《数学文化选讲》PPT课件.ppt

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1、数学文化选讲数学文化选讲陇东学院数学与统计学院陇东学院数学与统计学院陇东学院数学与统计学院陇东学院数学与统计学院金晶金晶金晶金晶l “数学文化数学文化”的使用的使用l “数学文化数学文化”的内涵的内涵l 案例选讲案例选讲“数学文化数学文化”的使用的使用该词使用已有二十年以上；该词使用已有二十年以上；在国内，最早使用该词是在在国内，最早使用该词是在1990年邓东皋、孙小礼等学年邓东皋、孙小礼等学者编写的者编写的数学与文化数学与文化及齐民友先生的及齐民友先生的数学与文化数学与文化；近十年这个词使用的多起来；近十年这个词使用的多起来；这个词的使用频率近年大大增加，说明它有生命力的，说这个词的使用频率

2、近年大大增加，说明它有生命力的，说明许多人为着某种需要更愿意从文化这一角度来关注数学，明许多人为着某种需要更愿意从文化这一角度来关注数学，更愿意强调数学的文化价值。更愿意强调数学的文化价值。2002年，第年，第24届国际数学家大会在中国北京召开，大会届国际数学家大会在中国北京召开，大会成立的中国少年数学活动论坛，陈省身先生为中国少年数成立的中国少年数学活动论坛，陈省身先生为中国少年数学活动论坛题词学活动论坛题词“数学好玩数学好玩”，鼓励青少年喜欢数学、学，鼓励青少年喜欢数学、学好数学。之后好数学。之后“中国少年数学活动论坛中国少年数学活动论坛”会场的横幅标语会场的横幅标语中，使用了中，使用了“

3、数学文化数学文化”一词。一词。“数学文化数学文化”的使用的使用2003年，年，“数学文化数学文化”首次进入官方文件首次进入官方文件普通高普通高中数学课程标准中数学课程标准。之后，国内越来越多的高校开始举办数学文化节、数学文之后，国内越来越多的高校开始举办数学文化节、数学文化月等活动，例如北京大学。化月等活动，例如北京大学。2008年，全国高校数学文化课程建设的研讨会在南开大年，全国高校数学文化课程建设的研讨会在南开大学召开，并由博士生导师顾沛教授组织编写了研讨会的论学召开，并由博士生导师顾沛教授组织编写了研讨会的论文集。文集。与数学文化相关的书籍与数学文化相关的书籍数学与文化数学与文化数学与人

4、类文数学与人类文明明、数学的源与流数学的源与流、文化视野中的数学与数学教文化视野中的数学与数学教育育、数学文化漫谈数学文化漫谈、多元视角下的数学文化多元视角下的数学文化、丘成桐等编写的丛书丘成桐等编写的丛书数学与人文数学与人文等三四百本之多。等三四百本之多。“数学文化数学文化”的内涵的内涵狭义狭义：数学的思想、精神、方法、观点、语言，以：数学的思想、精神、方法、观点、语言，以及它们的形成和发展。及它们的形成和发展。广义广义：除上述内涵以外，还包含数学家、数学史、：除上述内涵以外，还包含数学家、数学史、数学美、数学教育、数学发展中的人文成分，数数学美、数学教育、数学发展中的人文成分，数学与社会的

5、联系，数学与各种文化的关系等等。学与社会的联系，数学与各种文化的关系等等。本课使用的本课使用的“数学文化数学文化”一词，更多的倾向于一词，更多的倾向于它的狭义内涵。它的狭义内涵。耐人寻味的思考耐人寻味的思考 耐人寻味的是与数学文化平行的像物理文化、化耐人寻味的是与数学文化平行的像物理文化、化学文化、生物文化等等这样类似的词汇，并没有像学文化、生物文化等等这样类似的词汇，并没有像数学文化这样在最近十年里得到如此广泛的应用。数学文化这样在最近十年里得到如此广泛的应用。这表明，数学科学在本质上有不同于物理科学、化这表明，数学科学在本质上有不同于物理科学、化学科学、生命科学等自然科学的地方。学科学、生

