2018年度高等数学B(上.)预习复习计划资料.doc

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1、华南理工大学网络教育学院华南理工大学网络教育学院高等数学（上）高等数学（上） 辅导辅导一、一、 判断两个函数的定义域是否相同判断两个函数的定义域是否相同1、与是否表示同一个函数？2( )lnf xx( )2lnf xx2、与表示同一个函数( ) |f xx2( )f xx二、二、 常见的等价无穷小及等价无穷小替换原理常见的等价无穷小及等价无穷小替换原理常见的等价无穷小：常见的等价无穷小：0 sin tan arcsin arctanxxxxxx 时, ln(1) xxxe-1211 cos,2xx1112xx无穷小替换原理：无穷小替换原理：在求极限过程中，无穷小的因子可以用在求极限过程中，无穷

2、小的因子可以用相应的等价无穷小替换相应的等价无穷小替换例题：例题：1、？320sin 3lim xx x解：当解：当，0 sin3 3xxx 原式原式= =3200(3 )limlim270 xxxxx2、？ 0sin3lim xx x解：原式解：原式= = 03lim3 xx x3、？201-coslim xx x解：当解：当210cos2xxx 1-原式原式=2201 12lim2xxx4、？ 0ln(1 3 )lim xx x解：当解：当03 ) 3xxx ln(1+原式原式=. 03lim3 xx x5、？201limxxe x解：当解：当201 2xxex，原式原式=. 02lim2

3、 xx x三、三、 多项式之比的极限多项式之比的极限，2lim03xx xx2211lim33xx xx23lim xxx x 四、四、 可导与连续等的关系可导与连续等的关系1、若在点导数存在, 则在点连续. ( )f x0x( )f x0x、2. 若是的驻点，则它不一定是的极小值点. 0x( )f x( )f x五、五、 导数的几何意义（填空题）导数的几何意义（填空题）：表示曲线：表示曲线在点在点处的处的切线斜率切线斜率0()fx( )yf x00(,()M xf x曲线曲线.在点在点处的处的切线方程切线方程为：为：( )yf x00(,()M xf x000()()()yf xfxxx曲线

4、曲线在点在点处的处的法线方程法线方程为：为：( )yf x00(,()M xf x00 01()()()yf xxxfx 例题：例题：1 1、曲线、曲线在点在点的切线的斜率的切线的斜率4 4xyx(2,3)M解：解：22 2(4)(4)(4)(4) (4)x xxxxxyx 2 282(4)xx2、曲线、曲线在点在点处的切线方程处的切线方程cosxxye(0,1)M解：解：20 0(cos )cos () ()xxxx xx ex eye 2 0sincos1()xxx xxexe e 所以曲线所以曲线在点在点处的切线方程为：处的切线方程为：cosxxye(0,1)M，即，即1(0)yx 10

5、xy 3、曲线、曲线在点在点处的切线方程处的切线方程 231y x(1,1)M解：解：5 3 1 122 33x xyx 所以曲线所以曲线在点在点处的切线方程为：处的切线方程为： 231y x(1,1)M，即，即21(1)3yx 2350xy六、六、 导数的四则运算、复合函数的导数、微分导数的四则运算、复合函数的导数、微分复合函数求导的链式法则：复合函数求导的链式法则：ddd( ),( ) ( ):dddyyuyf u ug xyf g xxux( )( )( ).y xf ug x 微分：微分：( )dyfx dx例题：例题：1 1、设、设，则，则？21yxy 解：解： 1 222 2111

6、21xyxx x 2 2、设、设，则，则？2sinyxy 解：解： 222cos2 cosyxxxx3 3、设、设，则，则？sin2xy dy 解：解：sinsin2ln2sin2cos ln2xxyxx则则dy sin2cos ln2xxdx4、设、设，则，则？sinxyedy 解：解： coscosxxxxyeeee所以所以cosxxdyee dx5 5、设、设，则，则？（答案：？（答案：）2xyedy 22xxedx七、七、 运用导数判定单调性、求极值运用导数判定单调性、求极值例题：例题：1 1、求、求的单调区间和极值的单调区间和极值lnyxx解：定义域解：定义域(0,)x令令，求出驻点

