《反函数新教材》PPT课件.ppt

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1、指数函数与对数函数对照表指数函数与对数函数对照表R(0,+)(0,+)Ry=ax(a1)在在R上是增函数上是增函数在在(0,+)上是增函数上是增函数y=logax(a1)y=logax(0a1)xyoxyoy=ax(0a1y=axy=logax0a1函数函数y=ax与与y=logax图象关于直线图象关于直线y=x对称对称问题问题:那么这两个函数有什么关系呢那么这两个函数有什么关系呢?一般地，函数一般地，函数 y=f(x)(x A)中设它中设它的值域为的值域为C.我们根据这个函数中我们根据这个函数中x，y的关的关系，用系，用y把把x表示出，得到表示出，得到 x=(y).如果对如果对于于y在在C中

2、的任何一个值，通过中的任何一个值，通过x=(y)，x在在A中都有唯一的值和它对应，那么中都有唯一的值和它对应，那么x=(y)就表示以就表示以y为自变量的函数为自变量的函数.这样的函数这样的函数 x=(y)叫做函数叫做函数 y=f(x)(x A)的的反函数反函数，记作，记作 x=f f-1-1(y).我们常常把我们常常把x，y对调一下，把它改成对调一下，把它改成 y=f f-1-1(x).探究一探究一反函数定义反函数定义y=f(x)y=f-1(x)ACCA反函数与原来函数的联系反函数与原来函数的联系:它们的图象关于直线它们的图象关于直线y=x对称对称 例例1 1、求下列函数的反函数：求下列函数的

3、反函数：（1 1）y y3x3x1 1；（2 2）y y 1 1（x0 x0）；）；（3 3）；(4).(4).探究二探究二求一个函数的反函数求一个函数的反函数1、反解：反解：y=f(x)4、写定义域：写定义域：根据原来函数的值域，写出反函数根据原来函数的值域，写出反函数及其及其定义域定义域.3、互换：互换：x、y互换位置，得互换位置，得y=f-1(x)求反函数的求反函数的步骤步骤：2、求原函数的值域求原函数的值域探究三探究三不是所有函数都有反函数不是所有函数都有反函数探究四探究四互为反函数的两个函数图象关于互为反函数的两个函数图象关于y=x对称对称探究五探究五点点P(a,b)在函数在函数y=

4、f(x)图象上，则点图象上，则点P(b,a)在函数在函数y=f-1(x)图象上图象上 探究六探究六互为反函数的两个函数单调性相同互为反函数的两个函数单调性相同例2已知函数 的图象关于直线 对 称，求m的值。例3.若点P（1，2）同时在函数y 及其反函数的图象上，求a、b的值.若函数若函数f(x)在其定义域在其定义域D上是单调增函数上是单调增函数,求证它的反函数求证它的反函数f-1(x)也是增函数也是增函数。证明：在证明：在f-1(x)的定义域内任取的定义域内任取x1,x2且且x1x2令令 f-1(x1)=y1,f-1(x2)=y2于是有于是有f(y1)=x1;f(y2)=x2 所以所以 f(y

5、1)f(y2)因为因为f(x)在其定义域在其定义域D上是增函数，所以上是增函数，所以y1y2所以所以 f-1(x1)f-1(x2)，所以，所以f-1(x)也是增函也是增函数数1.函数函数y=f（x）的图象和它的反函数）的图象和它的反函数y=f-1(x)的图象关于的图象关于 直线直线y=x对称对称;2.互为反函数的两个函数在各自的定义域内具有相同的互为反函数的两个函数在各自的定义域内具有相同的 单调性。单调性。3.如果两个函数的图像关于直线如果两个函数的图像关于直线y=x对称对称,那么这两个函数那么这两个函数 互为反函数互为反函数.4.如果一个函数的图像关于直线如果一个函数的图像关于直线y=x对

6、称对称,那么这个函数的那么这个函数的 反函数就是它本身反函数就是它本身.反之也成立。反之也成立。5.点点P（a，b）关于直线）关于直线 y=x 对称的点是对称的点是P1（b，a）.性质：性质：6.例例2、求函数、求函数y=3x-2（xR）的反函数，）的反函数，并画出原函数和它的反函数的图象。并画出原函数和它的反函数的图象。解：从解：从y=3x-2，解得，解得 。因。因此，函数此，函数y=3x-2的反函数是的反函数是函数函数y=3x-2（xR）和它的反函数）和它的反函数 的图象如图的图象如图oxyY=xY=3x-21例例3、求函数、求函数y=x3（xR）的反函数，）的反函数，并画出原来的函数和它

7、的反函数的并画出原来的函数和它的反函数的图象。图象。解：从解：从y=x3，解得，解得 ，所以函数，所以函数y=x3（xR）的反函是）的反函是 。函数函数y=x3（xR）和它的反函数）和它的反函数 的图像如图的图像如图yx0例例4：若点若点P（1，2）在函数）在函数 的的图象上，又在它的反函数的图象上，求图象上，又在它的反函数的图象上，求a，b的值。的值。解：解：由题意知由题意知,点点P(1,2)在函数在函数 的反函数的图象上，根据互为反函数的函的反函数的图象上，根据互为反函数的函数图象关于直线数图象关于直线y=x对称的性质知，点对称的性质知，点P1（2，1）也在函数）也在函数 的图象上。的图象上。解得，a=-3，b=7因此，得因此，得例例5、若函数若函数f（x）与）与g（x）的图象关于）的图象关于直线直线y=x对称，且对称，且f（x）=（x-1）2（x1）求求g（x2）解：解：函数函数f（x）与）与g（x）的图象关于直）的图象关于直线线y=x对称对称 g（x）是）是f（x）的反函数，）的反函数，g（x）=f-1（x）=