6、命科学等自然科学的地方。数学科学研究的对象，并不是某种具体的物质运数学科学研究的对象，并不是某种具体的物质运动形态，而是从众多的物质运动形态中抽象出来的动形态，而是从众多的物质运动形态中抽象出来的事物，是人脑的产物。数学，具有超越具体科学和事物，是人脑的产物。数学，具有超越具体科学和普遍使用的特征，具有公共基础的地位。普遍使用的特征，具有公共基础的地位。特别是，不同的社会现象和自然现象，在特别是，不同的社会现象和自然现象，在某一方面可能遵循同样某一方面可能遵循同样 的数学规律，这反映的数学规律，这反映出社会现象与自然现象在数量关系上的某种出社会现象与自然现象在数量关系上的某种共性。数学超越了具

7、体的社会科学和自然科共性。数学超越了具体的社会科学和自然科学，也成为联系社会科学和自然科学的纽带。学，也成为联系社会科学和自然科学的纽带。所以，有许多学者认为：数学科学不是自所以，有许多学者认为：数学科学不是自然科学，数学科学应独立于自然科学和社会然科学，数学科学应独立于自然科学和社会科学，与哲学的地位类似科学，与哲学的地位类似。一个人不识字可以生活，但不一个人不识字可以生活，但不识数却很难生活。识数却很难生活。一个学科，只有当它成功地运一个学科，只有当它成功地运用数学的时候，才算达到了成用数学的时候，才算达到了成熟的程度。熟的程度。一个国家科学的进步，可以用一个国家科学的进步，可以用它消耗的

8、数学来度量。它消耗的数学来度量。例一、例一、周髀算经周髀算经与勾股定理与勾股定理中中国与世界数学的骄傲国与世界数学的骄傲例二、类比与创新思维例二、类比与创新思维例三、哥尼斯堡七桥问题与抽象思维例三、哥尼斯堡七桥问题与抽象思维例四、莫比乌斯带与反常思维例四、莫比乌斯带与反常思维案例选讲案例选讲 我国古代称直角三角形两条直角边为我国古代称直角三角形两条直角边为“勾和股勾和股”，称斜边为称斜边为“弦弦”。“在直角三角形中，两条直角边的平在直角三角形中，两条直角边的平方和，等于斜边的平方方和，等于斜边的平方”，因而这个结论在我国成为，因而这个结论在我国成为“勾股定理勾股定理”。早在周朝初年（约公元前。

9、早在周朝初年（约公元前1100年），周年），周朝大夫高商发现了直角三角形的一个特例：朝大夫高商发现了直角三角形的一个特例：“勾三、股勾三、股四、弦五四、弦五”；我国古算书；我国古算书周髀算经周髀算经记载陈子已发现记载陈子已发现勾股定理的公式和证明方式；公元三世纪，三国吴人赵勾股定理的公式和证明方式；公元三世纪，三国吴人赵爽对爽对周髀算经周髀算经中的勾股定理给出了详细的注解，作中的勾股定理给出了详细的注解，作出了另一个证明。出了另一个证明。在陈子后一二百年，希腊数学家毕达哥拉斯发现这在陈子后一二百年，希腊数学家毕达哥拉斯发现这个定理即个定理即“毕达哥拉斯毕达哥拉斯”定理，又称定理，又称“百牛定理

10、百牛定理”。例一、例一、周髀算经周髀算经与勾股定理与勾股定理 中国和世界数学的骄傲中国和世界数学的骄傲 周髀算经周髀算经为算经十书之一。约成书与公为算经十书之一。约成书与公元前二世纪，原名元前二世纪，原名周髀周髀，是中国最古老的天，是中国最古老的天文学著作，主要阐明当时盖天说和四分历法。唐文学著作，主要阐明当时盖天说和四分历法。唐初规定它为国子监明算科的教材之一，改名为初规定它为国子监明算科的教材之一，改名为周髀算经周髀算经。其中明确记载了勾股定理公式：。其中明确记载了勾股定理公式：“若求斜至日者，以日下为勾，日高为股，勾股若求斜至日者，以日下为勾，日高为股，勾股各自乘，并而开方处之，得斜至日