7、，求出驻点ln10yx 1xex1(0,)e1e1(,)ey- -0 0+ + y单调减单调减极小值点极小值点单调增单调增函数的单调递减区间为函数的单调递减区间为，单调递增区间为，单调递增区间为1(0,e1(,)e极小值为极小值为11( )yee 2 2、求、求的单调区间和极值的单调区间和极值xyxe解：定义域解：定义域(,)x 令令，求出驻点，求出驻点(1)0xxxyexex e 1x x(,1)1 1(1,)y+ +0 0- - y单调增单调增极大值点极大值点单调减单调减函数的单调递减区间为函数的单调递减区间为，1,)单调递增区间为单调递增区间为，(,1)极大值为极大值为1(1)ye3、求

8、函数、求函数. . .的单调区间和极值的单调区间和极值2( )xf xe解：解：定义域定义域(,)x 令令，得，得2( )2xfxxe 0x x(,0)0 0(0,)y+ +0 0- - y单调增单调增极大值点极大值点单调减单调减 单调递增区间：单调递增区间：，单调递减区间：，单调递减区间：，(,0)(0,)极大值为极大值为(0)1f4、求函数、求函数的极值的极值答案：答案：极小值为，31( )3f xxx2(1)3y 极大值为2( 1)3y 八、八、 隐函数求导隐函数求导例题：例题：1 1、求由方程、求由方程所确定的隐函数所确定的隐函数的的2sin0xeyxy( )yy x导数导数dy dx

9、解：方程两边关于解：方程两边关于 求导，得：求导，得：x2cos(2)0xey yyxy yA即即 2cos2xyeyyxy 2、求由方程、求由方程所确定的隐函数所确定的隐函数的导数的导数cos()yxy( )yy xdy dx解：方程两边同时关于解：方程两边同时关于 x x 求导，得：求导，得：sin()(1)yxyy 即即sin() 1 sin()xyyxy 3、求由方程、求由方程所确定的隐函数所确定的隐函数的导数的导数sin()yxy( )yy x 答案：答案： dy dxcos() 1 cos()dyxy dxxy4 4、求由方程、求由方程所确定的隐函数所确定的隐函数的的lnln0xy

10、xy( )yy x导数导数 答案：答案： dy dxdyy dxx 九、九、 洛必达法则求极限，注意结合等价无穷小替换原理洛必达法则求极限，注意结合等价无穷小替换原理例题：例题：1、求极限、求极限 011lim1sinxxex解：原式解：原式 0sin(1)lim(1)sinxxxxe ex.20sin(1)limxxxe x0sin ,1xxxx ex 当时，0coslim2xxxe x0sinlim2xxxe1 2 2、求极限、求极限30sinlimtanxxx x0 0解：原式解：原式= =30sinlim xxx x0tanxxx 当时，201 coslim3xx x= =2201 2

11、lim3xxx2101 cos2xxx当时，1 63、求求 （答案：（答案：）201limxxex x0 01 2十、十、 凑微分法求不定积分（或定积分）凑微分法求不定积分（或定积分）简单凑微分问题：简单凑微分问题：，, ,2xe dxsin4xdxcos5xdxlnlnxdx一般的凑微分问题：一般的凑微分问题：， 21xdx x223xx dx，sin 1cosxdxxln xdxx例题：例题：1 1、 21xdx x解：注意到解：注意到2(1)2xx 原式原式= =2211121dx x 12dxxCx1 221xC 2 2、223xx dx解：注意到解：注意到2(23)6xx 原式原式2

12、21=23(23)6x dx3 22 3xdxxC= =231( 2-3)9xC3 3、sin 1cosxdxx解：注意到解：注意到(1cos )sinxx 原式原式1=(1cos )1cosdxx1ln|dxxCx= =ln|1cosx| C4 4、5 xedx解：原式解：原式= =5(5)xedxxxe dxeC= =5 xeC5 5、cos5xdx解：原式解：原式1cos5(5 )5xdxcossinxdxxC1sin55xC6 6、sin3xdx解：原式解：原式1sin3(3 )3xdxsincosxdxxC 1cos33xC 十一、十一、不定积分的分部积分法（或定积分）不定积分的分部

