《参数的点估计》PPT课件.ppt

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1、第第 七七 章章参参 数数 估估 计计了一个正态总体下样本均值与样本方差了一个正态总体下样本均值与样本方差的分布定理的分布定理.前面我们介绍了总体、样本、简单随前面我们介绍了总体、样本、简单随机样本、统计量机样本、统计量和抽样分布的概念，和抽样分布的概念，介绍了统计中常用的三大分布，给出介绍了统计中常用的三大分布，给出进行统计推断的一般步骤为进行统计推断的一般步骤为:总体总体随机抽样随机抽样样本样本统计量统计量作出推断作出推断统计推断的统计推断的基本问题基本问题 参数估计问题参数估计问题 假设检验问题假设检验问题 参数的点估计参数的点估计 参数的区间估计参数的区间估计 参数假设检验参数假设检验

2、 非参数假设检验非参数假设检验 参数估计问题是利用从总体抽样得到参数估计问题是利用从总体抽样得到的样本信息来估计总体的某些参数的样本信息来估计总体的某些参数.如如:估计产品的废品率估计产品的废品率;估计湖中鱼的数量估计湖中鱼的数量;估计降雨量等等估计降雨量等等.在参数估计问题中，假定总体分布形在参数估计问题中，假定总体分布形式已知，未知的仅仅是一个或几个参数式已知，未知的仅仅是一个或几个参数.参数估计问题的一般提法参数估计问题的一般提法:设总体的分布函数为设总体的分布函数为其中其中是未知参数是未知参数(可以是向量可以是向量).).现从该总体现从该总体抽样，得样本抽样，得样本(X X1 1,X

3、X2 2,X Xn n),),根据该样本根据该样本作出估计作出估计.对参数对参数 比如比如:我们要估计某班男生的平均身高我们要估计某班男生的平均身高.假定身高服从正态分布假定身高服从正态分布现从该总体选取容量为现从该总体选取容量为 5 的样本，我们的的样本，我们的设这设这5个样本值是个样本值是:估计估计 1.65,1.67,1.68,1.78,1.69;任务是要根据选出的任务是要根据选出的5个样本对总体均值个样本对总体均值 作估计作估计.为为1.68，这是这是点估计点估计.估计估计在区间在区间 1.62,1.80 内，内，这是这是区间估计区间估计.参数估计分点估计与区间估计参数估计分点估计与区

4、间估计 设总体设总体 X 的分布中含未知参数的分布中含未知参数 1 1 参数的点估计参数的点估计(X1,X2,Xn)是一样本是一样本,要构造一个统计量要构造一个统计量 作为作为 的估计的估计(叫做叫做 的点估计量的点估计量);对应样本值对应样本值(x1,x2,xn),可作为可作为 的估计值，的估计值，构造点估计的常用方法构造点估计的常用方法矩估计法矩估计法(moment method of estimation)极大似然估计法极大似然估计法(method of maximum likelihood)叫做叫做 的点估计值的点估计值.基本思想：基本思想：用样本矩估计总体矩用样本矩估计总体矩.它是基

5、于一种简单的它是基于一种简单的“替换替换”思想建立起来的估计方思想建立起来的估计方法法.一、一、矩估计法矩估计法理论依据：理论依据：大数定律大数定律.矩估计法矩估计法:用样本矩用样本矩作为总体矩作为总体矩的估计的估计,去求出未知参数的估计量的方法去求出未知参数的估计量的方法.由矩估计法求得的估计量叫由矩估计法求得的估计量叫矩估计量矩估计量,相应的估计值叫相应的估计值叫矩估计值矩估计值.的矩估计量可记作的矩估计量可记作 解解:解得解得 总体矩用相应的样本矩代替总体矩用相应的样本矩代替,得矩估计量得矩估计量:例例1 1:设设(X1,X2,Xn)为总体为总体 X 的一样本的一样本,求总体均求总体均值