11、各自乘，并而开方处之，得斜至日”。后来，赵。后来，赵爽详细注解了爽详细注解了周髀算经周髀算经中的勾股定理，将其中的勾股定理，将其表述为表述为“勾股各自乘，并之，为弦实。开方处之勾股各自乘，并之，为弦实。开方处之即弦即弦”。又给出。又给出 新的证明新的证明“按弦图，又可以勾股按弦图，又可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四，以勾股之差自相相乘为朱实二，倍之为朱实四，以勾股之差自相乘为中黄实，加差实，亦成弦实。乘为中黄实，加差实，亦成弦实。”很多人知道北京很多人知道北京2008年举行奥运会，可是年举行奥运会，可是很少有人知道很少有人知道2002年在北京举行的年在北京举行的“国际数学国际数学家大会家大会

12、”，这是我国许多世界顶尖级数学大师和，这是我国许多世界顶尖级数学大师和政府争取来的荣誉。这次大会的会徽就选择了赵政府争取来的荣誉。这次大会的会徽就选择了赵爽所作的爽所作的“弦图弦图”。赵爽证法：如图所示，赵爽证法：如图所示，a、b、c表示勾、股、弦，表示勾、股、弦，以以a、b为直角边的每个直角三角形为为直角边的每个直角三角形为“朱实朱实”，即图中有即图中有4个朱实，中间的一个以个朱实，中间的一个以b-a为边长的正为边长的正方形为方形为“中黄实中黄实”，以弦以弦c为边长的大正方形为边长的大正方形叫叫“弦实弦实”，此图成为，此图成为“弦图弦图”。ca朱实 b中黄实b-a 美国宇航员的一次寻找外星人

13、的行动中，也美国宇航员的一次寻找外星人的行动中，也带去了一个证明勾股图形的黄金指制品，可见带去了一个证明勾股图形的黄金指制品，可见勾股定理的证明是世界的骄傲，至今勾股定理勾股定理的证明是世界的骄傲，至今勾股定理的证明已达到的证明已达到380多种，而很多人，仍然在探多种，而很多人，仍然在探寻新的证明方法。寻新的证明方法。例二、类比与创新思维例二、类比与创新思维 “类比类比”是一种合情推理是一种合情推理l类比类比从两个事物在一些方面的相同或者类似，从两个事物在一些方面的相同或者类似，推知它们在另一些方面的相同或者类似。推知它们在另一些方面的相同或者类似。l合情推理的结论可能是正确的，也可能是错误的

14、。合情推理的结论可能是正确的，也可能是错误的。l它不是证明，因为它无法保证已知相同的属性与它不是证明，因为它无法保证已知相同的属性与推得的属性之间的必然联系。推得的属性之间的必然联系。l它是获得新思路、新发现的一种观点、一种手段、它是获得新思路、新发现的一种观点、一种手段、一种方法。一种方法。“类比类比”、“归纳归纳”都是合情推理都是合情推理 “脑袋大、脖子粗，不是大款就是伙夫脑袋大、脖子粗，不是大款就是伙夫”概念间类比：一元一次方程概念间类比：一元一次方程一元一次不等式一元一次不等式法则间类比：数的运算法则法则间类比：数的运算法则整式的运算法则整式的运算法则性质间类比：除法性质间类比：除法分