13、积分法（或定积分）诸如诸如，sinxxdxcosxxdxxxe dxxxe dx，可采用分部积分法，可采用分部积分法lnxxdx分部积分公式：分部积分公式：( )( )( ) ( )( )( )u x dv xu x v xv x du x例题：例题：1、求不定积分、求不定积分 sinxxdx解解 sin( cos )xxdxxdxcos( cos )xxx dx coscosxxxdx cossinxxxC 2、求不定积分、求不定积分xxe dx解解 xxxe dxxde xxxee dx xxxeeC 3、求不定积分、求不定积分lnxxdx解解 21lnln()2xxdxxdx2211ln

14、ln22xxx dx211ln22xxxdx2211ln24xxxC十二、十二、定积分的概念及其性质定积分的概念及其性质知识点：定积分的几何意义，奇偶对称性等知识点：定积分的几何意义，奇偶对称性等例题：例题：1、定积分定积分等于等于 23axax e dx 解：解： 因为因为是是 的奇函数，所以原式的奇函数，所以原式=023xx ex2、定积分定积分等于等于 23sinaaxxdx 解：解： 因为因为是是 的奇函数，所以原式的奇函数，所以原式=023sinxxx3、定积分定积分等于等于 22sin 1xxdxx解：解： 因为因为是是 的奇函数，所以原式的奇函数，所以原式=022sin 1xx

15、xx十三、十三、变上限积分函数求导变上限积分函数求导43 ( )( ),( )xaF xf t dtFx则则_ _ _ _ _ _ _解解33( )() ()Fxf xxA233()x f x( )C变变上上限限积积分分函函数数的的导导数数公公式式 ()( )( )( )xaf t dtfxxA例题：例题：1、 设函数设函数在在上连续，上连续，则，则（ ( )f x , a b3 ( )( )xaF xf t dt( )F xC ） A( )f xB3()f xC233()x f xD23( )x f x2、设、设，则，则21( )arctanxf xtdt( )fx22 arctanxx3、

16、设、设，则，则30( )sinxf xt dt( )fx3sin x十四、十四、 凑微分法求定积分（或不定积分）凑微分法求定积分（或不定积分）思想与不定积分类似思想与不定积分类似例题：例题：1、12301xxdx解：注意到解：注意到32(1)3xx原式原式133011 (1)3xd x3 22 3xdxxC= =1 3302(1)9x 2(2 21)9十五、十五、定积分的分部积分法（或不定积分）定积分的分部积分法（或不定积分）思想与不定积分类似思想与不定积分类似例题：例题：1、求定积分、求定积分 2 0sinxxdx 解解 22 00sin( cos )xxdxxdx 22 00cos( co

17、s )xxx dx 2 0cosxdx 2 0sin1x 2、求定积分、求定积分10xxe dx解解 1100xxxe dxxde 1100xxxee dx 110(0)xee 121e 十六、十六、求平面图形面积求平面图形面积知识点：知识点：X 型积分区域的面积求法型积分区域的面积求法Y 型积分区域的面积求法型积分区域的面积求法通过作辅助线将已知区域化为若干个通过作辅助线将已知区域化为若干个 X 型或型或 Y型积分区域的面积求法型积分区域的面积求法例题：例题：1、求由、求由、，及及所围成的封闭图所围成的封闭图lnyx0x ln2y ln7y 形的面积形的面积解：由解：由得得 lnyxyxe面积为面积为 ln7ln2(0)ySedy7ln2lmye52、计算由曲线、计算由曲线与直线与直线及及所围成的图形的面所围成的图形的面yx1y 0x 积积解：由解：由得交点得交点 A A 为为 1yx y(1,1)面积为面积为 10(1)Sx dx13 202 3xx1 33 3、求由曲线、求由曲线与直线与直线及及所围成的平面图形所围成的平面图形1yxyx2x 的面积的面积解：由解：由得交点得交点 A A 为为 2yxx (2,2)由由得交点得交点 B B 为为 1yxyx(1,1)面积为面积为 211()Sxdxx2 211ln|2xx3ln22