6、值 和总体方差和总体方差 的矩估计量的矩估计量.解解:解得解得 总体矩用相应的样本矩代替总体矩用相应的样本矩代替,得得 a 与与 b 的矩估计量的矩估计量:例例2 2:设总体设总体 X U(a,b),(X1,X2,Xn)为一样本为一样本,求求 a,b 的矩估计量的矩估计量.例例3:3:设设(X1,X2,Xn)为总体为总体 X 的一样本的一样本,X 的概率密的概率密度度求求 的矩估计量的矩估计量.解解:解得解得 总体矩用相应的样本矩代替总体矩用相应的样本矩代替,得矩估计量得矩估计量:基本思想：基本思想：概率最大的事件最可能发生概率最大的事件最可能发生 .由德国数学家高斯由德国数学家高斯 它它是是

7、在在总总体体类类型型已已知知的的条条件件下下使使用用的的一一种参数估计方法，种参数估计方法，二、极大似然估计法二、极大似然估计法例如例如:某位同学与一位猎人一起外出打猎某位同学与一位猎人一起外出打猎.一只野兔从前方窜过一只野兔从前方窜过.只听一声枪响，野兔应声倒下只听一声枪响，野兔应声倒下.是谁打中的呢？是谁打中的呢？你很自然地想到你很自然地想到:只发一枪便打中只发一枪便打中,猎人命中的概率一般猎人命中的概率一般大于这位同学命中的概率大于这位同学命中的概率.估计这一枪应该是猎人射中的估计这一枪应该是猎人射中的.18211821年年提出提出.例例:设设(x1,x2,xn)为取自正态总体为取自正态

8、总体 的一样本值的一样本值,求总体均值求总体均值 和总体方差和总体方差 最大似然估计最大似然估计.解解:X 的概率密度的概率密度似然函数似然函数两边取对数得两边取对数得续解续解:分别对分别对求导并令其为求导并令其为 0 得得 求估计量的方法很多求估计量的方法很多,用不同的方法求出的估计量可用不同的方法求出的估计量可能能不一样不一样.我们希望用较好的估计量去估计未知参数我们希望用较好的估计量去估计未知参数.因此因此有必要讨论如何评价一个估计量的好坏有必要讨论如何评价一个估计量的好坏.3 3 估计量的评选标准估计量的评选标准常用的几个评价标准：常用的几个评价标准：无偏性无偏性,有效性有效性,一致性

9、一致性 估计量是随机变量，其取值随样本值的不同而不同估计量是随机变量，其取值随样本值的不同而不同.我我 们希望估计量的取值集中在未知参数真值附近们希望估计量的取值集中在未知参数真值附近,即它的期望即它的期望 值等于未知参数的真值值等于未知参数的真值.这就导致这就导致无偏性无偏性这个标准这个标准.同样是无偏估计量同样是无偏估计量,有的取值较集中有的取值较集中,有的取值较分散有的取值较分散.自然是自然是:取值越集中的越好取值越集中的越好.这就导致这就导致有效性有效性这个标准这个标准.估计量与样本容量有关估计量与样本容量有关,我们希望估计量的取值随样本我们希望估计量的取值随样本 容量的增大稳定在未知

10、参数真值容量的增大稳定在未知参数真值.这就导致这就导致一致性一致性这个标准这个标准.无偏性无偏性:若若 ,则称则称 是是的无偏估计的无偏估计.有效性有效性:且且 ,若若 及及 都是都是 的无偏估计的无偏估计,则称则称 较较 有效有效.一致性一致性:若对若对有有则称则称 是是的相合估计的相合估计.设总体设总体 X 的均值为的均值为因因方差为方差为(X1,X2,Xn)是是它的一个样本它的一个样本,为样本均值为样本均值,为样本方差为样本方差,表明表明:样本均值样本均值是总体均值是总体均值的无偏估计的无偏估计.样本方差样本方差是总体方差是总体方差的无偏估计的无偏估计.注注:不是不是 的无偏估计的无偏估计,它们也是它们也是相合估计相合估计例例:设总体设总体 ,(X1,X2,X3)为一样本为一样本,验验证证都是都是 的无偏估计的无偏估计,并分析哪个更好并分析哪个更好?解解:X1,X2,X3 独立与独立与 X 同分布同分布,故故 同理得同理得 所以所以 d1,d2 都是都是的无偏估计的无偏估计.例例:设总体设总体 ,(X1,X2,X3)为一样本为一样本,验验证证都是都是 的无偏估计的无偏估计,并分析哪个更好并分析哪个更好?续解续解:同理得同理得 所以所以 d1 比比 d2 有效有效,d1 更好更好.