15、数分数4个平面最多能把空间分成个平面最多能把空间分成多少个部分？多少个部分？用类比的方法，可得用类比的方法，可得“16个部分个部分”的答的答案，但却是错误的。案，但却是错误的。平面分空间，要想分得的部分数最多，就平面分空间，要想分得的部分数最多，就要求平面与平面相交的情况最复杂。要求平面与平面相交的情况最复杂。1346527类比不是证明类比不是证明 类比不是证明，只是合情的猜测，是合情类比不是证明，只是合情的猜测，是合情推理；还需要用逻辑推理分析这一猜测，去推理；还需要用逻辑推理分析这一猜测，去认定这一猜测，或者否定这一猜测。这才是认定这一猜测，或者否定这一猜测。这才是用类比，归纳的方法去研究

16、问题的决定性步用类比，归纳的方法去研究问题的决定性步骤骤3+4=73+4+4=118+7=15例三、格尼斯堡七桥问题与抽象思维例三、格尼斯堡七桥问题与抽象思维 学会数学学会数学“抽象抽象”是一种基本的数学素养。是一种基本的数学素养。学生却因为数学抽象而感觉数学枯燥、难学。学生却因为数学抽象而感觉数学枯燥、难学。其实其实“抽象抽象”是数学的武器，是数学的优势。是数学的武器，是数学的优势。了解了解“抽象抽象”的思想、原则、方法和作用，实的思想、原则、方法和作用，实践践“抽象抽象”的过程，学会的过程，学会“抽象抽象”的手段，喜欢的手段，喜欢“抽象抽象”。哥尼斯堡七桥问题：哥尼斯堡七桥问题：在离布勒格

17、尔河如波罗的海海口不远的地方有在离布勒格尔河如波罗的海海口不远的地方有一座古老的城市一座古老的城市哥尼斯堡。最早给这座城市哥尼斯堡。最早给这座城市带来声誉的是那横跨布勒格尔河流，把哥尼斯堡带来声誉的是那横跨布勒格尔河流，把哥尼斯堡连成一体的七座桥。连成一体的七座桥。“不重复的走遍七座桥不重复的走遍七座桥”欧拉解决问题欧拉解决问题三步抽象三步抽象地图的抽象：地图的抽象：“点线图点线图”问题的抽象：问题的抽象：“一笔画问题一笔画问题”把问题转化为数学方式的叙述把问题转化为数学方式的叙述把问题转化为数学方式的叙述：把问题转化为数学方式的叙述：找到找到“一个连通的一个连通的点线图点线图可以一笔画可以一

18、笔画”的的充分必要条件，并且对可以充分必要条件，并且对可以“一笔画一笔画”的图形，给的图形，给出出“一笔画一笔画”的方法。的方法。三步抽象的作用三步抽象的作用地图的抽象：把地图抽象为点线图，把岛和岸抽地图的抽象：把地图抽象为点线图，把岛和岸抽象为点，把桥抽象为线。即简化了问题的条件，又象为点，把桥抽象为线。即简化了问题的条件，又突出问题的本质突出问题的本质问题的抽象：明确问题的本质问题的抽象：明确问题的本质把问题转换为数学方式的叙述：又便于数学方式把问题转换为数学方式的叙述：又便于数学方式的理性思维的理性思维情形一情形一 起点和终点重合，那么与起点或终点相交的线起点和终点重合，那么与起点或终点

19、相交的线都必须是偶数条（称为偶结点）。都必须是偶数条（称为偶结点）。情形二情形二 起点和终点不重合，那么与起点和终点相交的起点和终点不重合，那么与起点和终点相交的线都必须是奇数条（称为奇结点）。线都必须是奇数条（称为奇结点）。而中途经过的点都必须是偶结点。而中途经过的点都必须是偶结点。点的分类：起点、终点和中途经过的点点的分类：起点、终点和中途经过的点1）图形必须是连通的）图形必须是连通的 即图中的任意一点通过一些线一定能到达其它即图中的任意一点通过一些线一定能到达其它任意一点。任意一点。2）图中的）图中的“奇点奇点”数只能是数只能是0 或者是或者是2 一个图形可以一笔画，必须满足下列一个图形

