3)(3)如果有如果有如果有如果有n n条直线都平行于某一条直

43、线条直线都平行于某一条直线条直线都平行于某一条直线条直线都平行于某一条直线,那么这那么这那么这那么这n+1n+1条直线一条直线一条直线一条直线一定互相平行定互相平行定互相平行定互相平行.A.0A.0个个个个 B.1B.1个个个个 C.2C.2个个个个 D.3D.3个个个个4141 剖析剖析剖析剖析 错解对于基本性质理解不到位错解对于基本性质理解不到位错解对于基本性质理解不到位错解对于基本性质理解不到位.在凹凸不平的地面上在凹凸不平的地面上在凹凸不平的地面上在凹凸不平的地面上使用凳子是否平稳并不取决于凳子腿个数的多少使用凳子是否平稳并不取决于凳子腿个数的多少使用凳子是否平稳并不取决于凳子腿个数的

44、多少使用凳子是否平稳并不取决于凳子腿个数的多少,由基本性由基本性由基本性由基本性质质质质2 2可知可知可知可知,三条腿的凳子更平稳三条腿的凳子更平稳三条腿的凳子更平稳三条腿的凳子更平稳;两个平面不可能只有一个公两个平面不可能只有一个公两个平面不可能只有一个公两个平面不可能只有一个公共点共点共点共点,由基本性质由基本性质由基本性质由基本性质3 3可知可知可知可知,如果两个平面有一个公共点如果两个平面有一个公共点如果两个平面有一个公共点如果两个平面有一个公共点,那么那么那么那么它们有且仅有一条通过这个公共点的公共直线它们有且仅有一条通过这个公共点的公共直线它们有且仅有一条通过这个公共点的公共直线它

45、们有且仅有一条通过这个公共点的公共直线,也就是说也就是说也就是说也就是说,如果两个平面有一个公共点如果两个平面有一个公共点如果两个平面有一个公共点如果两个平面有一个公共点,则它们一定有无数个公共点则它们一定有无数个公共点则它们一定有无数个公共点则它们一定有无数个公共点;由基本性质由基本性质由基本性质由基本性质4 4可知可知可知可知,如果有如果有如果有如果有n n条直线都平行于某一条直线条直线都平行于某一条直线条直线都平行于某一条直线条直线都平行于某一条直线,那那那那么这么这么这么这n+1n+1条直线一定互相平行条直线一定互相平行条直线一定互相平行条直线一定互相平行.正解正解正解正解 B B42

46、42错源二错源二错源二错源二 对基本性质及其推论的使用条件不当而致误对基本性质及其推论的使用条件不当而致误对基本性质及其推论的使用条件不当而致误对基本性质及其推论的使用条件不当而致误【典例典例典例典例2 2】如图如图如图如图,已知直线已知直线已知直线已知直线a,b,c,aa,b,c,a b,ac=A,bc=B,b,ac=A,bc=B,求证求证求证求证:a,b,c:a,b,c三条直线共面三条直线共面三条直线共面三条直线共面.错证错证错证错证 因为因为因为因为a a b,b,所以所以所以所以a,ba,b共面共面共面共面,因为因为因为因为ac=A,ac=A,所以所以所以所以a,ca,c共面共面共面共

47、面,因为因为因为因为bc=B,bc=B,所以所以所以所以b,cb,c共面共面共面共面.所以所以所以所以a,b,ca,b,c三条直线共面三条直线共面三条直线共面三条直线共面.4343 剖析剖析剖析剖析 上述上述上述上述“证明证明证明证明”中出现了三次共面中出现了三次共面中出现了三次共面中出现了三次共面,设为设为设为设为 1 1,2 2,3 3,由于由于由于由于无法得知无法得知无法得知无法得知 1 1,2 2,3 3是否为同一平面是否为同一平面是否为同一平面是否为同一平面,因此因此因此因此,不能说不能说不能说不能说a,b,ca,b,c三条三条三条三条直线共面直线共面直线共面直线共面.证明证明证明证

48、明 因为因为因为因为a a b,b,所以所以所以所以a,ba,b可确定一个平面可确定一个平面可确定一个平面可确定一个平面,设为设为设为设为.因为因为因为因为c=A,c=A,所以所以所以所以A A a,a,又又又又a a ,所以所以所以所以A A ,同理同理同理同理B B ,故故故故ABAB ,即即即即c c .于是于是于是于是a,b,ca,b,c在同一平面在同一平面在同一平面在同一平面 内内内内,即即即即a,b,ca,b,c三条直线共面三条直线共面三条直线共面三条直线共面.4444技法一技法一技法一技法一快速解题快速解题快速解题快速解题(动手操作动手操作动手操作动手操作)【典例典例典例典例1

49、1】已知直线已知直线已知直线已知直线a a与直线与直线与直线与直线b b相交于点相交于点相交于点相交于点P,aP,a与与与与b b夹角夹角夹角夹角(交角中交角中交角中交角中不大于不大于不大于不大于9090的角的角的角的角)为为为为60,60,试问空间中过点试问空间中过点试问空间中过点试问空间中过点P P的所有直线中的所有直线中的所有直线中的所有直线中:(1)(1)与直线与直线与直线与直线a a、b b夹角均为夹角均为夹角均为夹角均为1010的直线有的直线有的直线有的直线有_条条条条;(2)(2)与直线与直线与直线与直线a a、b b夹角均为夹角均为夹角均为夹角均为3030的直线有的直线有的直线

50、有的直线有_条条条条;(3)(3)与直线与直线与直线与直线a a、b b夹角均为夹角均为夹角均为夹角均为4545的直线有的直线有的直线有的直线有_条条条条;(4)(4)与直线与直线与直线与直线a a、b b夹角均为夹角均为夹角均为夹角均为6060的直线有的直线有的直线有的直线有_条条条条;(5)(5)与直线与直线与直线与直线a a、b b夹角均为夹角均为夹角均为夹角均为8080的直线有的直线有的直线有的直线有_条条条条;(6)(6)与直线与直线与直线与直线a a、b b夹角均为夹角均为夹角均为夹角均为9090的直线有的直线有的直线有的直线有_条条条条.4545 解题切入点解题切入点解题切入点解