20、可以一笔画，必须满足下列两个条件：两个条件：l 欧拉在彼得堡科学院上发表有关论文，震惊了欧拉在彼得堡科学院上发表有关论文，震惊了整个数学界，开创了整个数学界，开创了“图论图论”的先河。的先河。图论就是运用直观的图形和数学的方法来研究组合关图论就是运用直观的图形和数学的方法来研究组合关系的一门新兴学科。原来图论是组合数学的一个重要的课系的一门新兴学科。原来图论是组合数学的一个重要的课题，由于发展迅速现在称为一个独立的数学分支。它把被题，由于发展迅速现在称为一个独立的数学分支。它把被研究系统中的各个元素作为点，把元素之间的关系作为连研究系统中的各个元素作为点，把元素之间的关系作为连线，然后画成图。

21、通过对图形的研究找出解决实际问题的线，然后画成图。通过对图形的研究找出解决实际问题的办法。办法。图论为研究任何一类离散事物的关系结构提供了一种图论为研究任何一类离散事物的关系结构提供了一种本质的框架，在经济学、心理学、社会学、运筹学网络理本质的框架，在经济学、心理学、社会学、运筹学网络理论、信息论、通信科学等方面都有着广泛的应用。论、信息论、通信科学等方面都有着广泛的应用。值得一提的是，欧拉对七桥问题的研究，后来演变成多面值得一提的是，欧拉对七桥问题的研究，后来演变成多面体理论，得到著名的欧拉公式：体理论，得到著名的欧拉公式：V+F=E+2（其中，（其中，V、E、F分别表示凸多面体的顶点数、棱

22、数和面数）。分别表示凸多面体的顶点数、棱数和面数）。l 数学家的抽象思维，值得我们体会和学习数学家的抽象思维，值得我们体会和学习l“抽象抽象”是数学的武器，是数学的优势是数学的武器，是数学的优势l 我们应该喜爱我们应该喜爱“抽象抽象”，学会，学会“抽象抽象”的手段的手段例四、莫比乌斯带与反常思维例四、莫比乌斯带与反常思维“怪圈怪圈”莫比乌斯带莫比乌斯带 1858年法国巴黎科学协会举办一次数学论文比赛年法国巴黎科学协会举办一次数学论文比赛，参赛者中，来自德国莱比锡市的数学家奥古斯特参赛者中，来自德国莱比锡市的数学家奥古斯特 莫比乌斯，莫比乌斯，论述他发现了一种奇异的曲面：将纸带一端扭转论述他发现

23、了一种奇异的曲面：将纸带一端扭转180度后，度后，与另一端粘在一起，这就是以后以他的名字命名的与另一端粘在一起，这就是以后以他的名字命名的“莫比莫比乌斯带乌斯带”，这个最早的模型成为了拓扑学这个全新数学分，这个最早的模型成为了拓扑学这个全新数学分支的萌芽。莫比乌斯带的特点就是它是一个单侧曲面。支的萌芽。莫比乌斯带的特点就是它是一个单侧曲面。莫比乌斯带应用很广泛，涉及科学、技术，甚至莫比乌斯带应用很广泛，涉及科学、技术，甚至是艺术、文艺等方面。是艺术、文艺等方面。莫比乌斯带与科学莫比乌斯带与科学DNA双螺旋分子结构。双螺旋分子结构。莫比乌斯带与技术莫比乌斯带与技术工厂的运输传送带、计算工厂的运输

24、传送带、计算机打印机的色带。机打印机的色带。莫比乌斯带与艺术莫比乌斯带与艺术雕塑、邮票、绘画等。雕塑、邮票、绘画等。莫比乌斯带与文学莫比乌斯带与文学科幻小说科幻小说一个叫莫比乌一个叫莫比乌斯的地铁站斯的地铁站。“怪圈怪圈”莫比乌斯带的应用莫比乌斯带的应用 “莫比乌斯带莫比乌斯带”是反常思维的结果，在常是反常思维的结果，在常规看来不可能的事情，运用反常思维却是轻规看来不可能的事情，运用反常思维却是轻而易举的。反常思维是常规思维的悖论，是而易举的。反常思维是常规思维的悖论，是违背习以为常的逆向思维。违背习以为常的逆向思维。如如镜花缘镜花缘中叙述的女皇武则天催花一事，中叙述的女皇武则天催花一事，数九

25、寒天下令数九寒天下令“花须连夜发，莫待晓风催花须连夜发，莫待晓风催”。英美人和中国人写信地址的顺序：英美人和中国人写信地址的顺序：英美英美 38号克斯比尔大街哥伦比亚区纽约市美国号克斯比尔大街哥伦比亚区纽约市美国中国中国 美国纽约市哥伦比亚区克斯比尔大街美国纽约市哥伦比亚区克斯比尔大街38号号 常识认为，鸡毛可以飞上天，铁块不可能飞上常识认为，鸡毛可以飞上天，铁块不可能飞上天，但是今天的现实表明，几十吨甚至几百吨的天，但是今天的现实表明，几十吨甚至几百吨的“铁块铁块”飞机能飞上去。飞机能飞上去。拓扑学就是一种反常思维，它能变换空间的位拓扑学就是一种反常思维，它能变换空间的位置，使得一个密闭的空

26、间内外相通，分不开里外。置，使得一个密闭的空间内外相通，分不开里外。人进入这样的密室也能轻而易举的走出来（如克莱人进入这样的密室也能轻而易举的走出来（如克莱因瓶），这对于常规思维是不可能的事情。因瓶），这对于常规思维是不可能的事情。莫比乌斯带，它多么简单，然而有极度深刻，莫比乌斯带，它多么简单，然而有极度深刻，它有那么多工业、技术上的美妙应用，同时又带给它有那么多工业、技术上的美妙应用，同时又带给科学家、哲学家、艺术家、文学家那么多新奇的想科学家、哲学家、艺术家、文学家那么多新奇的想象。所以说，它是科学的艺术形象，也是艺术形象象。所以说，它是科学的艺术形象，也是艺术形象的科学。莫比乌斯带的这种

27、反常思维绝对不是魔术的科学。莫比乌斯带的这种反常思维绝对不是魔术师的把戏，而是通向真理的一把钥匙。师的把戏，而是通向真理的一把钥匙。将数学文化融入课堂将数学文化融入课堂在背景的讲解中，让学生了解数学，走进在背景的讲解中，让学生了解数学，走进文化。文化。数学符号记录着不同时代的文明，凝聚着深厚数学符号记录着不同时代的文明，凝聚着深厚的人文精神，闪烁着人类的智慧。但由于时代久的人文精神，闪烁着人类的智慧。但由于时代久远，许多数学知识必须附带一些具体的讲解，定远，许多数学知识必须附带一些具体的讲解，定理产生的历史和文化背景，以及它的历史意义和理产生的历史和文化背景，以及它的历史意义和现实意义等。这样

28、学生才能真正走进知识，理解现实意义等。这样学生才能真正走进知识，理解知识。知识。在数学思维训练中，让学生读懂数学，感在数学思维训练中，让学生读懂数学，感悟文化。悟文化。数学教学的本质是数学思维的训练。数学教学的本质是数学思维的训练。走进数学背后的世界，让学生读懂数学，走进数学背后的世界，让学生读懂数学，了解文化了解文化 数学知识总是不同程度地映射出本民族文化的数学知识总是不同程度地映射出本民族文化的精神底蕴。作为教师应努力引领学生走进数学背后精神底蕴。作为教师应努力引领学生走进数学背后的世界，去关注数学知识的世界，去关注数学知识“后面的东西后面的东西”。唯有如此，数学文化才不至于像贴唯有如此，数学文化才不至于像贴标签一样肤浅、空调，而是慢慢融入学标签一样肤浅、空调，而是慢慢融入学生的学习中去，融入学生习得的技能中，生的学习中去，融入学生习得的技能中，成为学生的一种思想、一种观念、一种成为学生的一种思想、一种观念、一种生活的体验。生活的体验。谢谢 谢！谢！